2022年惯性矩计算方法及常用截面惯性矩计算公式 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 惯性矩的运算方法及常用截面惯性矩运算公式截面图形的几何性质一. 重点及难点： 一. 截面静矩和形心1.静矩的定义式如图 1 所示任意有限平面图形,取其单元如面积的一次矩为它对该轴的静矩,即 y x dAdSyxdAdSxydAdA ,定义它对任意轴整个图形对 y、z 轴的静矩分别为x C y 0；同理,假如xSyA xdA（I-1） 0 A y x SxAydA2.形心与静矩关系图 I-1 设平面图形形心C 的坐标为y , Cz C就 0 ySx,xSy（I-2）AA推论 1 假如 y 轴通过形心（即x0）,就静矩S y轴通过形心（即y0）,就

2、静矩Sx0；反之也成立；推论 2 假如 x、y 轴均为图形的对称轴,就其交点即为图形形心；假如 y 轴为图形对称轴,就图形形心必在此轴上；3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为A 1,A 2,A 3,y 3A n的简洁图形组成,且一直各族图形的形心坐标分别为x 1,y 1；x 2,y 2；x 3,就图形对y 轴和 x轴的静矩分别为名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - SynSyinA ix iS xi1S xiii1A iyi（I-3）inn11截面图形的形心坐标为xinA ixi,yinAiyi（I-4）

3、1A i1A inni1i14.静矩的特点 1 界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的,故静矩与坐标轴有 关；2 静矩有的单位为3 m ；3 静矩的数值可正可负,也可为零；图形对任意形心轴的静矩必定 为零,反之,如图形对某一轴的静矩为零,就该轴必通过图形的形 心；4 如已知图形的形心坐标；就可由式（I-1 ）求图形对坐标轴的静矩；如已知图形对坐标轴的静矩,就可由式（I-2）求图形的形心坐标；组合图形的形心位置,通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩,然后由式（ I-4）求出其形心坐标；（二） .惯性矩 惯性积 惯性半径 1. 惯性矩定义 设任意外形的截面图形的面积为A（图 I-3）,就

4、图形对O 点的极惯性矩定义为IpA2dA（I-5）图形对 y 轴和 x 轴的光性矩分别定义为IyA x2dA,IxAy2dA（I-6）惯性矩的特点（1） 界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一 坐标轴定义的；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） 极惯性矩和轴惯性矩的单位为 m ；4（3） 极惯性矩和轴惯性矩的数值均为恒为大于零的正值；（4） 图形对某一点的极惯性矩的数值,恒等于图形对以该点为坐标原点的任意一对坐标轴的轴惯性矩之和,即IpA2dAAx2y2dAIyIx（I-7）（5） 组合图形（图

5、I-2）对某一点的极惯性矩或某一轴的轴惯性矩,分别等于各族纷纷图形对同一点的极惯性矩或同一轴惯性矩之 和,即IinIi,IyinIyi,IxinIxi（I-8 ）111 y 1xC 1A y2xC 2 x dA A y nxC nA ny 0 x 0 yny x 图 I-2 图 I-3 2. 惯性积定义设任意外形的截面图形的面积为A（图 I-3）,就图形对 y 轴和 x 轴的惯性积定义为IxyAxydA（I-9）惯性积的特点（1） 界面图形的惯性积是对相互垂直的某一对坐标轴定义的；（2） 惯性积的单位为4 m ；（3） 惯性积的数值可正可负,也可能等于零；如一对坐标周中 有一轴为图形的对称轴,

6、就图形对这一对称轴的惯性积必名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等于零；但图形对某一对坐标轴的惯性积为零,这一对坐 标轴重且不肯定有图形的对称轴；（4） 组合图形对某一对坐标轴的惯性积,等于各组分图形对同 一坐标轴的惯性积之和,即Ixyin1Ixyi（I-10）3. 惯性半径定义： 任意外形的截面图形的面积为 x 轴的惯性半径分别定义为A（图 I-3）,就图形对 y 轴和iyIy,ixIx（I-11）AA惯性半径的特点（1） 惯性半径是对某一坐标轴定义的；（2） 惯性半径的单位为 m；（3） 惯性半径的数值恒取证之；

7、（三） .惯性矩和惯性积的平行移轴公式平行移轴公式IxIxCa2A（I-12）IyIyCb2AIxyIxCyCabA（I-13）平行移轴公式的特点（1）意外形界面光图形的面积为 A（图（ I-4）；x ,y C 轴为图形的形心轴； x,y 轴为分别与 x ,y C 形心轴相距为 a和 b 的平行轴；（2）两对平行轴之间的距离 a 和 b 的正负,可任意选取坐标轴 x,y或形心 x ,y C 为参考轴加以确定；（3）在全部相互平行的坐标轴中,图形对形心轴的惯性矩为最小,但图形对形心轴的惯性积不肯定是最小；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 14 页精选学习资料 - - - -

8、 - - - - - y y C dA b C xC a 0 x 图 I-4 四 、惯性矩和惯性积的转轴公式 转轴公式Ix 1y 1Ix2IyyIx2Iycos22Ixysin2Iy 1Ix2IyIx2Iycos2Ixysin2Ix 1Ix2Isin2Ixycos转轴公式的特点. 主惯性轴主惯性矩1 角度 的正负号,从原坐标轴 x,y 转至新坐标轴 x 1, y 1,以逆时针转向者为正（图 5）；2 原点 O为截面图形平面内的任意点,转轴公式与图形的形心无关；3 图形对通过同一坐标原点任意一对相互垂直坐标轴的两个轴惯性矩之和为常量,等于图形对原点的极惯性矩,即名师归纳总结 - - - - -

9、- -第 5 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - IxIyIx1Iy 1IP主惯性轴、主惯性矩 任意外形截面图形对以某一点 O为坐标原点的坐标轴 0x、0y的惯性积为零（I x 0y 0 0）,就坐标轴 x 、y 称为图形通过点 O的主惯性轴 图 6 ；截面图形对主惯性轴的惯性矩 I x 0, I y 0,称为主惯性矩；主惯性轴、主惯性矩的确定1对于某一点O,如能找到通过点O的图形的对称轴,就以点O为坐标原点,并包含对称轴的一队坐标轴,即为图形通过点O的一对主惯性轴；对于具有对称轴的图形（或组合图形）,往往已知其通过自身形心轴的惯性矩；于是,图形对通过点 o 的主

10、惯性轴的主惯性矩,一般即可由平行移轴公式直接运算；2 如通过某一点 o 没有图形的对称轴,就可以点 o 为坐标原点,任作一坐标轴 x,y 为参考轴,并求出图形对参考轴 x,y 的惯性矩 I , xI y 和惯性积 I xy；于是,图形通过点 o 的一对主惯性轴方位及主惯性矩分别为tan20x2II2 IxyyIx2Iy2Ixy2（I-16 ）IIx0Ix I-17 yIy0主惯性轴、主惯性矩的特点（1）图形通过某一点 势图形对通过同一点O 至少具有一对主惯性轴,而主惯性局 O全部轴的惯性矩中最大和最小；（2）主惯性轴的方位角 0,从参考轴 x,y 量起,以逆时针转向为正；名师归纳总结 - -

11、- - - - -第 6 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - （3）如图形对一点o 为坐标原点的两主惯性矩相等,就通过点 o 的全部轴均为主惯性轴,且全部主惯性矩都相同；（4）以截面图形形心为坐标原点的主惯性轴,称为形心主惯性轴；图形对一对形心主惯性轴的惯性矩,称为形心主惯性矩；yy 1yx 1y0x 00 x 0 x A 0图 I-5 图 I-6 二.典型例题分析例 I-a 试运算图示三角形截面对于与其底边重合的 x 轴的静矩；解：运算此截面对于 x 轴的静矩 S 时,可以去平行于 x 轴的狭长条 见图 作为面积元素（因其上各点的 y 坐标相等）,即 dA b

12、y dy；由相像三角形关系,可知 : byAbhy,因此有dAbhydy；将其代入公式（ I-1）的其次式,即得hhS xydAhbhydybh 0ydybhy2dybh20hh06y dy h by y 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0 x b 例题 I-a 图解题指导 ：此题为积分法求图形对坐标轴的静矩；例 I-2 试确定图示 -b截面形心 C 的位置解：将截面分为 .、 两个矩形；为运算便利,取 x 轴和 y 轴分别与界面的底边和左边缘重合（见图）；先运算每一个矩形的面积 iA 和形心坐标（x , iy

13、i）如下：矩形 . A 10 120 1200 mm 210 120x 5 mm,y 60 mm2 2矩形 A 10 70 700 mm 2x 10 70 45 mm,y 10 5 mm2 2将其代入公式（ I-4）,即得截面形心 C 的坐标为x A x A x 37500 20 mmA A 1900A y A y 75500y 40 mmA A 1900解题指导 ： 此题是将不规章图形划分为两个规章图形利用已有的规章图形的面积和形心,运算不规章图形的形心； y 10 . 120 yx名师归纳总结 10 第 8 页,共 14 页x x - - - - - - -精选学习资料 - - - - -

14、 - - - - 80 图-b 例 I-3 试求图 I-c 所示截面对于对称轴 x 轴的惯性矩 xI解：此截面可以看作有一个矩形和两个半圆形组成；设矩形对于 x 轴的惯性矩为 I x,每一个半圆形对于 x 轴的惯性矩为 xI,就由公式（ I-11）的第一式可知,所给截面的惯性矩：IxIx2Ix（1）矩形对于 x 轴的惯性矩为：3 3I x d 2 a 80 2005330 10 4mm 4（2）12 12半圆形对于 x 轴的惯性矩可以利用平行移轴公式求得；为此,先求出每个半圆形对于与 x 轴平行的形心轴 x （图 b）的惯性矩 I xC；已知半圆形对于其底边的4惯性矩为圆形对其直径轴 x （图

15、 b）的惯性据之半,即 I x d；而半圆形的1282面积为 A d,其形心究竟边的距离为 2d （图 b）；故由平行移轴公式（I-8 310a）,可以求出每个半圆形对其自身形心轴 x 的惯性矩为：4 2I xC I x 2 d 2A d 2 d 2 d（3）3 128 3 8由图 a 可知,半圆形形心到 x 轴距离为 a 2d,故在由平行移轴公式,求得每3个半圆形对于 x 轴的惯性矩为：4 2 22 d 2 d 2 d 2 d 2 d 2 dI x I xC a A a 3 128 3 8 3 82 2 2d d a 2 ad 4 32 2 3 a将 d=80mm、 a=100mm （图 a

16、）代入式（ 4）,即得名师归纳总结 xI802802100221008034601044 mm第 9 页,共 14 页43223将求得的xI和xI代入式（ 1）,便得4 104 mmxI53304 102346010412250- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解题指导 ： 此题是将不规章图形划分为如干个规章图形,利用已有的规章图形的面积、形 心及对自身形心轴的惯性矩,结合平行移轴公式运算组合截面图形对组合截 面形心的惯性矩；图 I-c 40 2d a=100 a 3 xc 100 d x 2d3x图 I-c 40 d=80 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 常用截面惯性矩运算公式名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 14 页