微积分-旋转体体积.ppt

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1、第四节 微积分基本公式一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 变上限积分的求导公式定积分的换元法第五节 广义积分定积分的元素法定积分的元素法复习曲边梯形的面积计算方法（演示）复习曲边梯形的面积计算方法（演示）定积分的元素法分析（定积分的元素法分析（演示演示）定积分的元素法（定积分的元素法（演示演示）应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素应用定积分的元素法解决问题时，关键在于确定积分元素f(x)dx 和积分区间和积分区间a,b。一一般般地地：若若所所量量U与与变变量量的的变变化化区区间间a,b有有关关，且且关关于于a,b具具有有可可加加性性，在在a,b中中的的任任意意一一个个

2、小小区区间间x,x+dx上上找找出出部部分分量量的的近近似似值值dU=f(x)dx,得得所所求求量量的的定定积积分分表表达达式式 这这种种方方法法叫叫做做定定积积分分的的元元素素法法。dU=f(x)dx称称为为所所求求量量U的的元元素素。直角坐标系下的平面图形的面积（演示）直角坐标系下的平面图形的面积（演示）1、由由x=a，x=b,y=0 及及 y=f(x)所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为2、由、由x=a，x=b,y=f(x)及及 y=g(x)所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为3、由由y=c，y=d,x=0 及及 x=(y)所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 平面图

3、形的面积例题选举平面图形的面积例题选举例例1 计算由计算由 及及 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。例例2 计算由曲线计算由曲线 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。例例3 计算由计算由 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。例例4 求椭圆求椭圆 的面积。的面积。解解练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（1）（2）轴轴轴轴（3）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（4）（5）一般地：如右图中的阴影部分的面积为一般地：如右图中的阴影部分的

4、面积为 练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。（6）或或 12法一：以法一：以 y 作积分变量作积分变量 法二：以法二：以 x 作积分变量作积分变量 （7）练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。例例 4 求由下列给定曲线所围成的图形面积。求由下列给定曲线所围成的图形面积。星形线星形线星形线星形线解由图形的对称性可得解由图形的对称性可得ab旋转体的概念旋转体的概念平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）平面图形绕同一平面上某一定直线（旋转轴）旋转一周所得的立体（旋转

5、一周所得的立体（旋转一周所得的立体（旋转一周所得的立体（演示演示）。）。）。）。可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为可选取适当坐标系，使旋转轴为轴或轴或轴或轴或轴。轴。轴。轴。最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕最基本的情形是曲边梯形绕轴或轴或轴或轴或轴旋转的情形。轴旋转的情形。轴旋转的情形。轴旋转的情形。旋转体的体积旋转体的体积示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（示例：圆锥、圆柱、圆台、球等都是旋转体（演示演示）。）。aby=f(x)dcx=g(y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋

6、转轴为 x 轴（轴（演示演示）由由x=a,x=b，y=0,y=f(x)（a0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 由由y=c,y=d,x=0,x=g(y)（c0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴（轴（演示演示）oxyP(h,r)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式例例 1 连接坐标原点连接坐标原点 O 及点及点 P(h,r)的直线，直线的直线，直线 x=h及及 x轴围轴围成一个直角三角形，将它绕成一个直角三角形，将它绕 x轴

7、旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为 r，高为，高为 h的圆锥体，计算圆锥体的体积。的圆锥体，计算圆锥体的体积。x x+dx解解 如图所示如图所示 任取任取 ，形成区间，形成区间 体积元素为体积元素为 直线直线OP的方程为的方程为 所求体积为所求体积为 返回返回例例3 计算由曲线计算由曲线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 y 轴旋转轴旋转一周而成的立体的体积。一周而成的立体的体积。解解 如图所示如图所示V2V1练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式x1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴

8、旋转一周 练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1y=x31y轴轴轴轴轴轴轴轴练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 1y=x3y21练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 例例4 求由曲线求由曲线 及及 所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线 旋转一周而构成的旋转体的体积。旋转一周而构成的旋转体的体积。yo-223 x4问题的提出问题的提出返回返回定积分元素法分析定积分元素法分析返回返回定积分元素法定积分元素法返回返回平面图形的面积（直角坐标）平面图形的面积（直角坐标）返回返回求面积例题求面积例题 1返回返回面积例题面积例题 2返回返回求面积例题求面积例题 3返回返回例例 4 求椭圆面积求椭圆面积返回返回旋转体概念旋转体概念返回返回旋转体实例圆锥旋转体实例圆锥返回返回旋转体实例圆柱旋转体实例圆柱返回返回旋转体体积推导旋转体体积推导返回返回体积例题体积例题 3返回返回体积例题体积例题 2返回返回体积例题体积例题 5返回返回