2022年函数与不等式问题的解题技巧.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载函数与不等式问题的解题技巧一、重点解析1明白映射的概念,懂得函数的概念2明白函数的单调性和奇偶性的概念,把握判定一些简洁函数的单调性和奇偶性的方法,并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程3明白反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简洁函数的反函数4懂得分数指数的概念,把握有理指数幂的运算性质,把握指数函数的概念、图象和 性质5懂得对数的概念,把握对数的运算性质,把握对数函数的概念、图象和性质6能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简洁的实际问题7在娴熟把握一元一次不等式组、一元二次不等式的解法

2、基础上,把握其它的一些简洁不等式的解法通过不等式解法的复习,提高同学分析问题、解决问题的才能以及运算才能8把握解不等式的基本思路,即将分式不等式、肯定值不等式等不等式,化归为整式 不等式 组,会用分类、换元、数形结合的方法解不等式9通过复习不等式的性质及常用的证明方法比较法、 分析法、 综合法、 数学归纳法等,使同学较敏捷的运用常规方法即通性通法 证明不等式的有关问题10通过证明不等式的过程,培育自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的才能11能较敏捷的应用不等式的基本学问、基本方法,解决有关不等式的问题12通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析

3、几何等各部分学问中的应用,深化数学学问间的融汇贯穿,从而提高分析问题解决问题的才能 在应用不等式的基本学问、方法、思想解决问题的过程中,提高同学数学素养及创新意识二、例题解析1.函数的定义域及其求法函数的定义域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.这里主要帮忙考生敏捷把握求定义域的各种方法,并会应用用函数的定义域解决有关问题. x 的定义域为N,就 M例 1（ 20XX 年 广东 卷理）已知函数f x 1x的定义域为M , gx= ln11N= （ A） x x1（B） x x1（ C）x| 1x1（ D）. x x1 , M命题意图 : 此题主要考查含有分式、无理式和对数的函数的定义域的求

4、法解 ： 函 数f x 1x的 定 义 域M=x x1 ,gx= ln1x的 定 义 域N=1N= x|1x1应选 C _精品资料_ 例 2. 20XX 年湖南卷）函数ylog2x2的定义域是 . 第 1 页,共 11 页（A）3,+ （B）3, + （C）4, + （D） 4, + 命题意图 : 此题主要考查含有无理式和对数的函数的定义域的求法- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：由x020x4.学习必备欢迎下载,应选 D. log2x2.求函数的反函数求函数的反函数,有助与培育人的逆向思维才能和深化对函数的定义域、值域,以及函数概念的懂得 .

5、例 3（20XX 年安徽卷）函数y2 , x x0的反函数是（. ）x2,x0（A）yx x 200（B）y2 , x x0x x0x x（C）yx x 200（D）y2 , x x00x xx x命题意图 : 此题主要考查有关分段函数的反函数的求法解:y2 ,xy.f1 x,x0;22又yx2,y0,f1 x ,x0 .yx x 20x x0.应选 C. 例 4（20XX 年湖北 卷理） 已知函数y2xa的反函数是ybx3,就 a；b1. 26,b命题意图 : 此题主要考查反函数的求法及待定系数法等学问. 解：y2xa,x1ya,y1xa1x1a与ybx3比较得 a2222故填6；123.复

6、合函数问题复合函数问题 ,是新课程、 新高考的重点 .此类题目往往分为两类 :一是结合函数解析式的求法来求复合函数的值 .二是应用已知函数定义域求复合函数的定义域 . 例 5（20XX 年北京 卷文 ）对于函数 f x x 2, f x x 2 2, f x cos x 2,判定如下两个命题的真假：命题甲：f x2是偶函数；. ,上是减函数,命题乙：f x在,上是减函数,在2,上是增函数；能使命题甲、乙均为真的全部函数的序号是（）命题意图 : 此题主要考查利用复合函数和函数单调性等学问解决问题的才能解：f x x2 2 ,f x22 x 是偶函数,又函数f x22开口向上且在 在 2,上是增函

7、数故能使命题甲、乙均为真的函数仅有f x x22应选_精品资料_ 例 6（20XX 年安徽卷）函数fx对于任意实数x 满意条件fx2f1,如f15,就第 2 页,共 11 页xff5_. - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载命题意图 : 此题主要考查代数式恒等变形和求复合函数的值的才能 . 解：由fx2f1,得fx4f12f x ,所以f5f15,就xxff5f 5f 1f121. 154.函数的单调性、奇偶性和周期性 函数的单调性、奇偶性和周期性是高考的重点内容之一,考查内容敏捷多样 . 这里主要 帮忙读者深刻懂得奇偶性、单调性和

8、周期性的定义,把握判定方法, 正确熟悉单调函数与奇 偶函数的图象 . 例 7（20XX 年全国卷）已知函数fxax z11,如 fx为奇函数, 就 a_. 命题意图 : 此题主要考查函数的解析式的求解以及函数的奇偶性应用. 常规解法：由fx 为奇函数 ,所以 fx+f-x=0, 即a2x11a2110,xa121121111x2x1.应填1 . 22xx2212奇妙解法：由于fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 即a2011,0a1.应填1 . 22点评：奇妙解法巧在利用了fx 为奇函数 ,所以 f0=0, 这一重要结论 . 例 8（20XX 年全国卷理 I）f x,g x是定义在 R 上的函数

9、,h x f x g x,就“f x,g x 均为偶函数” 是“h x为偶函数” 的（）A充要条件 B充分而不必要的条件C必要而不充分的条件 D既不充分也不必要的条件命题意图 : 此题主要考查两个函数的加法代数运算后的单调性以及充分条件和必要条件的相关学问 . 解 先证充分性：由于 f x,g x均为偶函数,所以 f x f x , g x g x,有h x f x g x f x g x h x,所以 h x为偶函数反过来,如 h x为偶函数,f x g x不肯定是偶函数如 h x x,2f x x , g x x 2x,应选 B. 方法二：可以选取两个特别函数进行验证应选 B 点评： 对充

10、要条件的论证,肯定既要证充分性,又要证必要性,二着缺一不行同时,对于抽象函数,有时候可以选取特别函数进行验证5.函数的图象与性质函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一,它是争论和记忆函数性质的直观工具,利用它的直观性解题,可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此,读者要把握绘制函数图_精品资料_ 象的一般方法,把握函数图象变化的一般规律,能利用函数的图象争论函数的性质.此类题第 3 页,共 11 页目仍很好的考查了数形结合的解题思想. 例 920XX 年山东卷 函数 y= 1+ax0a1的反函数的图象大致是 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （A

11、）（B）学习必备欢迎下载（D）（C）命题意图 : 此题主要考查对数函数的图象,识. 互为反函数图象间关系及对数的运算性质等知f解 ： y= 1+a x0a1, f1xlog x1, 0a1. 此 函 数 图 象 是 由 函 数xlogax , 0a1向右平移一个单位得到的. 应选 A. 6. 函数综合问题函数综合问题是历年高考的热点和重点内容之一,一般难度较大, 考查内容和形式敏捷掌多样 . 这里主要帮忙考生在把握有关函数学问的基础上进一步深化综合运用学问的才能,握基本解题技巧和方法,并培育读者的思维和创新才能. 例 10（20XX 年浙江卷 文）已知fx|x21|x2kx .（）如 k =

12、2,求方程f x 0的解；（）如关于x 的方程fx0在（ 0,2）上有两个解x1, x2,求 k 的取值范畴,并证明114.x 1x 2命题意图：此题主要考查函数的基本性质、方程与函数的关系等基础学问,以及综合运用所学学问、分类争论等思想方法分析和解决问题的才能；满分2x15 分；（ I）解：当k2 时,fx |x21|x2.0分两种情形争论：当x2111 时,即x1 或x11 时, 方程化为2x22x1,01,23. 由于231,舍去 所以x123.解得x0当x210 时,即1x1, 方程化为 1+2x = 0, 解得x2由得,当k2 时,方程fx 0 的解是因此,x 10,1 ,x 21,

13、2.x123,或x1.2（ II）解：不妨设0x 1x22,由于fx2x2,1kx,1|x|,1kx|x|,1所以fx 在1,0是单调递函数,故fx 0在01,上至多一个解,如x 1,x21,2,就x x 210,故不符合题意,2由f x 10,得k1,所以k1;x 1由f x 20,得k12x 2,所以7k1.x 22.故当7k1 时,f x 0在0,2上有两个解2方法一：_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 由于x10,1 ,所以x 11,而方程2x2学习必备欢迎下载kk28;kx10 的两根是k4由于x21,

14、2,所以x2kk28,8k,28k72878,4就1 x 11kk24k1 2k2x28而yk28k在7 2, 1 上是减函数,就k22因此1 x 114.x2方法二：由于x 101,所以kx 110；,解题时应留意由于x 2,12,所以2x2kx 210,2由消去k,得22 x x 2x 1x20 , 即112x 又由于x 21, 2 ,114.x 1x 2x 1x 27.以集合为背景的不等式以集合为背景的不等式 ,以考查不等式的解法和集合的有关概念与运算为目的将不等式的解法与集合的有关概念和运算相结合,精确解题 .例 11. （20XX 年北京卷文 ）记关于 x 的不等式xa0的解集为 P

15、 ,不等式x1 的解集为Q. x1（I）如a3,求 P ；P,求正数 a 的取值范畴（II ）如 Q命题意图：此题主要考查集合的有关概念和运算及分式不等式和含肯定值的不等式的解法解：（I）由x30,得Px1x3x1（II ）Qx x11x0x2由a0,得Px1xa,又QP ,所以a2,即 a 的取值范畴是2,8.以线性规划形式显现的不等式以线性规划形式显现的不等式 ,重在考查数形结合的解题才能 .这种题目解题时要留意依据已知不等式组作出图形 ,分析求解 . 例 12.（2022 年辽宁卷） 双曲线 x 2y 24 的两条渐近线与直线 x 3 围成一个三角形区域 ,表示该区域的不等式组是_精品资

16、料_ （A ）xy0（B）xy0（C）xy0（D）xy0. 第 5 页,共 11 页xy0xy0xy0xy00x30x30x30x3命题意图： 此题主要考查利用双曲线的图象性质和线性规划的学问,表达数形结合才能解：作图可知 三角形区域在第一象限.即满意xy0xy00x3- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载应选 A 9.以简易规律为背景的不等式,来确定命题 ,用简易规律学问解决以简易规律为背景的不等式 ,解题时往往以不等式为工具问题 .例 13.（2022 年山东卷 ）设p:2 xx200,q:1|x20,就 p是 q 的|x2（ A

17、）充分不必要条件（B）必要不充分条件（ C）充要条件（D）既不充分也不必要条件命题意图： 此题主要考查利用不等式和简易规律学问解决问题的才能. 解： 由题设可得 : 2 p x|xx20即0,即p x1,5,x4.x2.1q:120,x或x2,|x2应选 A 10.与函数学问结合的不等式, 结合函数学问,通过推理来 解决问与函数学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式为工具题. 例 14.（2022 年山东卷 ）设 f x 2log e x3 1,x x2 ,1,x 2.就 f f 2 的值为（A）0 （B）1 （C）2 （D） 3 命题意图： 此题主要考查利用不等式和 函数学问解决问题的才能

18、.解：f f 2 = f log 3 3 f 1 2 e 02. 应选 C 12.与平面对量学问结合的 不等式与平面对量学问结合的 不等式 ,解题时往往以不等式为工具 , 结合平面对量学问和坐标运算 ,通过 和坐标运算和 推理来 解决问题 ._精品资料_ 例 15.（ 2022 年辽宁卷） 设O0,0,A 1,0,B 0,1,点 P 是线段 AB 上的一个动点 , APAB ,如第 6 页,共 11 页OP ABPA PB ,就实数的取值范畴是（A）1 21（B）1212（C）1 212（D）1212222命题意图： 此题主要考查利用不等式和平面对量学问解决问题的才能.解： 设 Px,y, 就

19、由 APAB得, APAB,即 x1, 1,1,x1,解得xy1.,yOP ABPA PB , , 1,11x,y x ,1y ,x2y2y0,12 220,1212.22又点 P 是线段 AB 上的一个动点 ,01.- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 121.学习必备欢迎下载2应选 B 13.与函数的导数学问结合的不等式函数的导数 为工具 , 结合函数学问,.与函数的导数学问结合的不等式 ,解题时往往以不等式和通过推理来 解决问题 . 例 16. （2022 年江西 卷）已知函数f x 3 xax2bxc 在x2与x1时都取得极值 . 31 求 a

20、 、 b 的值及函数f x的单调区间 ; 2 如对x1,2,不等式f x c2恒成立 ,求 c 的取值范畴 . 命题意图： 本小题考查函数的导数,函数,函数极值的判定,给定区间上二次函数的最值等基础学问的综合运用,考查就数形结合的数学思想分析问题,解决问题的才能 .3 2 2解：1 x ax bx c f 3 x 2 ax b ,由 f 2 12 4a b 0, f 1 3 2 a b 0,3 9 3得 a 1 , b 2,2f 3 x 2x 2 3 x 2 x 1, 函数 f x 的单调区间如下表 :x , 23 23 23 ,1 1 1, f 0 0f x 极大值 微小值所以函数 f x

21、的递增区间为 , 2 与 1, ;递减区间为 2 ,1 . 3 33 1 22 f x x x 2 x c2x 1,2 , 当 x 2 时 , f x 22c 为极大值 ,3 27而 f 2 2 c , 就 f 2 2 c 为最大值 .要使 f x f 2 2 c ,解得 c 2.14.与数列学问结合的 不等式与数列学问结合的 不等式 ,解题时往往以不等式和 数列学问结合 为工具 , 结合函数学问 ,通过运算和推理来 解决问题 . 例 17.（2022 年湖北卷）_精品资料_ 设数列a n的前 n 项和为S,点n ,S nnN*均在函数y3x2的图像上 . 第 7 页,共 11 页n（）求数列

22、na的通项公式；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （） 设b n31,T是数列nb学习必备欢迎下载T nm对全部n* N 都成立的最小正的前 n 项和, 求使得20a a n整数 m . 命题意图：本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础学问和基本的运算技能,考查分析问题才能和推理才能 . 解：（I）依题意得,S n3 n 2, 即 S n 3 n 22 n . n当 n2 时,a n S n S n 1 3 n 22 3 n 1 22 n 1 6 n 5 ; 当 n=1 时,a 1 S 1 31 -2 1-1-6 1-5. 所以 a n

23、6 n 5 n N . （II ）由（ I）得 b n 3 1 1 1 1,a a n 1 6 n 5 6 n 1 5 2 6 n 5 6 n 1故T n1 1 nb 12 1 17 17 13 1.6 n 15 6 n 11 =12 16 n 11 . 因此,使得1 1 1m n N 成立的 m 必需满意1m ,即 m10,故满意要求的最2 6 n 1 20 2 20小整数 m 为 10. 15.不等式 的实际应用不等式 的实际应用题 ,解题时往往以不等式为工具 , 结合函数学问和函数的导数的应用 ,通过建立不等式模型 ,利用运算和推理来 解决问题 . 例 18（ 20XX 年重庆卷 文）（

24、本小题满分 12 分）用长为 18m 的钢条围成一个长方体外形的框架,要求长方体的长与宽之比为 2：1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是多少？命题意图： 本小题主要考查利用函数的最大值和最小值的基础学问,决实际问题的才能解：设长方体的宽为x x（m）,就长为2x m,高为h1812x4.53m0x3.42以及运用不等式学问解故长方体的体积为 V x 2 x 2 4 5. 3 x 9 x 26 x 3 m 3 0 x 3.2从而 V x 18 x 18 x 218 x 1 x 令 V x 0,解得 x 0（舍去）或 x=1,因此 x=1. 当 0 x 1 时,V x ;0

25、 当 1 x 3时,V x 0,2故在 x=1 处 V x 取得极大值,并且这个极大值就是 V x 的最大值 . 从而最大体积 V V 1 9 1 2 6 1 3 3 m 3 ,此时长方体的长为 2m,高为 1.5m 答：当长体的长为 2m,宽为 1m,高为 1.5m 时,体积最大,最大体积为 3m 3. 三、专题训练与高考猜测一.挑选题_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1.y=x22x3的单调递减区间为（学习必备欢迎下载）A. , 3 B., 1 C. 1,+D. 3, 1,y=f 2x,y=1）2.以下函数

26、中,在区间0, 1上是增函数的是（）A. y=xB.y= x11C.y=32x D.y=x 2+2x+1 3.设 fx是定义在A 上的减函数,且fx0,就以下函数：y=32fx,y=1+f2x fx,其中增函数的个数为（）A.1 B.2 x+a+43C.3 x+4=0 有解,就实数D.4 ）4关于 x 的方程 9a 的取值范畴是（A （-, -80,+） B、（-, -4） -8 ,4） D、（-, -8 5如 a0,b0,且 2a+b=1,就 S=2 ab -4a 2-b 2 的最大值是（）A 21B、21C、21D、21226已知不等式m 2cos 2 5m4sin2 0 恒成立,就实数m

27、 的取值范畴是（A.0 m4 B.1 m4 Cm4 或 x0 D.m1 或 m0 二.填空题7.设 fx=x 21x 2,就 f14=_. 8.已知 fx=3x2,就 f13x2=_. 9.已知 f（x）是奇函数,当x（ 0,1）时, f（x） lg11x,那么当x（ 1,0）时,f（x）的表达式是 _10. 记 S=1211yy12211,就 S 与 1 的大小关系是. 2101010 21111.当x0, 2时 ,函数1 cos2x8sin2x的最小值是 _. sin2x12.实数x y 满意xx,就x的取值范畴是 _. y三.解答题13. 设函数 f（x）=log 2（x+1）,当点（

28、x, y）在 y=f （ x）的反函数图象上运动时,对应_精品资料_ 的点（x,y）在 y=g（x）的图象上 . A 元. 3第 9 页,共 11 页231求 g（x）的表达式 ; 2当 g（x） f 1（x）0 时,求 u（ x）=g（ x） f1（x）的最小值 . 14. 在某产品的制造过程中,次品率p 依靠于日产量x,已知p1x,当0x100时;1011, 当x100时.其中 x 为正整数,又该厂每生产一正品可赢利A 元,但每生产出一件次品就要缺失- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 将该厂的日赢利额 T（元）表示为日产量

29、x（个）的函数,并指出这个函数的定义域; 2为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少？15已知fxxx1x1.:fafc 3.50 千米处的 1 求fx 的单调区间；b0,ca1bb,求证（2）如a416某人上午7 时乘摩托艇以匀速V 千米 /小时（ 4V20）从 A 港动身前往B 港,然后乘汽车以匀速W 千米 /小时（ 30W 100）自 B 港向 300 千米处的 C 市驶去,在同一天的 16 时至 21 时到达 C 市, 设汽车、摩托艇所需的时间分别是 x 小时、 y小时,如所需经费 p 100 3 5 x 2 8 y 元,那么 V 、W 分别为多少时,所需经费最少？并求出这时所花的经费

30、 . 【参考答案】一.1.A 提示：x22x30,就x1 或x3, f2,和fx都又2 x2x3x124可知当x1时 函数递减 .2.D 提示： 函数 y=x2+2x+1 的图象开口向下,对称轴 x=1. 3.C 提示：由于 fx是定义在A 上的减函数, 且 fx0,所以其 2fx,x 是增函数 . 4.D 5.A 6.C 11xlg（1x）二.7.5 .8.x.9. 提示： 当 x（ 1,0）时, x（ 0,1）,f（x） f（ x） lg10. s 111. 4 ; _精品资料_ 12. ,04,x1.gx14x,1 . 12x321. N. 第 10 页,共 11 页三.13. 1易求f

31、1x 232由 g（x） f1（x）0 得：2x2,1.u x 3212故2x3,12,ux 1.即xlog23ux min1. x21221240,100 ,pAxp14. （1）易知TAx1Ax 1x ,x33101- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （ 2）求 T 的最大值是个难点学习必备欢迎下载.须变换：T A x 4 x A x 404 4 A 101 4 101 x 404 易 知 当 且 仅 当3 101 x 3 101 x 3 3 3 101 x x 101 404 89.4 时, T 最大 .但是 x N ,f 89 , f 90

32、两者的最大值肯定是 T的最大值3吗？这是此题的其次个难点 .因此,必需证明函数T x 在（ 0,101 404）上是增函数,而在（101 404,100）上是减函数 . 3 315. 解：（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 f x 1 1 , x 1f x 在区间 , 1 和 1 , 上分别单调递增 .（2）第一证明任意 x y ,0 有 f x y f x f y . 事实上 , f x f y x y xy xy x y xy x y f xy x y . x 1 y 1 xy x y 1 xy x y 1而 xy x y x y , 由 1 知 f xy x y f x y ,f x f y f x y c a 1b b a b 1b 2 a 42 0 ,2a c a2 a2 a 42 3 . f a f c f a c f