人教版高中数学 直接证明与间接证明课件五 新人教A选修12.ppt

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1、2.1 数学归纳法数学归纳法 及其应用举例及其应用举例（5）2021/8/9 星期一1例题选讲分析：分析：画出画出n=2，3，4，5时的图形示意图，时的图形示意图，观察交点的变化规律。观察交点的变化规律。例例6 平面内有平面内有n(n1)条直线，其中任何两条条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数个数f(n)等于等于n(n-1)/2.n图图 形形图图 形形n交点个数交点个数交点个数交点个数2345f(2)=1f(3)=3=1+2=f(2)+2f(4)=6=3+3=f(3)+3f(5)=10=6+4=f(4)+4从从k条到条到k+1条交

2、点增加了条交点增加了k点，应证点，应证f(k+1)=f(k)+k几何问题几何问题2021/8/9 星期一2例题选讲几何问题几何问题例例6 平面内有平面内有n(n1)条直线，其中任何两条不平行，条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明交点的个数任何三条不过同一点，证明交点的个数f(n)等于等于n(n-1)/2.证明证明:(1)当当n=2时两条直线的交点只有一个，又时两条直线的交点只有一个，又f(2)=2(2-1)/2=1,因此当因此当n=2时，命题成立。时，命题成立。（2）假设）假设n=k(k1)时命题成立，就是说，平面内满足时命题成立，就是说，平面内满足题设的任何题设的任何k条直线

3、的交点的个数条直线的交点的个数f(k)=k(k-1)/2.现在来考虑平面内有现在来考虑平面内有k+1条直线的情况，任取其中的一条直线的情况，任取其中的一条直线，记为条直线，记为L,由题设，由题设，L和其它和其它k条直线必有条直线必有k个不同个不同交点，又根据假设，其它交点，又根据假设，其它k条直线的交点的个数条直线的交点的个数f(k)等于等于k(k-1)/2,根据题设，这根据题设，这k(k-1)/2个和这个和这k个点是不同的交个点是不同的交点，从而平面内满足题设的点，从而平面内满足题设的k+1条直线的交点的个数是条直线的交点的个数是K(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2=(k+1)(k+1

4、)-1/2.这就是说，当这就是说，当n=k+1时，时，k+1条直线的交点的个数条直线的交点的个数F(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根据（根据（1）（）（2），可知命题对任何大于），可知命题对任何大于1的正整数都成立。的正整数都成立。2021/8/9 星期一3变形、平面内有变形、平面内有n（n2)条直线，条直线，任何两条都不平行，任何三条都不任何两条都不平行，任何三条都不过同一点，线段的条为，过同一点，线段的条为，射线的条数为，求、的表射线的条数为，求、的表达式达式2021/8/9 星期一4变形变形2、平面内有、平面内有n（n2)条直线，条直线，任何两条都不平行，任何三条都不任何两条都

5、不平行，任何三条都不过同一点，这过同一点，这n条直线将平面分成的条直线将平面分成的平面区域的块数为个平面区域的块数为个g(n),g(n)=?2021/8/9 星期一5变形平面内有变形平面内有n个圆，任何个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成个圆将平面分成f(n)个部分个部分求求f(n)？2021/8/9 星期一6变形平面内有变形平面内有n个圆，任何两个圆都相交于两点，个圆，任何两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证：这任何三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆将平个圆将平面分成面分

6、成 个部分个部分证明证明：（）当（）当n=1时，一个圆把平面分成时，一个圆把平面分成二部分，且二部分，且 因此，因此，n=1时命题成立时命题成立 （）假设（）假设n=k时，命题成立，即时，命题成立，即k个圆把平面分成个圆把平面分成 ,如果增加一个满足的任一个圆，则这个圆如果增加一个满足的任一个圆，则这个圆必与前必与前k个圆交于个圆交于2k个点。这个点。这2k个点把这个圆分成个点把这个圆分成2k段弧，每段弧段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分。因此，这时平面被分割的总数把它所在的原有平面分成为两部分。因此，这时平面被分割的总数在原来的基础上以增加了在原来的基础上以增加了2k部分，即有部分，即有2021/8/9 星期一7再再见！2021/8/9 星期一8