人教版高中数学导数章节复习新人教B选修22.ppt

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1、导数的定义导数的定义:从函数从函数y=f(x)在在x=x0处的瞬时变化率是处的瞬时变化率是:2021/8/9 星期一1问题:求函数求函数y=3x2在在x=1处的导数处的导数.分析：先求分析：先求f=y=f(x)-f()=6x+(x)2 再求再求再求再求2021/8/9 星期一2 由导数的意义可知由导数的意义可知,求函数求函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数的基本方法是的基本方法是:注意注意:这里的增量不是一般意义上的增量这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负它可正也可负.自变量的增量自变量的增量x的形式是多样的的形式是多样的,但不论但不论x选择选择 哪种形式哪种形式,y也必须选择

2、与之相对应的形式也必须选择与之相对应的形式.2021/8/9 星期一3xoyy=f(x)一、曲线的切线一、曲线的切线P(x0,y0)Q(x1,y1)当自变量从当自变量从x0变化到变化到x1时，时，相应的函数值从相应的函数值从f(x0)变化到变化到f(x1)y=f(x1)-f(x0)函数值的增量函数值的增量x=x1-x0自变量的增量自变量的增量Mxyy0=f(x0)，y1=f(x1)Q(x0+x,y0+y)y=f(x0+x)-f(x0)2021/8/9 星期一4xoyy=f(x)设曲线设曲线C是函数是函数y=f(x)的图象，的图象，在曲线在曲线C上取一点上取一点P(x0,y0)及邻近一及邻近一点

3、点Q(x0+x,y0+y),过过P,Q两点作两点作割割线线，当点当点Q沿着曲线沿着曲线无限接近无限接近于点于点P点点P处的处的切线切线。即即x0时时,如果割线如果割线PQ有一个有一个极极限位置限位置PT,那么直线那么直线PT叫做曲线在叫做曲线在曲线在某一点处的切线的定义曲线在某一点处的切线的定义xyPQT2021/8/9 星期一5 设割线设割线PQ的倾斜角为的倾斜角为，切线切线PT的倾斜角为的倾斜角为 当当x0时，割线时，割线PQ的的斜率的极限斜率的极限，就是曲线在点，就是曲线在点P处的处的切线的斜率切线的斜率，即，即tan=Mxy曲线曲线在某一点处在某一点处的切线的斜率公式的切线的斜率公式x

4、 oyy=f(x)PQtan=2021/8/9 星期一6【例例1】求曲线求曲线y=x2+1在点在点P(1,2)处的切线的方程。处的切线的方程。k=解：解：y=f(1+x)-f(1)=(1+x)2+1-（1+1）=2 x+（x）2 曲线在点曲线在点P(1,2)处的切线的斜率为处的切线的斜率为因此，切线方程为因此，切线方程为 y-2=2(x-1)即即 y=2x 2021/8/9 星期一7 k=【注注】求曲线求曲线y=f(x)在点在点P(x0,y0)处的切线的处的切线的斜率的方法：斜率的方法：(1)求求y=f(x0+x)-f(x0)2021/8/9 星期一8练习：练习：1.1.已知曲线已知曲线y=2

5、xy=2x2 2上一点上一点A(1,2)A(1,2)，求，求 （1 1）点）点A A处的切线的斜率；处的切线的斜率；（2 2）点）点A A处的切线方程。处的切线方程。2.2.求曲线求曲线y=xy=x2 2+1+1在点在点P(-2,5)P(-2,5)处的切处的切 线的方程。线的方程。2021/8/9 星期一9例例2:求曲线求曲线 【注注】求过曲线求过曲线y=f(x)外点外点 P(x1,y1)的切线的方法：的切线的方法：2021/8/9 星期一10【注注】求过曲线求过曲线y=f(x)外点外点 P(x1,y1)的切线的方法：的切线的方法：2021/8/9 星期一11练习练习（1 1）求曲线）求曲线y

6、=xy=x-1-1过点过点(2,0)(2,0)的切线方程的切线方程 2021/8/9 星期一12小结小结 曲线在某一点处的切线及斜率曲线在某一点处的切线及斜率 k=作业作业:45分钟分钟2021/8/9 星期一133、求函数图象切线需要注意的问题（1）已知切点 求切线：求切线的斜率确定切点写切线方程：2021/8/9 星期一14（2）已知切线过点 求切线方程 点 可以在曲线上，也可以不再曲线上A、设切点B、求斜率C、写切线方程D、代入已知点 列方程组求得 E、代入求得切线方程2021/8/9 星期一152021/8/9 星期一16不需推导，但要注意符号的运算不需推导，但要注意符号的运算.记记

7、一一 记记2021/8/9 星期一17练习练习(1)5x4;(2)6x5;(3)cost;(4)-sin .2021/8/9 星期一18法则法则1:f(x)g(x)=f(x)g(x);法则法则2:法则法则3:2021/8/9 星期一19应用应用2:求下列函数的导数求下列函数的导数(1)y=(2x(1)y=(2x2 2+3)(3x-2)+3)(3x-2)(2)y=(1+x(2)y=(1+x6 6)(2+sinx)(2+sinx)2021/8/9 星期一20求函数的单调区间的一般步骤求函数的单调区间的一般步骤:（1）求出函数）求出函数f（x）的定义域）的定义域A；（2）求出函数）求出函数 f（x）

8、的导数）的导数 ；（4）不等式组）不等式组 的解集为的解集为f（x）的单调减区间；）的单调减区间；（3）不等式组）不等式组 的解集为的解集为f（x）的单调增区间；）的单调增区间；导数的应用一导数的应用一:判断单调性、求单调区间判断单调性、求单调区间注、注、单调区间不单调区间不 以以“并集并集”出现。出现。2021/8/9 星期一211.一般地一般地,求函数的极值的方法是求函数的极值的方法是:解方程解方程f(x)=0.当当f (x0)=0时时.如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极大值是极大值;（左正右负极大左正右负极大）如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧

9、右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极小值是极小值.（左负右正极小左负右正极小）2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.导数的应用二导数的应用二:求函数的极值求函数的极值2021/8/9 星期一22 设函数设函数f(x)的的图象在图象在a,b上是连续不断的曲线上是连续不断的曲线,那那么它必有最大值和最小值么它必有最大值和最小值在在a,b上的最大值与最小值的步骤如下上的最大值与最小值的步骤如下:求求y=f(x)在在(a，b)内的极值内的极值(极大值与极小值极大值与极小值);:将函数将函数y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、

10、f(b)（即端点的函（即端点的函数值）作比较数值）作比较,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个最小的一个为最小值为最小值.导数的应用三导数的应用三：求函数的最值求函数的最值2021/8/9 星期一23三、综合应用三、综合应用:例例1:确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间:(1)f(x)=x/2+sinx;解解:(1)函数的定义域是函数的定义域是R,令令 ,解得解得令令 ,解得解得因此因此,f(x)的递增区间是的递增区间是:递减区间是递减区间是:2021/8/9 星期一24解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),(2)f(x)=x/2-ln(1+x)+1由由

11、即即 解得解得x1.故故f(x)的递增区间是的递增区间是(1,+);由由 解得解得-1x1,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(-1,1).说明说明:函数的单调区间必定是它的函数的单调区间必定是它的定义域的子区间定义域的子区间,故故 求函数的单调区间一定求函数的单调区间一定首先要确定函数的定义首先要确定函数的定义 域域,在求出使导数的值为正或负的在求出使导数的值为正或负的x的范围时的范围时,要与要与 定义域求两者的交集定义域求两者的交集.2021/8/9 星期一25(3)解解:函数的定义域是函数的定义域是0,a,且当且当x0,a时时,有有:由由 及及 解得解得0 x3a/4,故故f(x)的递

12、增区间的递增区间是是(0,3a/4).由由 及及 解得解得3a/4x100,故故f(x)的递减区间是的递减区间是(100,+).说明说明:(1)由于由于f(x)在在x=0处连续处连续,所以递增区间可以扩大所以递增区间可以扩大 到到0,100)(或或0,100).(2)虽然在虽然在x=100处导数为零处导数为零,但在写单调区间时但在写单调区间时,都可以把都可以把100包含在内包含在内.2021/8/9 星期一27例例2:设设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间恰有三个单调区间,试确定试确定a的取值范的取值范 围围,并求其单调区间并求其单调区间.解解:若若a0,对一切实数恒成立对一切实数恒成立,此

13、时此时f(x)只有一只有一个单调区间个单调区间,矛盾矛盾.若若a=0,此时此时f(x)也只有一个单调区间也只有一个单调区间,矛盾矛盾.若若a0,则则 ,易知此时易知此时f(x)恰有三个单调区间恰有三个单调区间.故故a1时时,证明不等式证明不等式:证证:设设 显然显然f(x)在在1,+)上连续上连续,且且f(1)=0.显然显然,当当x1时时,故故f(x)是是1,+)上的增函数上的增函数.所以当所以当x1时时,f(x)f(1)=0,即当即当x1时时,2021/8/9 星期一29说明说明:利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一利用函数的单调性证明不等式是不等式证明的一 种重要方法种重要方法.其解

14、题步骤是其解题步骤是:令令F(x)=f(x)-g(x),xa,其中其中F(a)=f(a)-g(a)=0,从而将要从而将要证明的不等式证明的不等式“当当xa时时,f(x)g(x)”转化为证明转化为证明:“当当xa时时,F(x)F(a)”.练习练习2:已知已知 求证求证:2021/8/9 星期一30四、小结四、小结:1.在利用导数讨论函数的单调区间时在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数首先要确定函数 的定义域的定义域,解决问题的过程中解决问题的过程中,只能在函数的定义域内只能在函数的定义域内,通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.2.在对函数划分单

15、调区间时在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于除了必须确定使导数等于 零的点外零的点外,还要注意在定义域内的不连续点和不可导还要注意在定义域内的不连续点和不可导 点点.3.注意在某一区间内注意在某一区间内 (1.（1）讨论函数）讨论函数 f(x)的单调性的单调性（2）证明：若）证明：若a5，则对任意，则对任意x1，x2(0.+)x1x2,有有2009年辽宁高考年辽宁高考2021/8/9 星期一36解：(1)的定义域为（0，）若a1=1即a=2时，则故 f(x)在（0，）单调增加。若a11即1a1即a2时,同理可得f(x)在单调减少，在单调增加.2021/8/9 星期一37（2）考虑函数则当由于1a5,故即g(x)在(4,+)单调增加，从而当时有即故当时，有2021/8/9 星期一38已知函数已知函数（I）讨论函数）讨论函数 f(x)的单调性；的单调性；（II）设）设a1.如果对任意如果对任意x1,x2(0,)，求求a的取值范围。的取值范围。2010年辽宁高考年辽宁高考2021/8/9 星期一392021/8/9 星期一40