广西桂林市逸仙中学高二数学《二项式定理》课件.ppt

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1、二二 项项 式式 定定 理理2021/8/8 星期日1(a+b)2 =a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 那么将那么将(a+b)4 ，(a+b)5.展开后，它们展开后，它们的各项是什么呢？的各项是什么呢？引入引入C20 a2+C21 ab+C22 b2=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b32021/8/8 星期日2(a+b)2(a+b)(a+b)展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2，ab，b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的

2、系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 =a2+2ab+b2 C20 a2+C21 ab+C22 b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C30a3+C31a2b+C32ab2+C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析2021/8/8 星期日3(a+b)4(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前

3、的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？3)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式中代表着这些项在展开式中出现的次数出现的次数2021/8/8 星期日4每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C40,则则a4前的前的系数为系数为C40恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C41种，则种，则a3b前的系数为前的系数为C41恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为C42恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，则种，则ab3前的系数为前的

4、系数为C43恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，则种，则b4前的系数为前的系数为C44则则(a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b42021/8/8 星期日5二项展开式定理二项展开式定理右右边的多的多项式叫做式叫做(a+b)n的的二二项展开式展开式注注1）二项展开式共有）二项展开式共有n+1项项2）各项中）各项中a的指数从的指数从n起依次减小起依次减小1，到，到0为此为此各项中各项中b的指数从的指数从0起依次增加起依次增加1，到，到n为此为此

5、Cnr an-rbr：二项展开式的：二项展开式的通项通项，记作，记作Tr+1Cnr：二项式系数二项式系数一般地，对于一般地，对于n N*有有如如(1+x)n=1+Cn1 x+Cn2 x2 Cnr xr+xn2021/8/8 星期日6通项公式通项公式 将二项式展开式中第将二项式展开式中第r+1项的一般表达式项的一般表达式 叫做二项展开式中第叫做二项展开式中第r+1项的二项式系数项的二项式系数 叫做二项展开式的通项公式，叫做二项展开式的通项公式，Tr+1=an-rbr (r=0,1,2,3,n)2021/8/8 星期日7注注 意意 通项通项Tr+1是展开式的第是展开式的第r+1项；项；项数项数r+

6、1与指标与指标r不一致（相差不一致（相差1）。）。通项公式中项数是从小到大，由左到右的通项公式中项数是从小到大，由左到右的 顺序排列相加的，通项顺序排列相加的，通项Tr+1=an-rbr 是是(a+b)n 的展开式的第的展开式的第r+1项，但不是项，但不是(b+a)n的第的第r+1项项 虽然虽然(a+b)n=(b+a)n。2021/8/8 星期日8应应 用用:解解:2021/8/8 星期日92021/8/8 星期日10例例3、求求(2a+b)5的的展展开开式式的的(1)第第三三项项；(2)第第三项的二项式系数；三项的二项式系数；(3)第三项的系数。第三项的系数。(3)T3=80a 3b2 第三

7、项的系数是第三项的系数是80解解:(1)T3T2+1 (2a)5-2b2=80a 3b2 (2)=10 第三项的二项式系数是第三项的二项式系数是102021/8/8 星期日11例例4、求（、求（x+a)12的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4项项解解:解解:2021/8/8 星期日121写出写出(pq)7的展开式的展开式解：解：练习：课本第练习：课本第117页的练习页的练习2021/8/8 星期日132求求(2a3b)6的展开式的第的展开式的第3项项解：解：2021/8/8 星期日143求求(3b2a)6的展开式的第的展开式的第3项项解：解：2021/8/8 星期日154写出写出 的展开式的

8、第的展开式的第r+1项。项。解：解：2021/8/8 星期日165 5填空：填空：(x x3 32 2x x)7 7的展开式的第的展开式的第 4 4项的二项式系数是项的二项式系数是 ，第第 4 4项的系数是项的系数是 352802021/8/8 星期日176选择题：选择题：(x1)10的展开式的第的展开式的第6项的系项的系数是数是()(A)(B)(C)(D)D2021/8/8 星期日18 小 结(a+b)n=an+an-1 b1 +an-rbr+bn 二项式定理二项式定理 将二项式展开式中第将二项式展开式中第r+1项的一般表达式项的一般表达式 Tr+1=an-rbr (r=0,1,2,3,n)

9、叫做二项展开式的通项公式，叫做二项展开式的通项公式，叫做二项展开式中第叫做二项展开式中第r+1项项 的的二项式系数二项式系数。2021/8/8 星期日19二项式定理的特点二项式定理的特点 1.系数规律：系数规律：2.指数规律：指数规律：各项的次数均为各项的次数均为n；二项和的第；二项和的第 一项一项a的次数由的次数由n降到降到0，第二项第二项 b的次数由的次数由0升到升到n.3.项数规律：项数规律：二项式的的展开式共有二项式的的展开式共有n+1个项个项4.二项式的展开的形式是关于二项式的展开的形式是关于a与与b 的齐次的齐次 多项式多项式.、2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期日222021/8/8 星期日23