2022年任意角和弧度制及任意角的三角函数知识点与题型归纳DOC.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高考明方向 1. 明白任意角的概念2. 明白弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化3. 懂得任意角的三角函数 正弦、余弦、正切 的定义 . 备考知考情 1. 三角函数的定义与三角恒等变换等相结合,考查三角函数求值问题2. 三角函数的定义与向量等学问相结合,考查三角函数定义的应用3. 主要以挑选题、填空题为主,属中低档题. .一、学问梳理名师一号P47 学问点一角的概念1 分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角 按终边位置不同分为象限角和轴线角1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - -

2、- - - - - 2 终边相同的角：全部与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合 S | k 360 ,kZ. 名师一号 P47 对点自测 1 、2 留意：1、名师一号 P48 问题探究问题 1、2 相等的角终边相同,终边相同的角也肯定相等吗？相等的角终边肯定相同,但终边相同的角却不肯定 相等,终边相同的角有很多个,它们之间相差 360 的 整数倍角的表示形式是唯独的吗？角的集合的表示形式不是唯独的,如：终边在 y 轴的负半轴上的角的集合可以表示为x|x k 360 90 , kZ ,也可以表示为 x|x k 360 270 ,kZ 补充 2、正角 零角 负角 3、以下概念应留意区分

3、 小于 90 的角； 锐角；第一象限的角； 0 90 的 角4、1 终边落在坐标轴上的角2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1）终边落在 x 轴非负半轴上的角 x|x2k ,kZ2）终边落在 x 轴非正半轴上的角 x|x2k + ,kZ终边落在 x 轴上的角x|x k ,kZ3）终边落在 y 轴非负半轴上的角 x|x2k + 2,kZ4）终边落在 y 轴非正半轴上的角 x|x2k +3 2,kZ终边落在 y 轴上的角x|x k + 2,kZ2 象限角（自己课后完成）学问点二 弧度的定义和公式1 定义：长度等于

4、半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度记作 rad. 2 公式：弧度与角度的换算：360 2弧度； 180 弧度；3 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 弧长公式： l | |r ；扇形面积公式： S 扇形1 2lr 和1 2| |r 2. 关键：基本公式 180 rad名师一号 P47 对点自测 3 留意：1、名师一号 P48 问题探究 问题 3 在角的表示中角度制和弧度制能不能混合应用？不能在同一个式子中, 采纳的度量制度是一样的,不行混用2、弧长公式与扇形面积公式（扇形的圆心角为弧度,半径为 r ）

5、弧长公式l|r扇形面积公式1 S lr2l 为底, r 为高） 补充 （将扇形视为曲边三角形,记学问点三任意角的三角函数1 定义：设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 Px,y ,就 sin ,cos ,tan x 0 4 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 补充 1 、广义的三角函数定义三角函数的定义 让角 的顶点与原点 O重合,始边与 x轴的00非负半轴重合,在角的终边上任取一点,就角的三角函数值如下：siny2 xyy2cosxx2xy2tanyxrrxO Prx2y2r0特殊地,当OPr2 xy21时

6、yxsinycosxtanx2、各象限角的三角函数值符号规律：补充 关键：立足定义 正弦 一二正,横为零 余弦 一四正,纵为零正切 一三正,横为零,纵不存在 3、特殊角的三角函数值（自己课后完成）学问点三 任意角的三角函数 2 几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 表示正弦线的起点都在x 轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是 1,0 如图中有向线段 MP,OM,AT分别叫做角 的 正弦线,余弦线和正切线名师一号 P47 对点自测 6 留意：名师一号 P48 问

7、题探究 问题 4 如何利用三角函数线解不等式 及比较三角函数值的大小？1 先找到“ 正值” 区间, 即 02 间满意条件的范畴,然后再加上周期2 先作出角,再作出相应的三角函数线,最终进行比 较大小,应留意三角函数线的有向性也可以利用相应图象求解6 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二、例题分析：（一 角的表示及象限角的判定例 1. 名师一号 P48 高频考点 例 1 1 写出终边在直线 y3x 上的角的集合；2 已知 是第三象限角,求 2所在的象限【思维启发】1 角的终边是射线,应分两种情形求解2 把 写成集

8、合的形式,从而 2的集合形式也确定解：1 当角的终边在第一象限时,角的集合为 | 2k 3,kZ ,当角的终边在第三象限时,角的集合为 | 2k 4 3 ,kZ ,故所求角的集合为7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - | 2k 3,kZ | 2k 4 3 ,kZ | k 3,kZ 2 2k 2k 3 2 k Z ,k 2 2 k 3 4 k Z 当 k2nnZ时,2n 2 2 2n 3 4 , 2是其次象限角,当 k2n1n Z 时,2n 3 2 2 2n 7 4 , 2是第四象限角,综上知,当 是第三象限角时

9、, 2是其次或第四象限角留意: 名师一号 P48 高频考点例 1 规律方法_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1 如要确定一个肯定值较大的角所在的象限,一 般是先将角化为 2k 0 2 k Z的形式,然后再依据 所在的象限予以判定2 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件 的角,方法是先写出这个角的终边相同的全部角的集合,然后通过对集合中的参数（二 弧度制的定义和公式k 赋值来求得所需角例 1. 名师一号 P48 高频考点 例 2 1 已知扇形周长为 10,面积是 4,求扇形的圆心角2 已知扇形周长为 40,当

10、它的半径和圆心角取何值时,才使扇形面积最大？解：1 设圆心角是 ,半径是 r,就2r r 10.r1, 舍,1 2 r24 89 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - r 4, 12故扇形圆心角为1 2. 2 设圆心角是 ,半径是 r ,就 2r r 40. S1 2 r 21 2r40 2r r20 r r 102100100,当且仅当 r10 时,Smax100, 2. 所以当 r 10, 2 时,扇形面积最大名师一号 P47 对点自测 4 留意：名师一号 P48 高频考点例 2 规律方法1. 弧度制下 l |

11、 | r , S1 2lr ,此时 为弧度2在角度制下,弧长 l n r 180,扇形面积 Sn r 360,此时 n 为角度,它们之间有着必定的联系2在解决弧长、面积及弓形面积时要留意合理10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 应用圆心角所在的三角形（三 三角函数的定义及应用例 1. 名师一号 P48 高频考点 例 3 1 已知角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,如 P4,y 是角 终边上一点,且 sin 25 5,就 y_. 解：1r x 2y 216y 2,且 sin 2 5,5所以 sin

12、y r16y y 22 5,5所以 为第四象限角,解得 y 8. 名师一号 P47 对点自测 5 32022 日照模拟 已知点 Psin cos ,2cos 位于第三象限,就角 是第_象限角_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：3 由于点 Psin cos ,2cos 位于第三象限,所以 sin cos 0,2cos 0,cos 0,所以 为其次象限角 2 如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在 0,1 ,此时圆上一点 P的位置在 0,0 ,圆在 x 轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于 2,

13、1 时,的坐标为 _解： 2 如图,连接 AP,分别过 P,A作 PC,AB垂直 x 轴于 C,B 点,过 A 作 ADPC于 D点,由题意知 BP的长为 2. 12 _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 圆的半径为 1, BAP2. 故DAP2 2 . DPAP sin2 2cos2. PC1cos2,DAAPcos2 2sin2. OC2sin2 ,故OP2 sin2,1 cos2 留意：名师一号 P48 高频考点例 2 规律方法 1. 利用定义求三角函数值在利用三角函数的定义求角 的三角函数值时,如角 终边

14、上点的坐标是以参数的形式给出的,就要依据问题的实际及解题的需要 对参数进行分类争论 任意角的三角函数值仅与角 的终边位置有关,而与角 终边上点 P的位置无关2三角函数值的符号及角的位置的判定已知一 角的三角函数值 sin ,cos ,tan 中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交13 _精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 集即为该角的终边位置,留意终边在坐标轴上的特殊情 况3与向量等问题形成的交汇问题,抓住问题的实 质,查找相应的角度,然后通过解三角形求得解练习：如一个角 的终边在直线y3x

15、 上,求10sin3的值；cos答案： 0 留意：立足定义是根本；三角函数的定义是三角函数的基础,由三角函数的定义可得同角三角函数的基本关系 及各象限角的三角函数值符号等；利用三角函数的定义解题时应 先确定点的坐标及点的位置；14 _精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （四）以三角函数的定义为载体的创新问题名师一号 P49 特色专题 三角函数的概念是考查三角函数的重要工具,在高 考命题中很少单独考查,但常结合三角函数的基础知 识、三角恒等变换和向量等学问综合考查,涉及的学问 点较多,且难度不大【典例】如下列图,质

16、点P在半径为的圆周上逆时针运动,其初始位置为P02,2 ,角速度为 1,那么点P到 x 轴的距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为 CDAB【规范解答】用 t 表示出 OP与 x 轴正方向所成的角,然后利用三角函数的定义得到 d 的函数表达式即15 _精品资料_ - - - - - - -第 15 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 可P02,2 , P0Ox 4 . 按逆时针转时间t 后,得POP 0t ,POxt 4 . 由三角函数定义,知点 P的纵坐标为2sin t 4 . 因此 d2 sin t 4 . 令 t 0,就 d2 sin 42,当 t 4

17、时,d0,应选 C. 【名师点评】解决此题的关键有以下两点：1 结合圆周运动,精确懂得题意,依据三角函数定义,表示出 2 涉及函数图象判定问题,d2sint 4是关键结合函数的性质、特殊化思想是快捷求解的有效途 径16 _精品资料_ - - - - - - -第 16 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 练习: 名师一号 P49对应训练 如图,已知 l 1l 2,圆心在 l 1 上、半径为 1 m 的圆 O在 t 0 时与 l 2相切于点 A 圆 O沿 l 1以 1 m/s 的速度匀速向上移动,圆被直线 l 2 所截上方圆弧长记为 x,令 ycosx,就 y

18、与时间 t0 t 1,单位：s 的函数 yft的图象大致为 CDAB解析 圆半径为 1,设弧长 x 所对的圆心角为 ,17 _精品资料_ - - - - - - -第 17 页,共 18 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 就 x,如下列图, cos 21t ,即 cosx 21t ,2x 就 ycosx2cos 2121 t 212t 1 210t 1 其图象为开口向上,在 物线课后作业0,1 上的一段抛计时双基练 P241 基础 1-11、培优 1-4 课本 P48-49 变式摸索 1、2、3；对应训练预习 第三章其次节同角三角函数的基本关系18 _精品资料_ - - - - - - -第 18 页,共 18 页