2022年函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、零点.docx

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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载函 数 数 的 的 定 定 义 义 域 域 、 值 值 域 域 、 单 单 调 调 性 性 、 奇 奇 偶 偶 性 性 、 对 对 称 称 性 性 、反 函 函 数 数 、 伸 伸 缩 缩 平 平 移 移 变 变 换 换 、 零 零 点 点 问 问 题 题 知 知 识 识 点 点 大 大 全一、函数的定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必需大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必需大于零且不等于 1；2例.（05 江苏卷）函数

2、y log 0.5 4 x 3 的定义域为 _ 2、求函数定义域的两个难点问题（1）知道 fx 的定义域（ a,b）,求 fgx 的定义域：转化为解不等式 agxb ；（2）知道 fgx ）的定义域 a,b,求 fx 的定义域：转化为求 gx的值域；例 3：（1）已知 f 的定义域是 -2,5, 求f2x+3 的定义域；（2）已知 f 2 x 的定义域是 -1,3, 求 f x 的定义域；例 4：设 f x lg 2 x,就 f x f 2的定义域为 _ 2 x 2 x变式练习：f 2 x 4 x2,求 f x 的定义域；二、函数的值域1 求函数值域的方法直接法：从自变量x 的范畴动身,推出y

3、=fx 的取值范畴,适合于简洁的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范畴；适合分母为二次且xR 的分式；分别常数：适合分子分母皆为一次式（单调性法：利用函数的单调性求值域；图象法：二次函数必画草图求其值域；利用对号函数x 有范畴限制时要画图） ；几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域；主要是含确定值函数_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载例：1（直接法）yx21x3y3x1 2 1x4x 422

4、2f x 2242xx 23（换元法）yx2x144. （ 法）yx3x425.yx21x216. 6. 分别常数法 yxx12x7. 单调性 yx3 2 xx 1,3x1x1结合分子 /分母有理化的数学方法8.yx11x1,y9图象法 y32xx2 1x210对号函数 y2x8x11. 几何意义 yx2x1三、函数的单调性复合函数的单调性： （同增异减）设yfgx是定义在 M 上的函数,如fx 与 gx的单调性相反,就yfgx在 M 上fx 与 gx 的单调性相同,就是减函数；如yfgx在 M 上是增函数；两个函数 fx、gx之间的基本性质：增+增=增增减 =减减+减 +减减增 =减例：_精

5、品资料_ 1 判定函数fxx3xR 的单调性；第 2 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 2 函数fx对任意的m,nR精品资料fm欢迎下载m fn1,并且当x0时,都有nffx1,（ 1）求证：fx在 R 上是增函数；如f3 4,解不等式fa2a523 函数ylog.016x2x2的单调增区间是_ 4.高考真题 已知f x 3 a1 x4 , a x1是 , 上的减函数, 那么 a 的取值范畴logax x1是 （）0,1（C）1 1 , 7 3（D）1 7,1（A ） 0,1（B）3四、 函数的奇偶性常用性质：1fx 0是既奇又偶函

6、数；00；奇函数 偶函数=非奇非偶22奇函数如在x0处有定义,就必有f3偶函数满意fx fx fx；y 轴对称；4奇函数图象关于原点对称,偶函数图象关于5fx 0除外的全部函数奇偶性满意：=偶函数奇函数 奇函数=奇函数奇函数 奇函数奇函数 偶函数=奇函数偶函数 偶函数=偶函数偶函数 偶函数=偶函数6奇偶性的判定 看定义域是否关于原点对称；看 fx 与 f-x 的关系 例：_精品资料_ 1 已知函数f x 是定义在,22上的偶函数 . 当x,0时,fxxx4,就当第 3 页,共 11 页x,0时,f x . xb a是奇函数；2 已知定义域为R 的函数f x 1x- - - - - - -_归纳

7、总结汇总_ - - - - - - - - - （）求精品资料欢迎下载f t22 f2t2k0恒成立,a b 的值；（）如对任意的tR ,不等式求 k 的取值范畴；3 已知fx在（ 1,1）上有定义,且满意x,y1,1有fx fy ffxy xy,1证明：fx在（ 1,1）上为奇函数；x2fxf2,就5_ fxxR满意f2 1,f4 如奇函数五、函数的周期性1（定义）如fxTfxT0 ffx是周期函数, T 是它的一个周期；bafx的周期；（推广）如xafxb,就f x 是周期函数,说明： nT 也是是它的一个周期对比记忆：f xaxfxa说明： fx 的周期为 2a; af1；就fx周期是

8、2 a说明： fx 关于直线 x=a 对称；f ax f axx；fxaf1；fx2如fafxx例：_精品资料_ 1 已知定义在R 上的奇函数fx 满意 fx+2= fx, 就,f6 的值为（）第 4 页,共 11 页A 1 B 0 C 1 D2 2 定义在R 上的偶函数f x ,满意f2xf2x ,在区间 -2,0上单调递减,设af1.5,bf2,cf5,就a b c的大小次序为 _ 3 已知 f x 是定义在实数集上的函数,且fx21fx,如f1 23,f2022= . 1fx4 已知fx是-,上的奇函数,f2xfx ,当0x1 时, fx=x ,就- - - - - - -_归纳总结汇总

9、_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载f7.5=_ 5 设fx是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数4x 恒满意f2x fx ,当x02,时 , 求时fx2xx2fx 的 解 析 式 ； 计 算 ： 求 证 ：fx 是 周 期 函 数 ； 当x2 ,六、函数的对称性我们知道：偶函数关于 y（即 x=0）轴对称,偶函数有关系式 f x f x 奇函数关于（ 0,0）对称,奇函数有关系式 f x f x 0 上述关系式是否可以进行拓展？答案是确定的fa探讨：（ 1）函数yfx关于xa对称faxfax x可 知 ,xfax 也可以写成fxf2ax或fx f2 ax简 证 ： 设

10、 点x 1y 1在yf x上 , 通 过fx f2ay 1fx 1f2ax1, 即 点2 ax 1,y1也在yfx上 , 而 点x1y 1与 点2ax 1y1关于 x=a 对称；得证；yfx 关于直线xax bxab如写成：fax fbx,函数22对称f2（2）函数yf x 关于点a,b对称faxfax 2 b2 b上述关系也可以写成f2axfx2b或f2axfx简证：设点x 1y1在yfx上,即y 1fx 1,通过f2axfx2b可知,ax 1fx 12 b,所以f2ax 12 bfx12by 1,所以点a,b 对称；得2ax 12,by 1也在yfx上,而点2ax 1,2 by 1与x1y

11、 1关于证；如写成：f a x f b x c,函数 y f x 关于点 a b , c 对称2 2（3）函数 y f x 关于点 y b 对称 : 假设函数关于 y b 对称,即关于任一个 x 值,都有两个 y 值与其对应,明显这不符合函数的定义,故函数自身不行能关于 y b 对称；但在曲线 cx,y=0,就有可能会显现关于 y b 对称,比如圆 c x , y x 2y 2 4 0 它会关于 y=0 对称；两个函数的图象对称性_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1、yfx与yfx精品资料欢迎下载关于 X 轴对

12、称；2、换种说法：yfx与ygx如满意fx ggx,即它们关于y0对称；yfx与yfx关于 Y 轴对称；3、换种说法：yfx与ygx如满意fx x,即它们关于x0对称；yfx与yf2 ax关于直线xa对称；换种说法：yfx与xg2 ax,即它们关于xa对ygx如满意f称；4、yfx 与yf2afx关于直线ya对称；x2a,即它们关于ya对换种说法：yx与ygx如满意fx g称；5、yfx 与y2bf2ax关于点 a,b对称；2ax2 b,即它们关于点xg换种说法：yfx与ygx如满意fa,b 对称；6、yfax 与yxb关于直线xa2b对称；七、反函数1.只有单调的函数才有反函数；反函数的定义

13、域和值域分别为原函数的值域和定义域；2、求反函数的步骤（1）解 2换 3写定义域；3、关于反函数的性质（1）y=fx 和 y=f-1x 的图象关于直线 y=x 对称；（2）y=fx 和 y=f-1x 具有相同的单调性；x,即是 f-1a ；（3）已知 y=fx ,求 f-1a ,可利用 fx=a ,从中求出（4）f-1fx=x; _精品资料_ （5）如点a,b在 y=fx 的图象上,就b,a在 y=f-1x 的图象上；1,1,就第 6 页,共 11 页（6）y=fx 的图象与其反函数y=f-1x 的图象的交点肯定在直线y=x 上; 例：设函数yf x 的反函数为yf1 x ,且yf2x1的图像

14、过点2yf1 x 的图像必过（A ）1 2,1（B）1 1, 2（C） 1,0（D） 0,1- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载八、函数的平移伸缩变换1、平移变换：（左 + 右- ,上 + 下- ）即yfxhyfxh0,右移;h0,左移yfxk0,下移;k0,上移yfxk对称变换：（对称谁,谁不变,对称原点都要变）yfxx轴yfffxyyfxfxyfxy轴y1xyfx原点yxyxyyfxfxy轴右边不变,左边为右边部分的对称图yfxyfx保留x轴上方图,将x轴下方图上翻例：1fx 的图象过点 0,1,就 f4-x 的反函数的图象过点

15、（）A.3,0 B.0,3 C.4,1 D.1,4 2作出以下函数的简图：（1）y=|logx 2|；（2）y=|2x-1| ；（3） y=2|x|；九、函数的零点问题1函数零点概念_精品资料_ 对函数yfx ,把使fx0的实数x叫做函数yfx 的零点第 7 页,共 11 页2.零点存在性定理： 假如函数yfx 在区间a,b 上的图象是连续不断一条曲线,并且有fafb0,那么,函数yfx 在区间a,b 内有零点 .即存在 ca,b ,使得fc0,这个 c 也就是方程fx0的根 . 问题1:函数fx1f210,f210,那么在2, 2 上函数x , 有22- - - - - - -_归纳总结汇总

16、_ - - - - - - - - - fx1精品资料欢迎下载x 有零点吗 . 问题 2:函数f x26x8在区间1,3,0,1,1,5有零点吗 . 引例除了用零点基本定理,仍有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗. 解法二 :几何解法1. fxe x和x22可化为exx2C 正确 . 画出函数yx eyx2的图象,可观看得出4y y = ex32y = x + 210 24x 1函数零点、方程的根与函数图像的关系牢记 F xfxg x0有实数根函数yF xfxg x 有零点方程函数y 1fx,y 2g x图像有交点 . 三、才能提升1.利用函数图像求函数零点问题例 1：（1）函数fxlgx5

17、cosx 的零点有（）y=cosxx 2025A4 个B3 个C2 个D1 个4y 10y=lgx2o1524_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 变式 1：如函数为fxlgx精品资料欢迎下载cosx ,就有个零点 . 变式 2：如函数为fxlgxcosx ,就有个零点 . 10解:由fxlgxcosx0,可化为lgxcosx ,画出ylgx 和ycosx 的图像 ,可得出B 正确 . fxlgxcosx 有 4 个零点 , fxlgxcos x 有 6 个零点 . 2sinx 的图像在2,4 有个交点 , 2函数

18、yx11与y3交点的横坐标之和为xy 2y = x1 1y = sin 2. .x12o 24x 68121解:函数 yx 1 与 y 2sin x 的图像在 3 2,4 有 8 个交点 ,由于图像都关于 1,0 点对称 ,故交点的横坐标之和为 4. 42（3）:如关于x的方程 a x x a a 0 有两个不同的实数根 ,求a的取值范畴 . 2解 1: 设 y a x y x a ,分 别 画 两 函 数 的 图 像 , 两 图 像 有 两 个 不 同 的 交 点 即 方 程2 2a x x a 有两个不同的实数根 . y a x 与 y x a 的图像,当 a 1 时,在第一象限平行,其次

19、象限有一个交点,当 a 1 时只有一个交点在其次象限,当 a 1 时有两个交点,故 a 1 . 5 y y 4433221121O 24 x 421O 24x 6822_精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解 2: 设yx y1x精品资料欢迎下载,两图像有两个不同的交点即方程1a2a ,分别画两函数的图像a2x1xaa有两个不同的实数根.只有当y1x1的斜率小于1 时有两个交点,即a2a1,1. a22.利用零点性质求参数的取值范畴探究：f x x36x29xa 在 xR上有三个零点,求a 的取值范畴 . 45x

20、67解：由f 3x212x1得93x24x33x3x令f 0,得x3或x1,fx0,得3y 1x32.5f x 在 ,1 , 3, 上单调递增,在21.511,3 上单调递减210.50.5o 123f x 极大值= 14a0,11.5a4022.5f x 微小值= 3a4a0. xa0在2,4上有实数4.5 4y 变式 1：方程x36x29解,求 a 的取值范畴 . 3.5解：由方程3 x26x29xa0在2,4上有实数32.52解,即x36x9xa1.510.5_精品资料_ 10.5A12345x 678o 1第 10 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - -

21、 - - - - - - 由fx3 x62 x9精品资料a欢迎下载x 的图像可得：04变式 2：x32 ax9x0在2,4上有实数解,求a 的取值范畴 . 解 1：由ax3x9xx9 , xx2, 4,a6,13. ,6. 22变式 3：如不等式x32 ax9x0在2,4上恒成立,求a 的取值范畴 . 解：转化为ax9,x1,3恒成立问题,即ax9min,x1,3得axx课堂小结解决函数零点存在的区间或方程根的个数问题的主要方法有函数零点定理和应用函数图像进行判定;依据函数零点的性质求解参数的取值范畴主要有分类争论、数形结合、等价转换等方法,注意导数求出函数的单调区间和画出函数的图像的应用可以_精品资料_ 有效解决和零点相关的问题.第 11 页,共 11 页- - - - - - -