2022年浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 毕业论文学生陈碧玉学号161001049 学院数学科学学院专业数学与应用数学题目浅谈数形结合思想在中学数学解题中的应用指 导 教 师王爱峰副教授 /博士姓名05 专业技术职称/学位2022 年月名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文摘 要:数形结合是中学数学中一种非常常见且重要的数学思想之一. 利用数形之间的相互转化,可以化繁为简、化难为易、化抽象为详细,从而到达简洁明白的解题成效 . 本 文主要探讨了数形结合思想在集合、函数、方程、几何、三角函数、

2、线性规划、复数问题 中的应用 .关键词 : 数形结合 , 线性规划,复数,应用2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文Abstract: The combination of number and shape is one of a very common and important mathematical thought in middle school mathematics. Using mutual conversion between number and form, we can m

3、ake hard problems simple and easy and turn the abstract to the concrete. In this paper, we mainly discuss the combination of number and shape in collection、functions、equations、geometry、trigonometric functions、linear programming and complex number. Keywords: the combination of number and shape, linea

4、r programming, complex number, application3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文目 录1 前言 4 2 数形结合思想在中学数学中的应用 5 5 6 11 13 14 15 16 18 19 20 2.1 数形结合思想在集合中的应用 2.2 数形结合思想在函数中的应用 2.3 数形结合思想在方程与不等式中的应用 2.4 数形结合思想在三角函数中的应用 2.5 数形结合思想在中学几何中的应用 2.6 数形结合思想在线性规划中的应用 2.7 数形结合思想在复数

5、中的应用 结论 参考文献 致谢 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文1 前言数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识中,经过思维活动产生的结果,它是对数学事实和数学理论经过概括后产生的本质熟悉. . 基本数学思想就是应该表达于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想中学阶段的基本数学思想包括：分类整合思想、归纳推理思想、数形结合思想、函数 思想、方程思想、整体思想、分类争论思想、转化思想、类比思想、抽样统计思想等 . 在 中学阶段的数学教学中时时刻刻都渗透着这些基本数学

6、思想,假如老师能够将这些基本的 思想真正落实到课堂学习中,那么它就能够进展同学学习数学的才能 . 本文主要探讨了这 些基本数学思想中的数形结合思想,它是一种非常重要且常见的思想方法之一,贯穿于整 个中学数学的教学过程 . 我国闻名数学家华罗庚曾经说过：数与形,本是相依倚,焉能分作两边飞；数无形时 少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔离分家万事休；切莫忘,几何代数统一体,永久联系切莫别离 . 这就说明数与形是紧密联系、 不行分割的 . 而数形结合主要是指数学 语言与几何图形之间一一对应的关系 . 数形结合思想的实质就是通过数学语言与几何图形之间的相互转化,把抽象的数量通 过抽象化的方法,转

7、化为适当的几何图形,从图形的结构直观地发觉数量之间存在的内在联系,解决数量关系的数学问题; 或者是把关于几何图形的问题,用数量或方程等来表示,从它们的结构争论几何图形的性质和特点 . 数形结合思想可以使某些抽象的不易于理解的数学问题生动直观,能够变抽象问题为形象问题,便于同学把握数学问题的本质 . 此外,借助数形结合的方法使得许多抽象的问题迎刃而解. 这种思想的应用非但可以培育学生的自己观看摸索、综合运用各种学问的才能,而且仍培育了同学的自主创新的才能,增 强了同学发散性思维的才能 . 数形结合思想作为一种基本的数学思想,其应用一般可以分为以下两种情形：第一种情形就是“ 以数解形” ,而其次种

8、情形就是“ 以形助数”. “ 以数解形” 就是将“ 形” 的问题转化为用数量关系去解决,运用代数,函数学问进行争论,它是将技巧性极强的的推理论证转化为可操作的代数运算,起到了化难为易的作用. “ 以形助数” 顾名思义就是将“ 数” 的问题转化为图形的问题来解决,直观生动,便于懂得和解题 . 在运用数形结合思想分析和解决问题时,要留意三点：第一是明白概念和运算的几何意义,对于题目中的的条件和结论既分析其代数意义又要分析其几何意义；其次是恰当设5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文立参数、合理运用参

9、数,建立正确关系,做好数与形的相互转化；第三是正确确定参数的取值范畴 . 下面我将详细从这几个方面来探讨数形结合思想在中学数学解题中的应用 . 1 在集合问题中的应用 . 2 在函数问题中的应用 . 3 在方程、不等式问题中的应用 .4 在三角函数问题中的应用 . 5 在几何问题中的应用 . 6 在线性规划问题中的应用 . 7 在复数问题中的应用 . 通过对这些例题的分析讲解充分呈现数形结合思想在中学数学解题中的特点,从而将数形结合思想运用到实际教学中 . 2 数形结合思想的应用数形结合思想在集合中的应用在集合运算问题中,当所给问题的数量比较复杂,不好找线索时,我们经常要借助数轴、韦恩图来处理

10、集合中的交、并、补等运算,利用直观的图形,从而使问题更加简化,运算更加快捷 . 例 1 已知集合Ax|x23x4|0 ,B|x10,就AB等于多少 . ,所以x解如图 1. 集合 A 的解集为Ax4x0 , 集合 B 的解集为Bxx03ABx0x1. 42101图 1 3 例 2 某班有 48 个同学,每人至少参与一个活动小组,参与数、理、化的人数分别为 28 , 25 , 15,同时参与数、理小组有 8 人,同时参与理、化的有 6人,同时参与数、化的有 7人,问同时参与数、理、化的有多少人 . 分析 此题中,我们可以用 A、B、C 三个圆分别表示参与数、 理、化的人如图 2,就三个圆的公共部

11、分就是表示同时参与数、理、化三个活动小组的人数 . 假设用 n 来表示6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文集合中的元素,就有n AnB nCnABnACnBCn ABC48,即282515867n ABC48,所以因而同时参与数、理、化活动小组的有nABC1,1人. 数理化图 2 数形结合思想在函数中的应用利用函数图像来争论函数的性质是一般常见的数学方法之一 . 函数图像的几何特点和数量特点紧密结合,表达了数形结合的特点和方法. 利用函数图像的直观性来争论函数的最值问题,求解变量的取值范畴,运

12、用数形结合思想考察转化才能,规律思维才能,是函 数教学中的重要内容之一 . fx例 3 假设函数fx是定义在 R 上的偶函数,在,0 上是减函数,且f2 0,求0的 x 的取值范畴 . 解由于fx是定义在 R上的偶函数,所以yf x 关于 y 轴对称,又由于yfx在,0上为减函数,且f2f20,因此可以作出图3, 所以由图像性质可知fx 0,7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文所以x2 2,. y202x图 3 例 4求函数yxx211xx244x88的最小值 . . 分析观看yx22的特点,

13、直接从代数方面求解,同学很难解答此题中,我们需要借助数形结合的思想,以此思想为转化手段,让同学奇妙地使用两点间的距离公式 . 令A解,x2,21,x24x8x0 2 01 2x2 202 2. 有最小值 . 0 1, x ,B2P0 ,就问题转化为在x轴上求一点 P ,使PAPByBA0PxC图 4 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文如图 4 所示,由于 AB 在 x 轴同侧,故 取 A 关于 x轴的对称点 C ,0 1 ,因此 PA PB min CB 2 0 2 2 1 2 13 . 例

14、 5 函数 f x x 2ax 3,当 x 2 , 2 时,f x a 恒成立,求 a 的取值范畴 . 分析 此题是二次函数问题中典型的“ 轴变区间定” 问题 . 依据函数解析式画出函数图像,分情形争论,思路清晰,不易出错 . 解 由解析式知,函数的对称轴为 x a . 21 当 a2,即 a 4 时 图 5 ,f x 在 2 , 2 上单调递增,所以 当 x 2 时,有2f x min f 2 2 a 7,依题意得2 a7a,即a7,3所以a 不存在 . y2fxx2ax3x02xa 2图 6 2当2a2,即4a4时图 6,fx在2,a上单调递减, 在a2,当222xa 2时,有9 名师归纳

15、总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文fxminfa3a2. 24依题意得3a2a, 4即6a2, 所以4a2. y202fxx2ax3xxa 2图 6 3当a2,即a4时图 7,fxf在2 ,2上单调递增 , 所以 当x2时,有2fxmin2 2a7. 依题意得2a7a, 即a7, 所以7a4. 10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文y202fxx2xax3xa 2图 7 综上所述例 6 在平面直角坐标

16、系a7 ,2 . x1x1与直线ykx1有四个xOy 中,假设曲线yxx公共点 , 求实数 k 的取值范畴 . 解由题意得,yx1x1是偶函数,且xx2 ,x2 x ,xx,1作出曲线的图像如图8y10 ,2 x ,2 ,x0xx,1,111 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文y2ykx1x02图 8 当k0时,直线y0kx1与曲线yx1x1 x有四个公共点；当k0时,要使它们x有四个公共点,就需ykx1与y2 x x1有一个公共点,此时即方程kx2x22 x,kx1有两个相等的实数解,从而1

17、8 k0,故当k0时,依据对称性可得1k1；1；8从而满意条件的k 的取值范畴是0, ,k.8188数形结合思想在方程与不等式中的应用许多情形下,我们在处理一些不能使用常规方法来解答的复杂方程时,通常把方程根的问题看作两个函数的交点问题,通过作图就可以很好地解答出来 . 处理不等式的问题时,依据题目的条件和结论,画出图形,将图形和联系题目中的相关函数相互结合,重点分析其几何意义,揭示图形所包蕴的数量关系,借助图形探求其解题思路 .例 7 4 设方程 x 21 k,试争论 k 取不同范畴的值时其不同解的个数的情形 . 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 20 页精选学

18、习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文解 可以将题设问题转化为确定两个函数 y 1 x 21 与 y2 k 图像交点个数的情形的问题图 9. 由于函数 y2 k 始终表示全部平行于 x 轴的直线, 而分段函数 y 1 x 21 可以先表示为函数 y 1 x 2 1,再画出 y 1 x 21 的图像,进一步画出函数 y 1 x 21 的图像,从而由图像可以直接看出y11O1x1图 9 1 当k0时,y 1, y2没有交点,这时原方程无解；x1与x1；2 当k0时,y 1, y2有两个交点,原方程有两个不同的解,分别是3 当0k1时,y 1, y2有四个不同的交点,原方程

19、有四个不同解；4 当k1时,y 1, y2有三个交点,原方程有三个不同解；5 当k1时,y 1, y2有两个交点,原方程有两个不同解. 通过图像我们可以清晰地看出 解题的效率 . k 在不同范畴内两个函数交点的个数,化繁为简,提高例 8 设 x ,0 y 0 , z 0,求证：x 2xy y 2y 2yz z 2z 2zx y 2. 证明 这是一个代数不等式的证明问题,已知条件简洁,难以下手 . 但是由问题中的代数式的结构自然地联想到三角形余弦定理,所以 x 2xy y 2x 2y 22 xy cos 60 .又由于 x 0,y 0,所以 x 2y 22 xy cos 60 可以表示是以 x,

20、 y 为边,60 为其夹角的三角形的第三边 . 同理2 yyzz2,z2xzx2也有类似的几何意义 . 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文于是构造出如图 10 的四周体VABC,使y2. AxyVzCAVBBVCCVA60,且z, xyVAx ,VBy ,VC由余弦定理得x2ABx2y22xycos60同理BCz2y2zxyz22 z, BCAx. 图 10 在ABC 中ABBCCA,所以原不等式成立 . 1 0a1 . 例 9 解关于 x 的不等式logax1logax解设fx log

21、ax1,gx logax1,令在同始终角坐标系中分别作出函数f xfxgx,0a1 时的图像,如图11 所示x2. 和函数g x 在y211O12x图 11 当x2时,f x和gx的函数值相等；当2x2时,fxgx ；当x2时,fxgx. 从而可知原不等式的解是. x数形结合思想在三角函数中的应用14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文数形结合思想是处理三角函数有关问题的重要思想方法, 通常有两个形式：一是利用单位圆解决角的范畴或三角不等式问题；二是利用三角函数图像求方程解的个数问题,或已知方

22、程解的个数,求方程中的字母参数的范畴问题 . CDBx,例 10 设x4,2. 求证cscxcotx21. 证明由题设条件可以构造一个等腰直角三角形ABC ,如图12,设ABBC1, 就AC2. 因 为cscxDC,cotxDB, 又DCADAC, 所 以DCABDBAC,故cscx1cotx2,因此cscxcotx21.CxADB图 12 数形结合思想在几何中的应用几何的特点是代数与几何相结合,处理几何问题的一般方法就是利用数形结合的思想,观看直线, 圆和圆锥曲线在直角坐标系中图像的特点,从图形中获得解答问题的思路. 例 11 如图 13,双曲线x2y21的左右焦点分别是F 1, F2, P

23、 是双曲线上任意的一4915点, Q 是PF 的中点,且到 O 点距离为 4 ,求点 P 到此双曲线左准线的距离. 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文yPQF 1OF2x图 13 是解由题意知,双曲线的离心率e8,连接 P ,F 两点和 O ,Q 两点,可知线段 OQ7F1F2P的中位线,由于OQ4,所以F 1P8,因而点 P 到双曲线左准线的距离就是8e8864. 77数形结合思想在线性规划中的应用敏捷运用数形结合的思想是解决线性规划问题的关键,利用数形结合思想奇妙地将代数问题转化为几

24、何问题,借助所画的图像直观生动地来阐明数量的关系. 求实数 a 的取值范xy0,例 12 假设不等式组2xy2,所表示的平面区域是一个四边形,y0 ,xya围. 解xy,0和如图 14, 可以作出上述不等式组2xy,2中的前三个不等式所表示的平面区y,0域,其中xyaO00,A,10 ,B2,2分别为此平面区域的三个顶点, 只有在直线2xy23316 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文最终一个不等式xya的交点处于A,B两点之间时,xxyy,0所表示的平面区域才是202 ,y,一个四边形,而此

25、时1a4. xya3y2xy22xy0BOAxyax图 14 数形结合思想在复数中的应用将复数在平面上表现出来,复数就有了几何意义,与点对应,与向量对应,从而建立了复平面；一般解决复数问题,总是由复数联想到三角,几何等学问,将它们联系起来,不仅可便于懂得、把握复数方面的问题,而且仍能够提高分析问题、解决问题的才能 . 例 13 设 arg z 2,arg z 2 5,求复数 z . 3 6解 依据复数的几何意义, 可作出如图 15 所示的图形, OA为 z 2,OC 为 z ,OB 为z 2 . 由于 AOB 5,且点 C 是 AB 的中点,所以6 3 2OC 1 AB BC 2,2即z 2,

26、所以 COB B 由于 BC 平行于 x 轴,所以5COB B,6 617 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文所以所以z2arg z5sin62,3 i. 63cos120i1201yBCOAx图 15 18 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文结 论由上述的例子可知,数形结合是中学数学解题中重要的思想方法之一,并且有着广泛 的应用 . 在学习过程中,培育同学的这种思想意识,稳固此方法的应用,不

27、仅能优化解题 思路,仍能使同学的创新意识得到培育,加强同学综合运用的才能；在平常的学习和争论 中我们要不断培育同学的这种思维意识,将图形与代数有机的结合起来,也要留意培育学 生数形结合思想方法的思维意识,老师要深层次地挖掘教材内容,将数形结合思想详细地 渗透到实际问题中来, 在寻求解决问题的方法中, 让同学正确懂得数与形紧密相连的关系,使之有机地结合起来 . 让同学真正做到心中有图,图中有数,利用数形结合思想简明答题,做到学以致用 . 19 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 淮阴师范学院毕业论文参考文献1M.陕西 : 陕西师范高校出版社. J. 训练争论, 2007,12:129. 3J. 理科考试争论高中版,2022, 209:22. 4 廖冬梅 . 数形结合思想在高中数学中的应用 J. 读写算训练教学争论, 2022,71:69-70. 5 孙志杰 . 浅谈数形结合思想在三角函数中的运用 J. 才智, 2022,30:151-152. 20 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页,共 20 页