2022年数列复习基本知识点及经典结论总结练习题 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列复习基本学问点及经典结论总结1、数列的概念 ：数列是按肯定次序排成的一列数；数列中的每一个数都叫做这个数列的项；数列是一个定义域为正整数集 N* （或它的有限子集1,2,3, , n）的特殊函数,假如数列 an的第 n 项a n与 n 之间的关系可以用一个公式来表示,就这个公式就叫做这个数列的 通项公式 ；数列的通项公式也就是相应函数的解析式；如（ 1） 已知a n 2 n n N *,就在数列 a n 的最大项为 _（答：1）；（2）数列 a n 的通项为 an an,其中 a, b 均n 156 25 bn 1为正数,就 a 与 a n

2、 1 的大小关系为 _（答：a n a n 1）；（3）已知数列 a n 中,a n n 2n ,且 a n 是递增数列, 求实数 的取值范畴 （答：3）；（4）一给定函数 y f x 的图象在以下图中,并且对任意 1a 1,0,由关系式 a n 1 f a n 得到的数列 a n 满意 a n 1 a n n N *,就该函数的图象是（）（答： A ）A B C D 递推关系式 ：已知数列an的第一项（或前几项） ,且任何一项a n与它的前一项an1（前 n 项）间的关系可以用一个式子来表示,就这个式子就叫数列的递推关系式；数列的前 n 项和 ：s n a 1 a 2 a 3 . a n .

3、 已知 sn求 a n 的方法（只有一种） ：即利用公式 a n= s 1 , n 1 留意 ：肯定不要遗忘对 n 取值的争论！最终,仍s n s n 1 , n 2 应检验当 n=1 的情形是否符合当 n 2 的关系式,从而打算能否将其合并；2. 等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：即 a n a n 1 d n N * , 且 n 2 .或 a n 1 a n d n N * . （1）等差数列的判定方法：定义法 ：a n 1 a n d 常数 an为等差数列； 中项法 ：2 a n 1 a n a n 2 a n为等差数列； 通项公式法 ：an an b（a,b 为常数）a n为等

4、差数列； 前 n 项和公式法 ：sn A n 2 Bn（A,B 为常数）a n为等差数列；a 1 a 2 a n如设 a n 是等差数列,求证：以 bn= n N * 为通项公式的数列 b n 为等差数列；n名师归纳总结 第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）等差数列的通项：ana 1n1 d 或ana mnm d ； 公式变形为 :a nanb. 其中 a=d, b= a1d.如1 等差数列 a n 中,a 10 30,a 20 50,就通项 a n（答： 2 n 10）；（2）首项为 -24 的等差数列,从第 10 项起开

5、头为正数,就公差的取值范畴是 _（答：8 d 3）3（3）等差数列的前 n和：S n n a 1 a n ,S n na 1 n n 1d ；公式变形为：sn A n 2 Bn,其中 A=2 d,2 2B= a 1 d . 留意 ：已知 n,d, a1, an , sn 中的三者可以求另两者,即所谓的“ 知三求二” ；2如（1）数列 a n 中,a n a n 1 1 n 2, n N *,a n 3,前 n 项和 S n 15,就 1a ,n （答：a 1 3,2 2 22n 10）； （ 2）已知数列 a n 的前 n 项和 S n 12 n n ,求数列 | a n | 的前 n 项和

6、T （答：2 *12 n n n 6, n N T n 2 *）. n 12 n 72 n 6, n N （4）等差中项： 如 a A b 成等差数列,就 A叫做 a 与 b 的等差中项,且 A a b；23. 等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时,等差数列的通项公式 a n a 1 n 1 d dn a 1 d 是关于 n 的一次函数,且斜率为公差 d ；前 n 和 S n na 1 n n 1d dn 2 a 1 d n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0. 2 2 2（2）如公差 d 0,就为递增等差数列,如公差 d 0,就为递减等差数列,如公差 d 0,就为常数列；（3）对称性：

7、如 a n是有穷数列,就与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和 .当 m n p q 时,就有a m a n a p a q, 特 别 地 , 当 m n 2 p 时 , 就 有 a m a n 2 a p . 如 （ 1 ） 等 差 数 列 a n 中 ,S n 1 8 , a n a 1 n a n 2 3 , 3 S ,就 n _（答： 27）；（2）在等差数列 a n 中,a 10 0, a 11 0,且 a 11 | a 10 |,S 是其前 n 项和,就 A、S S 2 S 10 都小于 0,S 11 , S 12 都大于 0 B、S S 2 S 19 都小于 0,S 20

8、, S 21 都大于0 C、S S 2 S 都小于 0,S S 7 都大于 0 D、S S 2 S 20 都小于 0,S 21 , S 22 都大于 0（答： B）4 项数成等差 ,就相应的项也成等差数列 .即 a k , a k m , a k 2 m ,. k , m N * 成等差 .如 na 、 b n 是等差数列,就 ka n 、 ka n pb n k 、 p 是非零常数 、 a p nq p q N *、S S 2 n S S 3 n S 2 n, , 也成等差数列,而 a a n 成等比数列；如 a n 是等比数列,且 a n 0,就 lg a n 是等差数列 . 如等差数列的

9、前 n 项和为 25,前 2n 项和为 100,就它的前 3n 和为；（答： 225）（5）在等差数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时,s n n a n a n 1 ；s 偶 s 奇 nd；ss 偶奇 aa nn 1. 名师归纳总结 第 2 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 项数为奇数 2 n1时,s 2n12 n1 a n；s 偶s奇a1；s 偶nn1； 如（ 1）在等差数列中,S1122,就s 奇a _（答： 2）；（2） 项数为奇数的等差数列a n中,奇数项和为80,偶数项和为75,求此数列的中间项与项数（答： 5；31）.

10、 （6）单调性：设 d 为等差数列 a n的公差,就d0 a n是递增数列； d0 a n是递减数列； d=0 a n是常数数列7 如等差数列 a n 、 nb 的 前 n 和分别为 A 、B ,且 B A nn f n ,就 ab n n 22 nn 11 ab nn B A 22 nn 11 f 2 n 1 . 如设 a 与 b 是两个等差数列,它们的前 n 项和分别为 S 和 T ,如 S n 3 n 1,那么 a n_（答：T n 4 n 3 b n6 n 2）8 n 78 8、已知 a n成等差数列,求sn的最值问题： 如 a 1 0 ,d0 且满意 aa nn 1 ,00 ,就 s

11、n最小 . 如（ 1）等差数列 a n 中,a 1 25,S 9 S 17,问此数列前多少项和最大？并求此最大值；（答：前 13 项和最大,最大值为 169）；（2）如 a n 是等差数列,首项 a 1 0, a 2003 a 2004 0,a 2003 a 2004 0,就使前 n 项和 S n 0 成立的最大正整数 n 是（答： 4006）4. 等比数列的有关概念： 假如数列 a n从其次项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫等比数列的公比；即 a n q n N * , n 2 （或 a n 1q n N * a n 1 a n（1）等比数列的判定

12、方法：定义法 a n 1 q q 为常数 ）,其中 q 0, a n 0 或 a n 1 a na n a n a n 1 n 2；如（ 1）一个等比数列 a 共有 2 n n 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为 120,就 a n 1 为_（答：5）；6（2）数列 a n 中,S=4 a n 1 +1 n 2 且 a =1,如 1 b n a n 1 2 a n,求证：数列nb 是等比数列；名师归纳总结 第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）等比数列的通项：ana qn1或ana qn m；如设等比数列 a n中,a

13、 1a n66,a a n1128,前 n 项和1S 126,求 n 和公比 q . （答：n 6,q 或 2）2n（3）等比数列的前 n 和： 当 q 1 时,S n na ；当 1 q 1 时,S n a 11 q a 1 a q；如（ 1）等比数列中,1 q 1 qq 2,S99=77,求 a 3 a 6 a 99（答： 44）特殊提示： 等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时,第一要判定公比 q 是否为 1,再由q 的情形挑选求和公式的形式,当不能判定公比 q 是否为 1 时,要对 q 分 q 1 和 q 1 两种情形争论求解；（4）等比中项： 假如 a、G

14、、b 三个数成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,即 G= ab .提示 ：不是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ab ；如已知两个正数 a b a b 的等差中项为 A,等比中项为 B,就 A 与 B 的大小关系为 _（答： AB）5. 等比数列的性质：（1）对称性：如 a n是有穷数列,就与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积 .即当 m n p q 时,就有2a m . a n a p . a q,特殊地,当 m n 2 p 时,就有 a m . a n a p . 如（ 1）在等比数列 a n 中,a 3 a 8 124, a a 4 7

15、512,公 比 q 是 整 数 , 就 a 10 =_ （ 答 ： 512 ）；（ 2 ） 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列 a n 中 , 如 a 5 a 6 9, 就l o g a 1 l o g a 2 l o g 1 0（答： 10）；*2 如 a n 是等比数列,就 | a n |、 a p nq p q N 、 ka n 成等比数列；如 a n 、b n 成等比数列,就 a b n 、 ab nn 成等比数列；如 a n 是等比数列, 且公比 q 1,就数列 S S n 2 n S S n 3 n S 2 n, 也是等比数列；当 q 1,且 n为偶数时,数列 S S 2

16、n S S 3 n S 2 n, , 是常数数列 0,它不是等比数列 . 如 a n是等比数列,且各项均为正数,就 l og a an 成等差数列；如（ 1） 已知 a 0 且 a 1,设数列 nx 满意 log a x n 1 1 log a x n n N *,且100x 1 x 2 x 1 00100,就 x 101 x 102 x 200 . （答：100a）；（2） 在等比数列 a n 中,S 为其前n 项和,如 S 30 13 S 10 , S 10 S 30 140,就 S 20 的值为 _（答： 40）3 单调性： 如 a 1 0, q 1,或 a 1 0,0 q 1 就 a

17、n 为递增数列；如 a 1 0, q 1 , 或 a 1 0,0 q 1 就 a n 为递减数列；如 q 0,就 a n 为摇摆数列；如 q 1,就 a n 为常数列 . 名师归纳总结 第 4 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4当q1时,S n1a 1qn1a 1qaqnb,这里ab0,但a0,b0,这是等比数列前n 项和公式q的一个特点,据此很简单依据S ,判定数列 a n是否为等比数列；如如 an是等比数列,且S n3nr ,就 r （答： 1）5 S m nS mm q S nS nn q S . 如设等比数列a n的公比为 q

18、 ,前 n 项和为S ,如S n1,S S n2成等差数列,就 q 的值为 _（答： 2）6 在等比数列 a n 中,当项数为偶数 2n 时, S 偶 qS 奇；项数为奇数 2 n 1 时,S 奇 a 1 qS 偶. 7 关 于 数 列 a n 有 下 列 三 个 命 题 ： 如 a n a n 1 n N , 就 a n 既 是 等 差 数 列 又 是 等 比 数 列 ； 如Sn a n 2 b n a、b R,就 a n 是等差数列；如 S n 1 1 n,就 a n 是等比数列；这些命题中,真命题的序号是（答：）等差数列中,Sm+n=Sm+Sn+mnd；等比数列中,Sm+n=Sn+q n

19、Sm=Sm+q mSn；6. 数列的通项的求法：公式法：等差数列通项公式；等比数列通项公式；如已知数列 3 1, 5 1, 7 1, 9 1 , 试写出其一个通项公4 8 16 32式： _（答：a n 2 n 1 1n 1）2已知 S （即 n a 1 a 2 a n f n ）求 a ,用作差法：n a n SS 1n , nS n 11 , n 2；如 已知 a n 的前 n 项和满意 log S n 1 n 1,求 a （答：a n 3,2 , n nn 12）；数列 a n 满意 12 a 12 12 a 22 1n a n 2 n 5,求 na （答：a n 14,2 n 1 n,

20、 n 12）f 1, n 1已知 a a 2 a n f n 求 na ,用作商法：a n f n , n 2；如数列 a n 中,a 1 ,1 对全部的 n 2 都f n 1有 a 1 a 2 a 3 a n n 2,就 a 3 a 5 _（答：61）16如 a n 1 a n f n 求 a 用累加法：n a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a 2 a 1 1a n 2； 如 已 知 数 列 a n 满 足 a 1 1,a n a n 1 1 n 2, 就 a n =_ （ 答 ：n 1 na n n 1 2）1已知 a n 1 f n 求 a ,用累乘法：a n a n

21、a n 1 a 2 a 1 n 2；如已知数列 a n 中,1a 2,前 n 项a n a n 1 a n 2 a 1名师归纳总结 第 5 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 和S ,如S nn2an,求a n已知递推关系求a ,用构造法 （构造等差、 等比数列）；特殊地,（ 1）形如 na nka n1b 、a na nka n1n b （k b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后,再求na ；如 已知a 11,3 a n12,求na （答：a n2 3 n11）；已知a 11,a n3 a n12 n,求a

22、 （答：a n5 3 n12 n1）；n11,求a （答：n（2）形如anan1b的递推数列都可以用倒数法求通项；如 已知a 11,anaka n3 a n11a n12）；：3 n7. 数列求和的常用方法（ 1 ） 公 式 法 ： 常 用 公 式 ：1 2 3 n 1 n n 1,1 22 2n 2 1 n n 12 n 1,2 61 32 33 3n 3 n n2 1 2. 如（ 1）等比数列 a n 的前 n项和 S2 ,就 a 1 2a 2 2a 3 2a n 2 _n（答：4 1）；3（2）分组求和法 ：如求：S n 1 3 5 7 1 2 nn 1（答： 1 n n ）2（3）倒序

23、相加法 ： 如 已知 f x2,就 f 1 f 2 f 3 f 4 f 1 f 1 f 1 _（答：7）1 x 2 3 4 2（4）错位相减法 ：假如数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,即数列是一个 “ 差比”数 列 , 那 么 常 选 用 错 位 相 减 法 （ 这 也 是 等 比 数 列 前 n 和 公 式 的 推 导 方 法 ） . 如 设 a n 为 等 比 数 列 ,T n na 1 n 1 a 2 2 a n 1 a ,已知 T 1 1,T 2 4,求数列 a n 的首项和公比； 求数列 T n 的通项公式 .（答：n 1 a 1 1,q 2； T n 2

24、 n 2）；（5）裂项相消法 ：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时一些正负抵消,从而前 n 项化成首尾如干少数项之和；假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和 . 常用裂项形式有：名师归纳总结 1 n n1；1 n nk；第 6 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1k112 n1n1 k221 2n n1n21113n1n2；（答：n1）；（2）在数列 a n中,a nn1n1,12n n1nn1n417n11k1如（1）求和：1 4233 n且 S,就 n_（答： 99）；

25、（6）通项转换法 ：先对通项进行变形, 发觉其内在特点, 再运用分组求和法求和；如 求数列 1 4,2 5,3 6, ,nn3, , 前 n 项和S = （答：n n1n5）；3求和：1112113121n（答：2n）23n18.“ 分期付款”、“ 森林木材” 型应用问题1 这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题 . 但在求解过程中,务必“ 卡手指”,细心运算“ 年限”. 对于“ 森林木材” 既增长又砍伐的问题,就 常选用“ 统一法” 统一到“ 最终” 解决 .2 利率问题：单利问题：如零存整取储蓄（单利）本利和运算模型：如每期存入本金 p 元,每期利率为 r ,就n 期后本利和为：S

26、n p 1 r p 1 2 p 1 nr n n 1p n r （等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额仍款（复利）模型： 如贷款（向银行借款）p2元,采纳分期等额仍款方式,从借款日算起,一期（如一年）后为第一次仍款日,如此下去,分 n 期仍清；假如每期利率为 r （按复利）,那么每期等额仍款 x 元应满意：p 1 r nx 1 r n 1x 1 r n 2x 1 r x（等比数列问题） . 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2022 高考数学必修 5 数列检测题一、填空题1（2022 辽宁文） 在等差数列

27、 an 中, 已知 a4+a8=16,就 a2+a10=2 （2022 辽宁理） 在等差数列 an 中, 已知 a4+a8=16, 就该数列前 11 项和 S11=3 （2022 大纲文）已知数列 a n 的前 n 项和为 S , a 1 1 , S n 2 a n 1 , 就 S n4（2022 安徽文） 公比为 2 的等比数列 a 的各项都是正数 , 且 a 3 a =16, 就 a 55 （2022 新课标理）已知 a n 为等比数列 , a 4 a 7 2 , a a 5 6 8 , 就 a 1 a 106（2022 重庆理） 在等差数列 a n 中, a 2 ,1 a 4 5 , 就

28、 a n 的前 5 项和 S = 7（2022 福建理） 等差数列 a n 中, a 1 a 5 10, a 4 7 , 就数列 a n 的公差为8（2022 大纲理）已知等差数列 a n 的前 n 项和为 S a 5 5, S 5 15 , 就数列 1 的前 100 项和为a a n 19（2022 福建理） 已知 ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列 , 就其最大角的余弦值为 _. 10（2022 重庆文） 首项为 1, 公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S 4 _1111（2022 课标文）等比数列 a 的前 n 项和为 Sn, 如 S3+3S2=0, 就公比 q =_ 12（

29、2022 年 高 考 （ 浙 江 理 ） 设 公 比 为 q q0 的 等 比 数 列 a n 的 前 n 项 和 为 S n. 如S 2 3 a 2 2 , S 4 3 a 4 2 , 就 q=_. 13 （2022 福建文） 数列 a n 的通项公式 a n n cos n , 其前 n 项和为 S , 就 S 2022 等于2n14 （2022 课标文） 数列 a 满意 a n 1 1 a n 2 n 1 , 就 a 的前 60 项和为二、解答题15. 【 2022 高考江苏20】 已知各项均为正数的两个数列a n和 b n满意：an1a n2bn2,nN*,、设anb n*,求证：数列

30、bn2是等差数列b n11b n,nNanan第 8 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15（2022 重庆文） 已知a n为等差数列 , 且a 1a 38,a 2a 412, 求数列 a n 的通项公式 ; 记 a n 的前 n项和为 S , 如 a a k , S k 2 成等比数列 , 求正整数 k 的值. 16（2022 浙江文）已知数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 Sn= 2n 2 n ,n N , 数列 bn 满意 an=4log 2bn+3,nN . 1 求 an,b n;2 求数列 a n bn 的

31、前 n 项和 Tn. 17（2022 湖北文） 已知等差数列a n前三项的和为3 , 前三项的积为 8 . 1 求等差数列a n的通项公式 ;2 如a a a 成等比数列 , 求数列a n的前 n 项和. a n的通项公式 . 18（2022 大纲文） 已知数列a n中,a 11, 前 n 项和S nn32a . 求a 2,a ; 求19（2022 辽宁理） 在 ABC 中, 角 A、B、C的对边分别为 a, b, c. 角 A, B, C成等差数列 . 名师归纳总结 求 cos B的值; 边 a, b, c 成等比数列 , 求 sinAsinC 的值 . 第 9 页,共 10 页- - -

32、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20（2022 年高考（山东文） 本小题满分12 分 在 ABC 中, 内角A B C 所对的边分别为a b c , 已知sinBtanAtanCtanAtanC . 求证:a b c 成等比数列 ; 如 a1,c2, 求ABC 的面积 S. a 1021（2022 年高考（山东文）已知等差数列 an的前 5 项和为 105, 且2 a 5 求数列 a n 的通项公式 ; 对任意 m N , 将数列 a n 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 b . 求数列 b m 的前 m项和 S . 22（2022 陕西理） 设 a n 的公比不为 1 的等比数列 , 其前 n 项和为 S , 且 a a a 成等差数列 . 名师归纳总结 （1）求数列a n的公比 2证明 : 对任意 kN ,S k2,S k,S k1成等差数列 . 第 10 页,共 10 页- - - - - - -