2022年人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修知识点..docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高中数学必修 3 学问点总结第一章 算法初步 1.1.1 算法的概念 1、算法概念 : 在数学上 , 现代意义上的“ 算法” 通常是指可以用运算机来解决的某一类问题是程序或步骤, 这些程序或步骤必需是明确和有效的 , 而且能够在有限步之内完成 . 2. 算法的特点 : 1 有限性 : 一个算法的步骤序列是有限的 止, 不能是无限的 . , 必需在有限操作之后停2 确定性 : 算法中的每一步应当是确定的并且能有效地执行且得到 确定的结果 , 而不应当是模棱两可 . 3 次序性与正确性 : 算法从初始步骤开头 , 分为如干明确的步骤 , 每一个

2、步骤只能有一个确定的后继步骤, 前一步是后一步的前提 , 只有执行完前一步才能进行下一步, 并且每一步都精确无误 , 才能完成问题 . 4 不唯独性 : 求解某一个问题的解法不肯定是唯独的 , 对于一个问 题可以有不同的算法 . 5 普遍性 : 许多详细的问题 , 都可以设计合理的算法去解决 , 如心 算、运算器运算都要经过有限、事先设计好的步骤加以 解决 . 1.1.2 程序框图 1、程序框图基本概念 : _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 一程序构图的概念 : 程序框图又称流程图 , 是一种用规定的图形、指向

3、线及文字说明来精确、直观地表示算法的图形；一个程序框图包 括以下几部分 : 表示相应操作的程序框 ; 带箭头的流程线 ; 程序框外必要 文字说明； 二构成程序框的图形符号及其作用1、使用标准的图形符号； 2 、框图一般按从上到下、从左到右的 方向画； 3 、除判定框外 , 大多数流程图符号只有一个进入 点和一个退出点；判定框具有超过一个退出点的唯独符号；类, 一类判定框“ 是” 与“ 否” 两分支的判定 , 4 、判定框分两大而且有且仅有两个结果 ; 另一类是多分支判定 , 有几种不同的结果；5、在图形符号内描述的语言要特别简练清晰； 三 、算法的三种基本规律结构 : 次序结构、条件结构、循环

4、结构；_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、次序结构 : 次序结构是最简洁的算法结构, 语句与语句之间 , 框与框之间是按从上到下的次序进行的, 它是由如干个依次执行的处理步骤组成的 , 它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构；次序结构在程序框图中的表达就是用流程线将程序框自上而 下地连接起来 , 按次序执行算法步骤；如在示意图中, A 框和 B 框是依次执行的 , 只有在执行完 A 框指定的操作后 , 才能接着执 行 B 框所指定的操作； 2 、条件结构 : 条件结构是指在算法中通过对条件的判定 择不同流

5、向的算法结构；依据条件是否成立而选条件 P 是否成立而挑选执行 A 框或 B 框；无论 P 条件是否成立 , 只能执行 A 框或 B 框之一 , 不行能同时执行 A 框和 B 框, 也不行能A 框、 B 框都不执行；一个判定结构可以有多个判定框；3、循环结构 : 在一些算法中 , 常常会显现从某处开头 , 依据肯定条件 ,反复执行某一处理步骤的情形, 这就是循环结构 , 反复执行的处理步骤为循环体 , 明显, 循环结构中肯定包含条件结构；循环结构又称重复结构, 循环结构可细分为两类: 1 、一类是当型循环结构, 如下左图所示 ,它的功能是当给定的条件 P 成立时 , 执行 A 框, A 框执行

6、完毕后 , 再判定条 件 P 是否成立 , 假如仍旧成立 , 再执行 A 框, 如此反复执行 A 框, 直到某一次条件 P 不成立为止 , 此时不再执行 A 框, 离 开循环结 构；_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 、另一类是直到型循环结构, 如下右图所示 , 它的功能是先执行 ,然后判定给定的条件 P 是否成立 , 假如 P 仍旧不成 立, 就连续执行 A 框, 直到某一次给定的条件 P 成立为止 , 此时不再执行 A 框, 离开循环 结构；当型 直到型循环结构 注 意:1 循环结构要在某个 条 件 下

7、终 止 循但不答应“ 死 循环”； 计 数 变1.2.1 输入、输出语句和赋值语句_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、输入语句1 输入语句的一般格式2 输入语句的作用是实现算法的输入信息功能; 3 “ 提示内容” 提示用户输入什么样的信息 , 变量是指程序在运行时其值是可 以变化的量 ; 4 输入语句要求输入的值只能是详细的常数, 不能是函数、变量或表达式; 5 提示内容与变量之间用分号“ ; ” 隔开 , 如输入多个变量 , 变量与变量之间用逗号“, ” 隔开； 2 、输出语句1 输出语句的一般格式2 输出

8、语句的作用是实现算法的输出结果功能; 3 “ 提示内容”提示用户输入什么样的信息, 表达式是指程序要输出的数据; 4输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符；1 赋值语句的一般格式 3 、赋值语句_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量; 3赋值语句中的“=” 称作赋值号 , 与数学中的等号的意义是不 同的；赋值号的左右两边不能对换 , 它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量 ; 4 赋值语句左边只能是变量名字, 而不是表达式 , 右边表达式可以是一个数据、

9、常量或算式 ; 5 对于一个变量可以多次赋值；留意: 赋值号左边只能是变量名字 错误的；赋值号左右不能对换；如“, 而不能是表达式；如 :2=X 是 A=B”“ B=A”的含义运行结果是不同的；不能利用赋值语句进行代数式的演算； 如化简、因式分解、解方程等赋值号“ = ” 与数 学中的等号意义不同； 1. 2. 2 条件语句1、 条件语句的一般格式有两种 :1 IF THEN ELSE 语句; 2 IF THEN 语句； 2 、 IF THEN ELSE 语句 IF THEN ELSE 语句的一般格式为图 1, 对应的程序框图为图 2 ；图 1 图 2 分析: 在 IF THEN ELSE 语

10、句中 , “ 条件” 表示判定的条件 , “ 语句 1” 表示满意条件时执行的操作内容 ; “ 语句 2” 表示 不满意条件时执行的操作内容 ; END IF 表示条件语句的终止；运算机在执行时, 第一对 IF 后的条件进行判定 , 假如条件符合, 就执行 THEN 后面_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 的语句 1; 如条件不符合 , 就执行 ELSE 后面的语句 2 ； 3 、 IF THEN 语句IF THEN 语句的一般格式为图 3, 对应的程序框图为图 4 ；留意: “ 条件” 表示判定的条件 ; “

11、语句” 表示满意条件时执行的操作内容 , 条件不满意时 , 终止程序 ; END IF 表示条件 语句的终止；运算机在执行时第一对 IF 后的条件进行判定 , 假如条件符合就执行THEN 后边的语句 , 如条件不符合就直接 它语句；1. 2. 3 循环语句终止该条件语句 , 转而执行其循环结构是由循环语句来实现的；对应于程序框图中的两种循环结构, 一般程序设计语言中也有当型WHILE 型和 直到型 UNTIL 型两种语句结构；即 WHILE 语句和 UNTIL 语句； 1 、 WHILE 语句 1 WHILE 语句的一般格式是_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 20 页_归

12、纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 当运算机遇到 WHILE 语句时 , 先判定条件的真假 , 假如条件符合 , 就执行 WHILE 与 WEND 之间的循环体 ; 然后再 检查上述条件 , 假如条 件仍符合 , 再次执行循环体 , 这个过程反复进行 , 直到某一次条件不符合为止；这时 , 运算机将不执行循环体 , 直接跳到WEND 语句后 , 接着执行 WEND 之后的语句；因此 , 当型循环有时也 称为“ 前测试型” 循环；2、 UNTIL 语句1 UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是2 直到型循环又称为“ 后测试型” 循环 , 从 UNTIL 行条件的判定 ,假

13、如条件不满意 , 连续返回执行循环体 , 然后再进行条件的判定 , 这个过程反复进行 , 直到某一次条件满意时, 不再执行循环体 , 跳到 LOOP UNTIL语句后执行其他语句 , 是先执行循环体后进行条件判定的循环语句； 分析: 当型循环与直到型循环的区分: 先由同学争论再归纳 1 当型循环先判定后执行 , 直到型循环先执行后判定 ; 在 WHILE 语句中 , 是当条件满意时执行循环体 是当条件不满意时执行循环1.3.1 辗转相除法与更相减损术, 在 UNTIL 语句中 ,_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - -

14、 1、辗转相除法；也叫欧几里德算法, 用辗转相除法求最大公约数的步骤如下 : 1 : 用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 0S 和一个余数 0R ; 2 : 如 0R =0, 就 n 为 m , n 的最大公约数 ; 如 0R 0, 就用除数 n 除以余数 0R 得到一个商 1S 和一个余数 1R ; 3 :如 1R =0, 就 1R 为 m , n 除数的最大公约数 ; 如 1R 0, 就用0R 除以余数 1R 得到一个商 2S 和一个余数2R ;, 依次运算直至 n R =0, 此时所得到的 1n R 即为所求的最 大公约数；2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法, 就

15、是更相减损术；在九章算术中有更相减损术求最大公约数的步骤: 可半者半之, 不行半者 ,副置分母 .子之数 , 以少减多 , 更相减损 , 求其等也 , 以等数约之；翻译为 :1 : 任意给出两个正数 ; 判定它们是否都是偶数；如是 , 用2 约简; 如不是 , 执行其次步； 2 : 以较大的数减去 较小的数 , 接着把较小的数与所得的差比较 , 并以大数减小数；连续这个操作 , 直到所得的数相等为止 , 就这个数 等数 就是所求的最大公约数；例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数 . 分析: 略_精品资料_ 3、辗转相除法与更相减损术的区分: 第 9 页,共 20 页- - -

16、- - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1 都是求最大公约数的方法, 运算上辗转相除法以除法为主, 更相减损术以减法为主 , 运算次数上辗转相除法运算次数 两个数字大小区分较大时运算次数的区分较明显；相对较少 , 特殊当2 从结果表达形式来看 , 辗转相除法表达结果是以相除余数为 0 就 得到, 而更相减损术就以减数与差相等而得到 1.3.2 秦九韶算法与排序 1、秦九韶算法概念 : fx=an x n +an-1x n-1+ .+a 1x+a0 求值问题fx=an x n +an-1x n-1+ .+a 1x+a0= an x n-1+an-1x n-2+ .+a

17、 1x+a0 = an x n-2+an-1x n- 3+ .+a 2x+a1x+a0=.=. an x+an-1x+an-2x+.+a1x+a0 求多项式的值时 , 第一运算最内层括号内依次多项式的值 , 即 v 1=an x+an-1 然后由内向外逐层运算一次多项式的值 , 即 v 2=v1x+an-2 v 3=v2x+an-3 . v n =vn-1x+a0 这样, 把 n 次多项式的求值问题转化成求 问题； n 个一次多项式的值的2、两种排序方法 : 直接插入排序和冒泡排序 1、直接插入排序基本思想 : 插入排序的思想就是读一个, 排一个；将第 1 个数放入数_精品资料_ 组的第 1

18、个元素中 , 以后读入的数与已存入数组的数进行比较 , 确定第 10 页,共 20 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 它在从大到小的排列中应处的位置. 将该位置以及以后的元素向后推移一个位置 , 将读入的新数填入空出的位 置中. 由于算法简洁 , 可以举例说明2、冒泡排序基本思想 : 依次比较相邻的两个数 , 把大的放前面 , 小的放后面 . 即第一比较第 1 个数和第 2 个数 , 大数放前 , 小数放后 . 然后比较第 2 个数和第 3 个数 . 直到比较最终两个数 . 第一趟终止 , 最小的肯定沉到最终 . 重复上过程 , 仍从第 1 个数

19、开头 , 到最 后第 2 个数 . 由于在排序过程中总是大数往前 , 小数往后 , 相当气泡上升 , 所以叫冒泡排序 . 1.3.3 进位制1、概念 : 进位制 是一种记数方式 , 用有限的数字在不同的位置表示不同的数值；可使用数字符号的个数称为基数 进位制 , 简称 n 进制；现在最常用的是十进制, 基数为 n , 即可称 n , 通常使用 10 个阿拉伯数字 0-9 进行记数；对于任何一个数 , 我 们可以用不同的进位制来表示；比如 : 十进数 57, 可以用二进制表示为 111001, 也可以用八进制表示为 71 、用十六进制表示为 39, 它们所代表的数值都是一样的；一般地 , 如 k

20、 是一个大于一的整数 , 那么以 k 为基数的 k 进制可 以表示为 : 110 110. 0,0,., , n n k n n a a a a a k a a a k -,而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示 , 如 1110012 表示二进制数 ,345 表示 5 进制数其次章 统计_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2.1.1 简洁随机抽样1. 总体和样本在统计学中 , 把争论对象的全体叫做总体 . 把每个争论对象叫做个体 . 把总体中个体的总数叫做总体容量 . 为了争论总体 的有关性质 , 一般

21、从总体中随机抽取一部分 :, , , 争论, 我们称它为样本 . 其中个体的个数称为样本容量 . 2. 简洁随机抽样 , 也叫纯随机抽样；就是从总体中不加任何分组、划类、排队等 , 完全随机地抽取调查单位；特点是 : 每个样本单位被抽中的可能性相同 概率相等 , 样本的每个单位完全独立 , 彼此间无肯定 的关联性和排斥性； 简洁随机抽样是其它各种抽样形式的基础；通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时 , 才采 用这种方法；3. 简洁随机抽样常用的方法 : 1 抽签法 ; 随机数表法 ; 运算机模拟法 ; 使用统计软件直接抽取；在简洁随机抽样的样本容量设计中 答应误差范畴 ; 概率保证程

22、度；4. 抽签法 : , 主要考虑 : 总体变异情形 ; _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1 给调查对象群体中的每一个对象编号 ; 2 预备抽签的工具 , 实施抽签 3 对样本中的每一个个体进行测量或调查 例: 请调查你所在的学校的同学做喜爱的体育活动情形；5. 随机数表法 : 例: 利用随机数表在所在的班级中抽取 2.1.2 系统抽样 1. 系统抽样 等距抽样或机械抽样 : 10 位同学参与某项活动；把总体的单位进行排序 , 再运算出抽样距离 , 然后依据这一固定的抽样距离抽取样本；第一个样本采纳简洁随机

23、抽样 K 抽样距离 =N 总体规模 /n 样本规模的方法抽取；前提条件 : 总体中个体的排列对于争论的变量来说 , 应是随机的 , 即不存在某种与争论变量相关的规章分布；可以在调查答应的条件下 ,从不同的样本开头抽样 , 对比几次样本的特点；假如有明显差别 , 说明样本在总体中的分布承某种循环性 合；规律, 且这种循环和抽样距离重2. 系统抽样 , 即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一；由于 它对抽样框的要求较低 , 实施也比较简洁；更为重要的 是, 假如有某种与调查指标相关的帮助变量可供使用, 总体单元按帮助变量的大小次序排队的话 , 使用系统抽样可以大大提 高估量精度；2.1.3 分层

24、抽样_精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1. 分层抽样 类型抽样 : 先将总体中的全部单位依据某种特点或标志 如干类型或层次 , 然后再在各个类型或层次中采 性别、年龄等划分成 用简洁随机抽样或系用抽样的方法抽取一个子样本 , 最终, 将这些子样本合起来构成总体的样本；两种方法 : 1. 先以分层变量将总体划分为如干层 从各层中抽取；2. 先以分层变量将总体划分为如干层, 再依据各层在总体中的比例, 再将各层中的元素按分层的次序整齐排列 , 最终用系统抽样的方法抽取样本；2. 分层抽样是把异质性较强的总体分成一

25、个个同质性较强的子总体 ,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体 表总体；分层标准 : , 所 有的样本进而代1 以调查所要分析和争论的主要变量或相关的变量作为分层的标 准；2 以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在 结构的变量作为分层变量；3 以那些有明显分层区分的变量作为分层变量；3. 分层的比例问题 : 1 按比例分层抽样 : 依据各种类型或层次中的单位数目占总体单位 数目的比重来抽取子样本的方法；_精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 不按比例分层抽样 : 有的层次在总体中的比重太小

26、 , 其样本量就会特别少 , 此时采纳该方法 , 主要是便于对不同层次的子总体进行特地争论或进行相互比较；假如要用样本资料推断总体时, 就需要先对各层的数据资料进行加权处理, 调整 样本中各层的比例 , 使数据复原到总体中各层实际的比例结构；2.2.2 用样本的数字特点估量总体的数字特点 1、本均值 :n x x x x n += 21 2、 . 样本标准差 :n x x x x x x s s n 2 22212 -+-+-= 3. 用样本估量总体时 , 假如抽样的方法比较合理 总体的信息 , 但从样本得到的信息会有偏差；在随机 是不行防止的；, 那么样本可以反映 抽样中 , 这种偏差虽然我

27、们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正 的分布、均值和标准差 , 而只是一个估量, 但这种估量是合理的 , 特殊是当样本量很大时 , 它们的确反映 了总体的信息；4. 1 假如把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的 常数, 标准差不变2 假如把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数 k ,标准差变为原先的 k 倍_精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3 一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响 s x +- 的应用 ; , 区间 3, 3s x “ 去掉一个最高分 , 去掉一个最低分”

28、中的科学道理 2.3.2 两个变量的线性相关 1、概念 : 1 回来直线方程 2 回来系数 2. 最小二乘法 3. 直线回来方程的应用1 描述两变量之间的依存关系 个变量间依存的数量关系; 利用直线回来方程即可定量描述两2 利用回来方程进行猜测 ; 把预报因子 即自变量 x 代入回来方程 对预报量 即因变量 Y 进行估量 , 即可得到个体 Y 值的容许区间；3 利用回来方程进行统计掌握规定 Y 值的变化 , 通过掌握 x 的范围来实现统计掌握的目标；如已经得到了空气中NO 2的浓度和汽车流量间的回来方程 制空气中 NO 2 的浓度；4. 应用直线回来的留意事项 1 做回来分析要有实际意义 ;

29、, 即可通过掌握汽车流量来控_精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 回来分析前 , 最好先作出散点图 ; 3 回来直线不要外延；第三章 概 率 3.1.1 3.1.2 随机大事的概率及概率的意义1、基本概念 : 1 必定大事 : 在条件 S 下, 肯定会发生的大事 , 叫相对于条件 S 的 必定大事 ; 2 不行能大事 : 在条件 S 下, 肯定不会发生的大事 , 叫相对于条件 S 的不行能大事 ; 3 确定大事 : 必定大事和不行能大事统称为相对于条件 S 的确定 大事; 4 随机大事 : 在条件 S 下可能

30、发生也可能不发生的大事 , 叫相对于 条件 S 的随机大事 ; 5 频数与频率 : 在相同的条件 S 下重复 n 次试验 , 观看某一大事 A 是否显现 , 称 n 次试验中大事 A 显现的次数 nA 为事 件 A 显现的频数 ; 称大事 A 显现的比例 fnA= n n A 为大事 A 显现的概率 : 对于给定的随机大事 A , 假如随着_精品资料_ - - - - - - -第 17 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 试验次数的增加 , 大事 A 发生的频率 fnA 这个常数记作 P A , 称为大事 A 的概率；稳固在某个常数上 , 把6 频率与概率的

31、区分与联系 : 随机大事的频率 , 指此大事发生的次 数 nA 与试验总次数 n 的比值 n n A , 它具有肯定的稳 定性, 总在某个常数邻近摇摆 , 且随着试验次数的不断增多 , 这种摆动幅度越来越小；我们把这个常数叫做随 上反映了随机大事发生的可能性的大小；下可以近似地 作为这个大事的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念 : 机大事的概率 , 概率从数量 频率在大量重复试验的前提1 大事的包含、并大事、交大事、相等大事2 如 A B 为不行能大事 , 即 A B= , 那么称大事 A 与大事 B 互斥; 3 如 A B 为不行能大事 , A B 为必定大事 , 那么称大事 A 与

32、大事 B 互为对立大事 ; 4 当大事 A 与 B 互斥时 , 满意加法公式 :PA B= PA+ PB; 如 大事 A 与 B 为对立大事 , 就 A B 为必定大事 , 所 以 PA B= PA+ PB=1, 于是有 PA=1 PB _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2、概率的基本性质 : 1 必定大事概率为 1, 不行能大事概率为 0, 因此 0 PA 1; 2 当大事 A 与 B 互斥时 , 满意加法公式 :PA B= PA+ PB; 3 如大事 A 与 B 为对立大事 , 就 A B 为必定大事 ,

33、 所以 PA B= PA+ PB=1, 于是有 PA=1 PB; 4 互斥大事与对立大事的区分与联系, 互斥大事是指大事 A 与大事B 在一次试验中不会同时发生 , 其详细包括三种不 同的情形 :1 大事 A 发生且大事 B 不发生 ; 2 大事 A 不发生且大事 B 发生; 3 大事 A 与大事 B 同时不发生 , 而 对立大事是指大事 A 与大事 B 有且仅有一个发生 , 其包括两种情形 ; 1大事 A 发生 B 不发生 ; 2大事 B 发生事 件 A 不发生 , 对立大事互斥大事的特殊情形；3.2.1 3.2.2 古典概型及随机数的产生1、 1 古典概型的使用条件 : 试验结果的有限性和

34、全部结果的等可能性；2 古典概型的解题步骤 ; 求出总的基本领件数 ; 求出大事 A 所包含的基本领件数 , 然后利用公式 P A = 总的基本领件个数 包含的基本领件数 A 3.3.1 3.3.2 几何概型及匀称随机数的产生 1 、基本概念 : 1 几何概率模型 : 假如每个大事发生的概率只与构成该大事区域的长度 面积或体积成比例 , 就称这样的概率模型 2 几何概型的概率公式 : 为几何概率模型 ; _精品资料_ - - - - - - -第 19 页,共 20 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - P A = 积 的区域长度 面积或体 试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体 构成大事 A ; _精品资料_ 2 几何概型的特点 :1 试验中全部可能显现的结果 基本领件有无第 20 页,共 20 页限多个 ; 2 每个基本领件显现的可能性相等. - - - - - - -