2022年概率第一章到第三章知识点总结 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第一讲 随机大事及其概率1明白样本空间 基本领件空间 的概念,懂得随机大事的概念, 把握大事的关系及运算2懂得概率、条件概率的概念,把握概率的基本性质,会运算古典型概率和几何型概率,把握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式,以及贝叶斯 Bayes 公式3懂得大事独立性的概念, 把握用大事独立性进行概率运算 ；懂得独立重复试验的概念,把握运算有关大事概率的方法 . 主要内容与典型例题一 随机试验与随机大事1. 随机试验 随机试验满意以下三个特点：试验的全部可能结果（不止一个）是确定的；每次试验会发生什么结果是无法事先预

2、知的；试验可以在相同的条件下重复进行；但也有不少的随机试验不满意这个条件 . 2. 样本点与样本空间 试验的每一个可能结果称为样本点 , 用 表示；全部样本点组成的集合就是样本空间,用 表示；3. 随机大事, 基本领件, 必定大事, 不行能大事 : 样本空间的子集称为随机大事,简称大事,用 A,B, C 等记之；由单个样本点构成的随机大事成为基本领件,样本空间 为必定事件,不含任何样本点的大事 称为不行能大事；二 大事的关系与运算名师归纳总结 1. 包含关系 : 大事 A发生必导致大事B发生 , 记为AB；第 1 页,共 13 页2. 相等关系 : 如AB且BA；- - - - - - -精选

3、学习资料 - - - - - - - - - 3. 并大事 :ABA ,B名师精编,优秀资料至少发生一个niA；4. 差大事 :ABA Bi11Ai；A 发生, B 不发生5. 交大事 :nABABA ,B 同时发生,i6. 互斥大事 : A 和 B不同时发生；7. 对立大事 :AA 不发生,AA.8. 大事的运算律 :交换律 :ABBA,ABBA；C, ；CBC；结合律 :BABCABCA安排律 :ABCABCABCABCACBC,ABCA对偶律 : ABAB,ABAB；三 大事的概率及其性质1. 定义 : 设随机试验的样本空间为,如对每个大事A,有且只有一个实数P A 与之对应,并满意以下

4、公理：（非负性）0PA1；A 1A 2,有Pi1A ii1PA i；（规范性）P1；（可列可加性）对任意一列两两互斥大事就称PA 为大事 A的 概率 ；2. 性质 :名师归纳总结 P0；,A n互斥,就P nPA 1P A；ACPBCPABC；第 2 页,共 13 页n如A 1,A 2,PA i；A iPABPA PBi1i1PABPPAB；PABCPA PBPC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如AB,就PA PB名师精编A优秀资料P A；,且PBP B推广：PBAPBPAB四 条件概率与大事的独立性1. 条件概率 : 设有两个大事 A 和 B ,P

5、 A 0,称已知 A 发生的条件下 B 发生的概率为 B的条件概率,记为 P B A ,且有 P B A P AB ；P A 2. 独立性 : 如两大事 A 和 B 满意 P B A P B 或 P AB P A P B ,就称 A 和 B 相互独立；类似的仍有 A 1 , A 2 , , A n 两两独立和相互独立的定义；3. 简洁性质 : 在 A 和 B , A 和 B , A 和 B , A 和 B 这四对大事中, 只要其中有一对独立,就其余三对也独立；五 重要的概率模型1. 古典概型 : 古典概型的特点为：试验的可能结果只有有限个；各个可能结果是等可能的；设试验一共有 n 个可能结果,

6、而所考察的大事A 含有其中的 k 个,就大事 A 的概率为PA kA包含的样本点数n样本点总数注 古典概率的运算难点在于 以下排列组合公式：A 包含的样本点数的运算；在运算样本点数的时候,常用到从 n 个不同元素取 r 的排列数为：r P nnn .r.；假如落在 D内任何两个测度相从 n 个元素中有返回地取r 个的排列数：r n ；从 n 个不同元素取 r 的组合数为：Crr.n .r.；nn2. 几何概型： 向某个可度量的有界区域D内随机地投掷一点,等的子区域的可能性相等,就随机点落在D的子区域 A 内的概率为PAA 的测度D的测度注 假如 D和 A 是数轴上区间（平面区域或立体区域）体积

7、）；,就测度就是区间长度（面积或名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料几何概率的运算关键是找出大事A 所对应的子区域,并运算其测度；3. 贝努利概型：在n 重贝努利试验中,大事0kn 的概率为：PA k A恰好发生 k 次 A kCkpn1p nk；n六 重要公式1. 乘法公式：PAB PA PBA PB P ABA 1A 20A n1n；大事 B 满意P A 1A 2A nPA 1PA 2A 1P A n2. 全概率公式：设大事A 1,A 2,A n两两互斥,且PiA1inBi1BA i就有n3.

8、贝叶斯公式：设大事A 1,A 2,PBi1PA iPBA i；01in,PB0, 大事,A n两两互斥,且PiAB 满意nBi1BA i就有名师归纳总结 PA iBiP A iP BA i；第 4 页,共 13 页nP A i P BA i1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料其次讲 随机变量及其分布1.懂得随机变量的概念, 懂得分布函数的概念及性质,会运算与随机变量相联系的大事的概率 . 2.懂得离散型随机变量及其概率分布的概念,掌握 0-1 分布、二项分布 用.、泊松Poisson 分布及其应3.懂得连续型随机变量及其概率密度的概念

9、,掌握匀称分布、正态分布、指数分布及其应用 . 4.会求随机变量函数的分布 .主要内容与典型例题一 随机变量及其分布函数、分布律与密度函数1. 随机变量 对于给定的随机试验 , 是其样本空间 , 如对 , 有且只有一个实数X 与之对应 , 就称此定义在 上的实值函数 X 为随机变量；2. 分布函数 设 X 是一个随机变量,称函数F x P X x x 为随机变量的分布函数；性质0Fx1（x）；Fx 1Fx 2；对任意两点x 1, x2,当x1x2时,有lim xFx 0；lim xFx1；lim x x 0FxFx0（x 0）；bFbFaPaX注记 满意上述性质、和的函数必为某随机变量的分布函

10、数；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 分布律Xx1名师精编优秀资料2xix性质0ip1,P p 1p2ipip1；i4. 密度函数 设随机变量 X 的分布函数为Fx, 如非负函数fx, 对任意的 x ,使得；Fxxf t dt就称 X 为连续型随机变量, fx 为 X 的概率密度函数, 并称 X 的分布是连续型分布性质 fx0；fx dx1；（满意上述两个性质的函数必为某随机变量的密度函数）PaXb bfx dxFxfx；b bfx dxaFx是连续函数 , 且在fx的连续点处有对cR,有PXc0；Xb P

11、aX对任意的a,bRab ,有P aXb P aXb Paa二 重要的一维分布1. （0-1 ）分布 分布律为X10p1,0p1；p2. 二项分布 在 n 重贝努利试验中,大事A 发生的次数 X 的分布为P XkCkk p1p nkk,1,02,n；n记作XBn,p；当n1时,二项分布即为（0-1 ）分布；3. 泊松分布 分布律为PXkkk.ek0 ,1,2 ,L,记为X P4. 匀称分布 密度函数和分布函数分别为名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxb1,a名师精编和优秀资料x0 ,aaxxabxbF xa ,0

12、b,1axbother记作XUa,b.5. 指数分布 密度函数和分布函数分别为记为X Efx ex,x0和Fx10 ,x,x0ex00 ,other；6. 正态分布 密度函数为fx 1ex22,都是常数,0 x ,其中x 是22记作XN,2；当,021时,密度函数为1fx 1ex 222称 X 听从标准正态分布,记为X N01, ；性质 标准正态分布的密度函数为偶函数,所以有xN,2的分布函数； 如XN,2,就有X N0 1, ,继而有PaXbba三 随机变量函数的分布名师归纳总结 1. 离散情形设离散型随机变量X的分布律为kxgxk第 7 页,共 13 页Xx1x2Pp 1p2kp就Yg X

13、的分布律为Yg Xgx1gx2Pp 1p 2kp- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其中gx1、gx2、 、gx名师精编优秀资料gix的值中有相同的,k、 具有各不相同的值；如就应把那些相同的值分别合并,同时把对应的概率gXip 相加；2. 连续情形 设 X 的密度函数为f Xx, 求Y的密度函数的步骤为先求 Y 的分布函数：名师归纳总结 FYyP Yfyy P gX；y gx yfXx dx第 8 页,共 13 页再求 Y 的密度函数：YF Yy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料第三讲 多维随

14、机变量及其分布1.懂得二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布,懂得二维连续型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度,的概率 .会求与二维随机变量相关大事2.懂得随机变量的独立性的概念,把握随机变量相互独立的条件 . 3.把握二维匀称分布, 明白二维正态分布的概率密度,懂得其中参数的概率意义 . 4.会求两个随机变量简洁函数的分布,会求多个相互独立随机变量简洁函数的分布 .主要内容与典型例题一 二维随机变量及其分布函数1. 定义 设试验 E 的样本空间为,对于每一个样本点 w,都有确定的两个实数 X w 与 Y w 之对应,称有序数对 X w , Y w 为二维随机变量 （或 二维随机

15、向量 ）,简记为 X , Y ；并称 X 和 Y 是二维随机变量 X , Y 的两个重量；2. 分布函数 设 X , Y 是二维随机变量,称二元函数记为F x , y P X x Y y P X x , Y y , x , y 为二维随机变量 X , Y 的联合分布函数 ；性质名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0Fx ,y1；且lim xyF名师精编；优秀资料x ,y 1；x ,y 0lim xyF对任一固定的x ,lim yFx,y 0；2Fx 2y1Fx1y 1；对任一固定的y,lim xFx,y 0；Fx ,

16、y关于 x 和 y 是单调不减的；Fx ,y关于 x 和 y 均为右连续函数；P x 1Xx2,y 1Yy2Fx2y2Fx1y3. 关于 X 的边缘分布函数：F X x lim yFx,y；关于 Y 的边缘分布函数：FYyx limFx,y4. 独立性的判定X 与 Y 独立Fx ,yFXxFYx二 二维离散型随机变量1. 定义假如二维随机变量X,Y全部可能取值只有有限多对或无穷可列多对,就称,12,X,Y为二维离散型随机变量；2. 联合分布律设二维离散型随机变量X,Y的全部可能取值为x iyj,i, j且X,Y取各可能值得概率为P Xx i,Yyjp ,iji, j,12 ,或写成表格形式：就

17、称或为XY,Yy1y2jy1xXp11p 12p1j2xp21p22p2jix1ipip2p ij的联合分布律 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 性质 0p ij1,i, j,1名师精编优秀资料p ij1；,2；ij,都有3. X 的边缘分布律 ：P Xixp ij记成ipi,12 ,j1；Y 的边缘分布律 ：P Yjypij记成pj j,12 ,i1,1,24. 独立性判定X 与 Y 相互独立的充要条件是对一切i, jjy.P Xx i,YyjP XixP Y三 二维连续型随机变量1. 定义 设 F x ,

18、y 为二维随机变量 X , Y 的联合分布函数, 如存在一个非负可积的二元函数 f x , y ,使得对于任意的实数 x、y,有x yF x , y f u , v dudv；就称 X , Y 为二维连续型随机变量,称 f x , y 为 X , Y 的联合密度函数 ；性质 f x , y 0； f x , y dxdy 1； 设 G 是 xoy平面上的区域,就 X , Y 落入区域 G 内的概率为P X , Y G f x , y dxdy；G名师归纳总结 在fx,y的连续点,有2Fx,y fx ,y；第 11 页,共 13 页xy2. 关于 X 的边缘密度函数：f Xx fx ,y dy,

19、关于 Y 的边缘密度函数 ：f Yyfx ,y dx,3. 独立性判定X与Y相互独立的充要条件是fx,yf Xxf Y y 在fx,y、f Xx、f Y y 的一切公共连续点上都成立；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料四 常见的二维分布1. 二维匀称分布联合密度函数为fx ,y1,x,yG,其中 G 是G 的面积0 ,其它.xoy平面上的某个区域,就称X,Y听从 区域 G 上的匀称分布 ；G 内随机地注 在区域 G 上听从匀称分布的二维随机变量X,Y,其取值可看作向平面投掷一点,而此点落入 位置无关；G 内任何子区域内的概率与子区域的

20、面积成正比,而与子区域的2. 二维正态分布联合密度为2e,212x122（x-1）（y2y22y,fx ,y1 122 12 2122121,x其中1,2,1,2,均为常数,且,10 ,0,|1,就称X,Y听从 二维正态分布 ,记作X,YN1,2,22；123. 关于正态分布的结论设X,YN1,2,2 1,2, 就2Xb2212ab1Y2；2,2,就由2bYNa1b2,a2aX12且 X 和 Y 相互独立0 ；但如仅仅有N,2,N120 不能推得 X 和 Y 相互独立；设X,YN1,2,2,2,就XN1,2,YN2,2；1212设 X 和 Y 相互独立,且XN1,2,YN2,2,a,b为常数,

21、就12X,YN1,2,2,2 2, 0 1aXbYN a1b2,a22b2212特殊地,aXbN a1b ,a22,X1N 0 1,；11五 两个随机变量函数的分布名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀资料1. 离散情形 2. 连续情形名师归纳总结 设X,Y的联合密度为fx,y,求ZgX,Y的密度函数f Z z 的步骤：第 13 页,共 13 页 第一求出ZgX,Y的分布函数F Zz：F ZzP Zz P gX,Yz fx,ydxdy；gx,yz 对分布函数FZz 求导,可得到密度函数fZz ,即fZzF Zz；3. 设X ,X2, ,Xn为 n 个相互独立的随机变量,Xii1 2,n的分布函数为FXix i,就MmaxX1,X2,Xn及NminX1,X2,Xn的分布函数分别为nnF maxz FXiz和Fminz11FXiz ；i1i1特殊地,当X ,X2, ,Xn相互独立且具有相同的分布函数Fx时,有F maxz Fx n,Fminz11Fx n；- - - - - - -