新教材高中数学 第三章 函数 3.1.2.2 函数的最大值、最小值课件 新人教B必修1.ppt

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1、第2课时函数的最大值、最小值2021/8/8 星期日12021/8/8 星期日21.函数的最值函数的最值前提前提函数函数f(x)的定的定义义域域为为D，且，且x0 D，对对任意任意x D条件条件都有都有f(x)f(x0)都有都有f(x)f(x0)结论结论最大最大值为值为f(x0)，x0为为最最大大值值点点最小最小值为值为f(x0)，x0为为最最小小值值点点最大最大值值和最小和最小值统值统称称为为最最值值，最大，最大值值点和最点和最小小值值点点统统称称为为最最值值点点2021/8/8 星期日3【思考思考】最值点是点吗？最值点是点吗？提示：提示：不是，是实数值，是函数取得最值时的自变量不是，是实数

2、值，是函数取得最值时的自变量x的值的值.2021/8/8 星期日42.直线的斜率直线的斜率(1)直线斜率的定义直线斜率的定义平面直角坐标系中的任意两点平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当当x1x2时，称时，称 为直线的斜率，记作为直线的斜率，记作 当当x1=x2时，称直线的斜率不存在时，称直线的斜率不存在.2021/8/8 星期日5(2)直线的斜率与函数单调性的关系直线的斜率与函数单调性的关系函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜函数递增的充要条件是其图像上任意两点连线的斜率都大于率都大于0.函数递减的充要条件是其图像上任意两点连线的斜函数递减的充要条件是其图

3、像上任意两点连线的斜率都小于率都小于0.2021/8/8 星期日63.函数的平均变化率函数的平均变化率(1)平均变化率的定义：若平均变化率的定义：若I是函数是函数y=f(x)的定义域的的定义域的子集，对任意子集，对任意x1，x2 I，且，且x1x2，记记y1=f(x1)，y2=f(x2)，2021/8/8 星期日7称称 为函数在区间为函数在区间x1，x2(x1x2时时)上的平均变化率上的平均变化率.2021/8/8 星期日8(2)函数的平均变化率与函数的单调性函数的平均变化率与函数的单调性y=f(x)在在I上是增函数上是增函数 0在在I上恒成立上恒成立y=f(x)在在I上是减函数上是减函数 0

4、+1)0，所以，所以 00，所以函数，所以函数f(x)f(x)在区间在区间00，+)+)上是增函数上是增函数.2021/8/8 星期日37(2)(2)由由(1)(1)知函数知函数f(x)f(x)在区间在区间22，99上是增函数，故函上是增函数，故函数数f(x)f(x)在区间在区间22，99上的最大值为上的最大值为f(9)=f(9)=最小值为最小值为f(2)=f(2)=2021/8/8 星期日38【内化内化悟悟】利用单调性求最值的关键是什么？利用单调性求最值的关键是什么？提示：提示：准确确定函数的单调性准确确定函数的单调性.2021/8/8 星期日39【类题类题通通】利用函数的平均变化率证明单调

5、性的步骤利用函数的平均变化率证明单调性的步骤(1)任取任取x1，x2 D，且，且x1x2.(2)计算计算f(x2)-f(x1)，(3)根据根据x1，x2的范围判断的范围判断 的符号，确定函数的单的符号，确定函数的单调性调性.2021/8/8 星期日40【习练习练破破】已知函数已知函数f(x)=x 3，7.(1)判断函数判断函数f(x)的单调性，并用平均变化率加以证明的单调性，并用平均变化率加以证明.(2)求函数求函数f(x)的最大值和最小值的最大值和最小值.2021/8/8 星期日41【解析解析】(1)函数函数f(x)在区间在区间3，7内单调递减，证明内单调递减，证明如下：如下：在在3，7上任

6、意取两个数上任意取两个数x1和和x2，且，且x1x2，因为因为f(x1)=f(x2)=所以所以f(x2)-f(x1)=2021/8/8 星期日42所以所以 因为因为x x1 1，x x2 233，77，所以，所以x x1 1-20-20，x x2 2-20-20，所以所以 000所以函数所以函数f(x)f(x)在在(0(0，+)+)上为增函数上为增函数.2021/8/8 星期日47(2)由由(1)可知函数可知函数f(x)在在2，5上为增函数，上为增函数，所以所以f(x)max=f(5)=f(x)min=f(2)=2021/8/8 星期日48类型三常见的函数最值问题类型三常见的函数最值问题角度角

7、度1不含参数的最值问题不含参数的最值问题【典例典例】函数函数f(x)=-2x2+x+1在区间在区间-1，1上最小值点上最小值点_，最大值为，最大值为_.世纪金榜导学号世纪金榜导学号2021/8/8 星期日49【思维思维引引】求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴求出一元二次函数的对称轴，利用对称轴和区间的关系解题和区间的关系解题.2021/8/8 星期日50【解析解析】函数函数f(x)=-2x2+x+1的对称轴为的对称轴为x=函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为函数的图像开口向下，所以函数的最小值点为-1，最，最大值为大值为 答案：答案：-1 2021/8/8 星期日51角度角度2含参数的最

8、值问题含参数的最值问题【典例典例】设设a为实数，函数为实数，函数f(x)=x2-|x-a|+1，x R.世纪金榜导学号世纪金榜导学号(1)当当a=0时，求时，求f(x)在区间在区间0，2上的最大值和最小上的最大值和最小值值.(2)当当0a时，求函数时，求函数f(x)的最小值的最小值.2021/8/8 星期日52【思维思维引引】(1)代入代入a值，化简后求最值值，化简后求最值.(2)讨论对称轴与区间的位置关系求最值讨论对称轴与区间的位置关系求最值.2021/8/8 星期日53【解析解析】(1)当当a=0，x 0，2时函数时函数f(x)=x2-x+1，因为因为f(x)的图像抛物线开口向上，对称轴为

9、的图像抛物线开口向上，对称轴为x=所以，当所以，当x=时时f(x)值最小，最小值为值最小，最小值为 当当x=2时，时，f(x)值最大，最大值为值最大，最大值为3.2021/8/8 星期日54(2)f(x)=(2)f(x)=当当xaxa时，时，f(x)=xf(x)=x2 2-x+a+1=-x+a+1=因为因为0a 0aaa，则，则f(x)f(x)在在aa，+)+)上的最小上的最小值为值为 2021/8/8 星期日55当当xaxa时，函数时，函数f(x)=xf(x)=x2 2+x-a+1=+x-a+1=因为因为0a 0a 所以所以 aa，则则f(x)f(x)在在(-(-，aa上的最小值为上的最小值

10、为 综上，综上，f(x)f(x)的最小值为的最小值为 2021/8/8 星期日56【素养素养探探】在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中在解决含参数的最值问题时，常常用到核心素养中的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的逻辑思维，利用分情况讨论，分别表示不同情况下的最值的最值.将本例的函数改为将本例的函数改为f(x)=x2-2ax+1，试求函数在区间，试求函数在区间0，2上的最值上的最值.2021/8/8 星期日57【解析解析】函数的对称轴为函数的对称轴为x=a，(1)当当x2x2时，时，f(x)f(x)在区间在区间00，22是减函数，是减函数，所以所以f(x)f(x)minmi

11、n=f(2)=5-4a=f(2)=5-4a，所以所以f(x)f(x)minmin=2021/8/8 星期日59(2)(2)当当x1x1时，时，f(x)f(x)maxmax=f(2)=5-4a=f(2)=5-4a；当当x1x1时，时，f(x)f(x)maxmax=f(0)=1=f(0)=1，所以，所以f(x)f(x)maxmax=2021/8/8 星期日60【类题类题通通】一元二次函数的最值一元二次函数的最值(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，出对称轴，根据对称轴和定义域的关系确定最值点，代入

12、函数解析式求最值代入函数解析式求最值.2021/8/8 星期日61(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为开口向上、对称轴为x=m，区间，区间a，b为例，为例，最小值：最小值：f(x)min=2021/8/8 星期日62最大值：最大值：f(x)max=当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨当开口向下、区间不是闭区间等时，类似方法进行讨论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系论，其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.2021/8/8 星期日63【习练习练破破】1.函数函数f(x)=x2-3x-4在区间在区间0，2上的最小

13、值点为上的最小值点为_，最大值为，最大值为_.2021/8/8 星期日64【解析解析】函数的对称轴为函数的对称轴为x=开口向上，开口向上，所以最小值点为所以最小值点为 最大值为最大值为f(0)=-4.答案：答案：-42021/8/8 星期日652.已知函数已知函数f(x)=x2-x+1，求，求f(x)在闭区间在闭区间t，t+1(t R)上的最小值上的最小值.2021/8/8 星期日66【解析解析】函数函数f(x)=x2-x+1=其对称轴为其对称轴为x=(1)当当t时，时，f(x)在在t，t+1上是增函数，上是增函数，所以所以f(x)min=f(t)=t2-t+1；2021/8/8 星期日67(

14、2)当当t+1 即即t-时，时，f(x)在在t，t+1上是减上是减函数，所以函数，所以f(x)min=f(t+1)=t2+t+1；2021/8/8 星期日68(3)当当tt+1，即，即时，函数时，函数f(x)在在 上单调递减，在上单调递减，在 上单调递增，所以上单调递增，所以f(x)min=综上综上f(x)min=2021/8/8 星期日69【加练加练固固】函数函数y=-x2+6x+9在区间在区间a，b(ab3)有最大值有最大值9，最小值最小值-7.则则a=_，b=_.2021/8/8 星期日70【解析解析】因为因为y=-x2+6x+9的对称轴为的对称轴为x=3，而，而ab3.所所以函数在以函数在a，b单调递增单调递增.所以所以 解得解得 或或 2021/8/8 星期日71又因为又因为ab3ab3，所以，所以 答案：答案：-2-20 02021/8/8 星期日722021/8/8 星期日732021/8/8 星期日74