微分法在几何上的应用(IV).ppt

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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第六节第六节 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线三、小结三、小结 思考题思考题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回曲

2、线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为特殊地：特殊地：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2.空间曲线方程为空间曲线方程为切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返

3、回返回所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回设曲面方程为设曲面方程为曲线在曲线在M处的切向量处的切向量在曲面上任取一条通在曲面上任取一条通过点过点M的曲线的曲线二、曲面的切平面与法线上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回令令则则切平面方程为切平面方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量即处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回特殊地：空间曲面方程形为特殊地：空间曲面

4、方程形为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回其中其中上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平

5、面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线（当空间曲线方程为一般式时，求切向（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用量注意采用推导法推导法）（求法向量的方向余弦时注意（求法向量的方向余弦时注意符号符号）三、小结上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题解答思考题解答设切点设切点依题意知切向量为依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回练习题答案练习题答案