人教版高中数学 3.4基本不等式课件2 新人教A必修5.ppt

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1、2021/8/9 星期一120022002年在北京举行的第年在北京举行的第2424届国际数学家大会会标届国际数学家大会会标2021/8/9 星期一2思考：这会标中含有思考：这会标中含有怎样的几何图形？怎样的几何图形？思考：你能否在这个图思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系案中找出一些相等关系或不等关系？或不等关系？2021/8/9 星期一3ab问问2 2：RtABF,RtBCG,RtCDH,RtADERtABF,RtBCG,RtCDH,RtADE是全等三角是全等三角形，它们的面积和是形，它们的面积和是S=S=问问1 1：在正方形在正方形ABCDABCD中中,设设AF=a,BF=b,AF=a

2、,BF=b,则正方形的面积则正方形的面积为为S=S=.问问3 3：S S与与SS有什么样的关系有什么样的关系？从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,即即2021/8/9 星期一4问问4 4：那么它们有相等的情况吗：那么它们有相等的情况吗？何时相等？何时相等？图片说明：当直角三角形图片说明：当直角三角形变为等腰直角三角形，即变为等腰直角三角形，即a=ba=b时，正方形时，正方形EFGHEFGH缩为一个点，缩为一个点，这时有这时有 u形的角度形的角度u数的角度数的角度 当当a=b时时a2+b22ab=(ab)2=02021/8/9 星期一5思考：思考：当当a,b为任意实数时，为任意实数时，a

3、2+b22ab是否成立？是否成立？2021/8/9 星期一6重要不等式：重要不等式：若若a,bR，那么，那么a2+b22ab (当且仅当当且仅当a=b时，取时，取“=”号号)2021/8/9 星期一7基本不等式：2021/8/9 星期一8概念概念算术平均数算术平均数几何平均数几何平均数(1)(1)两个正数的算术平均数不小于它们的几何平两个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数均数.(2)(2)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.2021/8/9 星期一9 几何解释：半径不小于半弦半径不小于半弦2021/8/9 星期一10例例1 1：（1 1）用用篱篱

4、笆笆围围成成一一个个面面积积为为100m100m的的矩矩形形菜菜园园，问问这这个个矩矩形形的的长长、宽宽各各为为多多少少时时，所所用用篱笆最短。最短的篱笆是多少？篱笆最短。最短的篱笆是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则xy=100 xy=100，篱笆的长为，篱笆的长为2 2（x+yx+y）m.m.当且仅当当且仅当x=yx=y时等号成立，此时时等号成立，此时x=y=10 x=y=10.因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为10m10m时，所用的篱笆最时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是短，最短的篱笆是40m.40m.结论结论1 1：

5、两个正变量两个正变量积为定值积为定值，则，则和有最小值和有最小值，当且仅当两个正变量相等时取最值。当且仅当两个正变量相等时取最值。2021/8/9 星期一11（2 2）用一段长为）用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形菜园，的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？面积最大，最大面积是多少？解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为x mx m，宽为，宽为y my m，则则 2（x+y）=36,x+y =18矩形菜园的面积为矩形菜园的面积为xymxym2 2=18/2=9得得 xy 81 xy 81当且仅当

6、当且仅当x=y,x=y,即即x=y=9x=y=9时，等号成立时，等号成立 因此，这个矩形的长、宽都为因此，这个矩形的长、宽都为9m9m时，菜园面积最大，时，菜园面积最大，最大面积是最大面积是81m81m2 2结论结论2 2：两个正变量两个正变量和为定值和为定值，则，则积有最大值积有最大值，当且仅当两个正变量相等时取最值。当且仅当两个正变量相等时取最值。2021/8/9 星期一12应用基本不等式求最值的条件：应用基本不等式求最值的条件：a a与与b b为正实数为正实数若等号成立，若等号成立，a a与与b b必须能必须能够相等够相等一正一正二定二定三相等三相等积定和最小积定和最小和定积最大和定积最

7、大2021/8/9 星期一13例例2:2:某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为其容积为4800m4800m3 3,深为深为3m.3m.如果池底每平方米的如果池底每平方米的造价为造价为150150元元,池壁每平方米的造价为池壁每平方米的造价为120120元元,怎怎样设计水池能使总造价最低样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多最低总造价是多少少?分析分析:水池呈长方体形水池呈长方体形,它的高是它的高是3m,3m,底面的长底面的长与宽没有确定与宽没有确定.如果底面的长与宽确定了如果底面的长与宽确定了,水池的总造价也就确定了水池的总造价也就确定了.因此应当考

8、察底因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低面的长与宽取什么值时水池总造价最低2021/8/9 星期一14解解:设底面的长为设底面的长为xm,xm,宽为宽为ym,ym,水池总造价为水池总造价为z z元元.根据题意根据题意,有有:由容积为由容积为4800m4800m3 3,可得可得:3xy=4800:3xy=4800因此因此 xy=1600 xy=1600由基本不等式与不等式的性质由基本不等式与不等式的性质,可得可得即即 当当x=y,x=y,即即x=y=40 x=y=40时时,等号成立等号成立 所以所以,将水池的地面设计成边长为将水池的地面设计成边长为40m40m的正方形的正方形时总造价

9、最低时总造价最低,最低总造价为最低总造价为297600297600元元.2021/8/9 星期一15学生活动学生活动1.x0时，当时，当x取什么值时，取什么值时，x+1/x的值最小？的值最小？最小值是多少？最小值是多少？2.直角三角形的面积为直角三角形的面积为50，两条直角边各为多，两条直角边各为多少时，两直角边的和最小？最小值为多少？少时，两直角边的和最小？最小值为多少？3.用用20cm长的历铁丝折成一个面积最大的矩长的历铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折形，应当怎样折?4.做一个体积为做一个体积为32，高为，高为2m的长方形纸盒，的长方形纸盒，底面长和宽取什么值时用纸最少？底面长和宽取

10、什么值时用纸最少？2021/8/9 星期一161.1.两个不等式两个不等式（重要不等式）（重要不等式）（基本不等式）（基本不等式）当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立注意：注意：1.1.两公式条件，前者要求两公式条件，前者要求a,ba,b为实数；后者要求为实数；后者要求a,ba,b为正数。为正数。2.2.公式的正向、逆向使用的条件以及公式的正向、逆向使用的条件以及“=”“=”的成立条件。的成立条件。2.2.不等式的简单应用：主要在于不等式的简单应用：主要在于求最值求最值 把握把握 “七字方针七字方针”即即 “一正，二定，三相等一正，二定，三相等”2021/8/9 星期一17作业布置：作业布置：课本课本P100习题习题3.4 第第1，2，4题题2021/8/9 星期一18