高二数学下学期_三垂线定理课件 人教.ppt

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1、三垂线定理三垂线定理AaOP2021/8/11 星期三1这是偶然的巧合，还是必然？这是偶然的巧合，还是必然？EAEODMDBOAcos cos=cos =AOB =AOD =DOBA aOPPO a2021/8/11 星期三2AaOP 如图：已知 PA、PO分别是平面的垂线、斜线，AO是PO在平面上的射影。a，aAO。求证：aPO在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。三垂线定理2021/8/11 星期三3三垂线定理解题的关键：找三垂！三垂线定理解题的关键：找三垂！怎么找？怎

2、么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件思思考考APOa2021/8/11 星期三4PAOa三垂线定理包含的垂直关系三垂线定理包含的垂直关系线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平面垂直平面垂直平面内的直线平面内的直线和平面一条斜和平面一条斜线的射影垂直线的射影垂直平面内的直线平面内的直线和平面的一条和平面的一条斜线垂直斜线垂直202

3、1/8/11 星期三5PCBAO例例1 已知已知P 是平面是平面ABC 外一点，外一点，PA平面平面ABC，AC BC，求证：求证：PC BC证明：证明：P 是平面是平面ABC 外一点外一点 PA平面平面ABC PC是平面是平面ABC的斜线的斜线 AC是是PC在平面在平面ABC上的射影上的射影 BC 平面平面ABC 且且AC BC 由三垂线定理得由三垂线定理得 PC BCM2021/8/11 星期三6例例2 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点求证：求证：POBD，PCBD(3)在正

4、方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD2021/8/11 星期三7(1)PA正方形正方形ABCD所在平所在平面，面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD又又AOAO是是POPO在在ABCDABCD上的射影上的射影POBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的

5、射影上的射影PCBD2021/8/11 星期三8PMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMBCAM证明证明:PB=PCM是是BC的中点的中点PM BCPA平面平面PBCPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影2021/8/11 星期三9(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射上的射影影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1同理可证，同理可证，A

6、1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 2021/8/11 星期三10PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件解题回顾2021/8/11 星期三11PAOabcde三垂线定理三垂线定理是平面是平面的一条斜线与平面内的的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：这两条直线可以是：相交直线相交直线 异面直线异面直线回回顾顾思思考考2021/8/11 星期三12直线直线a 在一定要在在一定要在平面内，如果平面内，如果 a 不不在平面内，定理就在平面内，定理就不一定成立。不一定成

7、立。PAOa注意注意：如果将定理中如果将定理中“在平面内在平面内”的条件的条件去掉，结论仍然成立去掉，结论仍然成立吗？吗？b例如：当例如：当 b 时，时，bOA但但 b不垂直于不垂直于OP 回回顾顾思思考考2021/8/11 星期三13若a是平面的斜线，直线b垂直于 a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线,b,直线 b垂直于a在平面内的射影，则 ab （）若a是平面的斜线，直线b 且b垂直于a在另一平面内的射 影则ab （）若 a是平面的斜线，平面内 的直线b垂直于a在平面内的射 影，则 ab （）练习：判断下列命题是否正确：2021/8/11 星期三14PAOal若若a是平面是平面的斜线的斜线,b,直线直线 b垂直垂直于于a在平面在平面内的射影，则内的射影，则 ab2021/8/11 星期三15三垂线定理三垂线定理在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直。直。作业：作业：2525页页3 3、4 4、6.6.2021/8/11 星期三16谢谢 谢谢 指指 导导 ！2021/8/11 星期三17