2022年指数、对数及幂函数知识点小结及习题 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点指数函数、对数函数及幂函数.指数与指数函数1.指数运算法就：（1）r a asars； （2）arsars；（3）abra b ；r rananmm n1a n奇（5）（6）（4）annam；nam|a|,n偶2. 指数函数：指数函数0a1 图象表达式yax定义域单调递减R单调递增值域0,过定点0,1单调性【基础过关】类型一：指数运算的运算题此类习题应牢记指数函数的基本运算法就,留意分数指数幂与根式的互化,在根式运算或根式与指数式混合运算时,将根式化为指数运算较为便利名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 1

2、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点1、5 2 6 的平方根是 _ 2、 已知an2,amn16,就m的值为 A3 B 4 Ca3 Da63、化简bab b1aa22abb2的结果是 A、aab B、aba C 、baaD、2bbaa410.001,求：a2a338a bb2123b=_ a4、已知a32ab435、已知x1133x13,求（ 1）x2x2=_（2）x2x2=_ 6、如xyxy2 2,其中x1,y0,就xyxy_ 类型二：指数函数的定义域、表达式指数函数的定义域主要涉及根式的定义域,留意到负数没有偶次方根；此外应牢记指数函数的图像及性质函

3、数yaf x的定义域与f x 的定义域相同就AfB1_ 1、如集合 A=x y311x,B=x s2x1,2、假如函数yf x 的定义域是 1,2 , 那么函数y2x的定义域是 _ 1名师归纳总结 3、以下函数式中,满意fx+1=2 fx 的是 x第 2 页,共 12 页A、1x1B、x1C、 2xD、 2244、如642 a4 a11 2a,就实数a的取值范畴是 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A、a2B、a1名师总结优秀学问点a1D、任意实数C、22类型三：复合函数1 形如a2xbaxc0的方程,换元法求解af x 的值域2 函数yaf x的定义

4、域与fx的定义域相同3 先确定fx的值域,再依据指数函数的值域,单调性,可确定y涉及复合函数的单调性问题,应弄清函数是由那些基本函数符合得到的,求出复合函数的定义域,然后分层逐一求解内层函数的单调区间和外层函数的单调区间,留意“ 同增异减”（1）外函数是二次函数,内函数是指数函数1、求函数yx 2 39x1的值域13 4x的最大值是 _,最小值是 _ 2、当1x0时,函数y2x23、已知x-3,2 ,求 fx=1 4 x1 2 x的最大值是 _,最小值是 _ （2）外函数是指数函数,内函数是二次函数1、函数 y=12x 28x1 -3x1 的值域是 _,单调递增区间是_ 3 2、已知函数y=1

5、x22x5,求其单调区间 _及值域 _ 3 类型四：奇偶性的判定 利用奇偶性的定义,留意运算过程中将根式化为分式指数幂后通分名师归纳总结 1、函数fx1ax2ax是 第 3 页,共 12 页 A 、奇函数B、偶函数C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数2、已知函数fx=ax1 1a1xa1 判定函数的奇偶性；2 求该函数的值域；3 证明 fx 是 R上的增函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、设 aR,fx= ax 22 xa2 xR 名师总结优秀学问点1,试确定 a 的值,使 fx 为奇函数类型五：分类争论思想在指数函数中的应用1、已知a0,且a1

6、1,解不等式xax 26a5xx1使得 fx2、已知 fx=a2x23x,gx=ax 225 a 0 且 a 1, 确定 x 的取值范畴 ,gx. .对数与对数函数1、对数的运算：名师归纳总结 1、互化：abNblogaNm0 推论 2 logablogbclogac第 4 页,共 12 页2、恒等：alogaNN3、换底：logablogcbcabloga推论 1 logab1alogb推论 3 logambnnlogm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、logaMNlogaMMlogaN名师总结优秀学问点l o g a Ml o g al o g

7、 aMNlogMna5、nloga2 对数函数：对数函0a1 数图象表达式ylog ax定义域单调递减0,单调递增值域R过定点1,0 单调性【基础过关】类型一：对数的基本运算此类习题应牢记对数函数的基本运算法就,留意1 常用对数：将以10 为底的对数叫常用对数,记为lgNlnN2lg5lg202 自然对数：以e=2.71828 为底的对数叫自然对数,记为3 零和负数没有对数,且log a10 ,logaa11、 1、21lg0. 811 3lg.0 0082、2lg2lg2lg9 3、log43log83log35log95log52log2522、已知logax2,log x3,log x6

8、求logabcx的值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点类型二：指数,对数的混合运算指数函数yaxa0,a1 与对数函数ylogaxa0,a1 的图象与性质x函数y=axy=log axa0a10a1图yyyx=1yx=1象1y=11y=1OaxO1a1aaO1xO1x定义域- ,+ 0,+值域0,+- ,+过定点0,1 ,即 x =0 时, y=1.1,0 ,即 x=1时, y=0.y值区域x1;x0 时,0y1;0x0; x1 时, y0.0x1 时,y1 时, y0.x0 时, 0y0 时,

9、 y1.单调性在- ,+内是在- ,+内是在0,+内是在 0,+内是减函数增函数增函数减函数1、如 log 2m ,loga3n 就a3m2n_ 2、如a1且 0b1,就不等式a log bx31 的解集为 _ 3aa23、已知 3ab 5A 且1 a12,就 A 的值是 _ ba 4、已知 32,那么log 82log36 用 a 表示是 A、a2B、5 a2C、3 a1a2D、【才能提升】类型三：对数函数的定义域与解析式名师归纳总结 留意复合函数的定义域的求法,形如yfg x 的复合函数可分解为基本初等函数第 6 页,共 12 页yfu,ugx,分别确定这两个函数的定义域；- - - -

10、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1、函数y15名师总结优秀学问点log 2x2的定义域是 _ flog x2x2,就f0=_ 2、已知23、已知fx6log2x ,那么f8=_ 类型四：对数函数的值域留意复合函数的值域的求法,形如 y f g x 的复合函数可分解为基本初等函数y f u , u g x ,分别确定这两个函数的定义域和值域；2y log x 6 x 171. 函数 2 的值域是 _ 12. 设 a 1,函数 f x log a x 在区间 , 2 a 上的最大值与最小值之差为 2 ,就a =_ 3. 函数f x axlog x1在0,1上最大值和最小

11、值之和为a ,就 a 的值为_ 类型五：对数函数的单调性、奇偶性1、函数ylgx 的单调递增区间是_ ; 函数ylog 2 x3x2的递增2区间是 _ 名师归纳总结 2、以下各函数中在（0,1）上为增函数的是 第 7 页,共 12 页A. ylog x1B. ylog 2x21 2C. ylog31D.ylog 2 x4x3x33、函数ylg12x1的图像关于 x 对称A、x 轴对称B、y轴对称C、原点对称D、直线y4、函数f x lgx21x是（奇、偶）函数；5、已知函数f x 10x10x,判定f x 的奇偶性和单调性；10x10x- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

12、 - - - - 名师总结 优秀学问点类型六：对数中的不等关系比较同底数的两个对数值的大小；比较两个同真数的对数值的大小1、设alog0.70.8 blog 0.9 clog 5,就a b c 的大小关系是 _ 2、设alg , e blg2 e ,clge 就a b c 的大小关系是 _ 3、假如logm31,那么m的取值范畴是 _ 54、假如log 3log 30,那么a b 的关系是 A. 0ab1B. 1abC. 0ba1D. 1ba5、已知log x21log 2x40,就不等式解集为_ 6、如f x log ax在 2, 上恒有f x 1,就实数a的取值范畴是 _ 类型七：其它题型

13、（奇偶性,对数方程,抽象函数）1、设f x lg12xa 是奇函数,就使f x 0的x的取值范畴是 _ ,A 2、已知集合其中c= _. xlog2x2 ,B, a ,如 AB 就实数 a的取值范畴是 ,3、如1x满意 2x+ 2x=5, 2x满意 2x+2log2x1 =5, 1x+2x 5B.3 7A.2C. 2D.4 幂函数一、幂函数图象的作法：名师归纳总结 依据幂函数yxk的定义域、奇偶性,先作出其在第一象限的图象,再依据其奇偶性作第 8 页,共 12 页nn出其他象限的图形. 假如幂函数的解析式为yxm或yxm（m、nN,m2,m、n 互质）的形式,先化为ymxn,或ym1n的形式,

14、再确定函数的定义域、奇偶性、x单调性等性质,从而能比较精确地作出幂函数的图象. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 二、幂函数图象的类型：名师总结优秀学问点n1kn1（共有 11 种情形）kkn m00kmmyyy奇函数m 、n 都是-1o1-1x-1o1y=x3x-1oy1y=x5x奇数y=x3y53y偶函数m 是奇数,-1o1y=x-2x-1o1y=x2x-1o1y=x4xn 是偶数y3y3y3非奇非偶函数-1o1y=x-1x-1o1y=x1x-1o1y=x3xm 是偶数,n 是奇数222三、幂函数图象特点：（1）当k0时,在第一象限内,函数单调递减

15、,图象为凹的曲线；名师归纳总结 （2）当k0时,图象是一条不包括点（0,1）的直线；第 9 页,共 12 页（3）当1时,在第一象限内,图象单调递增,图0k- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点象为凸的曲线；（4）当k1时,图象是一、三象限的角平分线；y=xxy（5）当k1时,在第一象限内,图象单调递增,图象为凹的曲线. y=xox0-1 o（6）幂函数图象不经过第四象限；o1（7）当k0时,幂函数yxk的图象肯定经过点（0,0）和点（ 1,1）（8）假如幂函数yxk的图象与坐标轴没有交点,就k0；（9）假如幂函数yx1pn（ m 、

16、n 、 p 都是正整数,且m 、 n 互质）的图象不经过m第三象限,就p可取任意正整数,m 、 n 中一个为奇数,另一个为偶数. 四、幂函数典型问题：1概念问题：【例 1】 1已知幂函数,当时为减函数,就幂函数_2-5m+6的图象同时通过点 0,0【变式】当 m 为何值时,幂函数 y=m和1,1. 2定义域问题：1x3x20的定义域为【例 2】函数yx25【变式】 .求函数 y=的定义域 .名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点3单调性问题：3 12a3,求实数 a 的取值范畴 . 【例 3】已知

17、a3 55【变式 1】争论函数的单调性 . 【变式 2】争论函数4图象问题：的定义域、奇偶性和单调性【例 4】如函数yxm22m3 mZ的图象与坐标轴没有交点,且关于y 轴对称,求函数fx的解析式 . 【例 5】利用函数的图象确定不等式的解集：（1）不等式x2 x 31 的解集为并确定交点的坐标,从而能较简单地1（2）不等式x4x3的解集为说明： 先在同一坐标系中作出不等式两边函数的图象,写出不等式的解集5函数图象的平移、对称、翻折变换问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 说明： 许多较复杂函数的图象,名师总结

18、优秀学问点对称、翻折变换而得都是通过将以下函数的图象经过平移、到y1；y1；ykk0,k1 ；ykk,0k1 . xxxx【例 6】作出以下函数的大致图象,并结合图象写出函数的值域、奇偶性和单调区间（1）yx2（2）yx1x12x（3）yx41,x1, 2 ,5 （4）y2x1,x0 ,x1（5）y11x（6）yx213【例 7】已知幂函数yfx是偶函数,且在区间0,上单调递增,如fa21 f2a2a1 ,就实数 a 的取值范畴是 . 6. 比较幂函数值大小【例 8】比较,的大小 . ,在第一【例 9】已知幂函数,象限内的图象分别是 C1,C2,C3,C4,如图 ,就 n1,n2,n3,n4,0,1 的大小关系 .名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页