2022年最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第5节-第1课时-椭圆及其标准方程教案-文-新人教A版 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 1 课时 椭圆及其标准方程最新考纲 1. 明白椭圆的实际背景,明白椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.把握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简洁几何性质 . 知 识 梳 理在平面内与两定点F1,F2 的距离的和等于常数 大于 | F1F2| 的点的轨迹叫做椭圆. 这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 . 其数学表达式：集合 P M| MF 1| | MF2| 2a ,| F1F2| 2c,其中 a0,c0,且 a, c 为常数：1 假设 ac,就集合 P 为椭圆；2 假设 ac,就集合 P 为线段；3 假设 ac,就

2、集合 P 为空集 . 标准方程x2 22y b 21 ab0y2 2x b221 ab0 aa图形范畴 axa byb bxb aya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点性顶点A1 a,0 ,A2 a,0 ,A10 , a ,A20 ,a,B10 , b ,B20 ,bB1 b,0 ,B2 b,0 质轴长轴 A1A2的长为 2a；短轴 B1B2 的长为 2b焦距| F1F2| 2c离心率ec a 0 ,1 a,b, c 的关系c2a2b2 常用结论与微点提示22ba,称为通径 . 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - -

3、- ec aa 2b 21b a22. a3. 应用“ 点差法” 时,要检验直线与圆锥曲线是否相交 . 诊 断 自 测1. 摸索辨析 在括号内打“ ” 或“ ” 1 平面内与两个定点 F1, F2 的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 . 2 椭圆的离心率 e 越大,椭圆就越圆 . 3 方程 mx 2ny 21 m0,n0,m n 表示的曲线是椭圆 . 2 2 2 24xa 2yb 21 ab0 与y a 2xb 21 ab0的焦距相同 . 解析 1 由椭圆的定义知,当该常数大于 | F1F2| 时,其轨迹才是椭圆,而常数等于 | F1F2| 时,其轨迹为线段 F1F2,常数小于 | F1F2|

4、 时,不存在这样的图形 . 2 由于 ec aa 2ba 21ba 2,所以 e 越大,就b a越小,椭圆就越扁 . 答案 1 2 3 4 2 22.2022 浙江卷 椭圆x 9y 41 的离心率是 13 5 2 5A. B. C. D.3 3 3 9解析 由已知, a3,b 2,就 c945,所以 ec a3 . 5答案 B 2 23.2022 张家口调研 椭圆x 16 y 251 的焦点坐标为 A. 3, 0 B.0 , 3C. 9, 0 D.0 , 9解析 依据椭圆方程可得焦点在 y 轴上, 且 c 2a 2b 225 169, c3,故焦点坐标为0 , 3 ,应选 B. 答案 B C的

5、右焦点为 F1 ,0 ,离心率等于1 2,就椭圆 C的方程是 2 2 2 2A.x 3y 41 B.x 4 y 3 1 2 2 2 2C.x 4y 21 D.x 4y 31 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解析由题意知 c1,ec a1 2,所以 a2,b2a2c2 22C的方程为x 4 y 31. 答案 D 2 2 5. 选修 11P42A6改编 已知点 P 是椭圆x 5y 41 上 y 轴右侧的一点, 且以点 P 及焦点 F1,F2 为顶点的三角形的面积等于1,就点 P的坐标为 _. 解析 设 P x,y

6、 ,由题意知 c 2a 2b 2541,所以 c 1,就 F1 1,0 ,F21 ,0 ,由题意可得点 P到 x 轴的距离为 1,所以 y 1,把2 2y 1 代入 x5y4 1,得 x2,又 x0,所以 15x2, P 点坐标为 152,1 或 15152, 1 . 答案 2,1 或 152, 1 15考点一 椭圆的定义及其应用【例 1】 1 选修 11P42A7 改编 如图,圆 O的半径为定长 r , A 是圆 O内一个定点, P是圆上任意一点,线段 AP的垂直平分线 l 和半径 OP相交于点 Q,当点 P 在圆上运动时,点Q的轨迹是 A.椭圆C.抛物线2 2 椭圆x 25 y 2 1 上

7、一点 P 到一个焦点的距离为2,就点 P 到另一个焦点的距离为 A.5 B.6 C.7 解析1 连接 QA. 由已知得 | QA| | QP|. 所以 | QO| | QA| | QO| | QP| | OP| r . 又由于点 A 在圆内,所以 | OA| | OP| ,依据椭圆的定义,点 Q 的轨迹是以 O,A 为焦点, r为长轴长的椭圆 . 2 由椭圆定义知点 P 到另一个焦点的距离是 1028. 答案 1A 2D 规律方法 1. 椭圆定义的应用主要有：判定平面内动点的轨迹是否为椭圆、求椭圆的标准方3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - -

8、- - - - - - - 程和离心率等 . 2a | F1F2|. 【训练 1】 1 设定点 F10 , 3 ,F20 , 3 ,动点 P 满意条件 | PF1| | PF2| a9 aa0 ,就点 P 的轨迹是 A.椭圆C.不存在2 与圆 C1： x32y21 外切,且与圆C2： x32y281 内切的动圆圆心P 的轨迹方程为 _. 9 9解析 1 aa2 aa6,9当且仅当 aa,即 a3 时取等号,当 a 3 时, | PF1| | PF2| 6| F1F2| ,点 P 的轨迹是线段 F1F2；当 a0,且 a 3 时, | PF1| | PF2|6 | F1F2| ,点 P 的轨迹是

9、椭圆 . 2 设动圆的半径为 r ,圆心为 P x,y ,就有 | PC1| r 1,| PC2| 9r . 所以 | PC1| | PC2| 10| C1C2| ,即 P 在以 C1 3, 0 ,C23 ,0 为焦点,长轴长为 10 的椭圆上,2 2得点 P 的轨迹方程为 25 y 161. 2 2答案 1D 2x 25 y 16 1 考点二 椭圆的标准方程3 5【例 2】 1 已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点2,2, 3, 5 ,就椭圆的标准方程为 _. 2 22 一题多解 过点 3,5 ,且与椭圆 25 x 9 1 有相同焦点的椭圆标准方程为_. 解析1 设椭圆方程为m

10、x 2ny 21 m,n0, m n. 32 m52 n1,由223m5n1,4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 m1 6,n 1 10. 2 2椭圆的标准方程为 10x 61. 2 22 法一 椭圆y 25x 91 的焦点为 0 , 4 ,0 ,4 ,即 c4. 由椭圆的定义知,2a3025 42302542,解得 a 2 5. 由 c 2a 2b 2 可得 b 24. 2 2所以所求椭圆的标准方程为 20x 41. 2 2y x法二 设所求椭圆方程为 25 k9k 1 kb0. 过点 F21 ,0 且垂

11、直于 x 轴的直线被曲线C截得弦长 | AB| 3,点 A 1,3 2必在椭圆上,1 a 2921. 4b又由 c 1,得 1 b 2a2. 由联立,得b 23,a24. 故所求椭圆2 2C的方程为x 4y 31. 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 法一当椭圆的焦点在x 轴上时,设所求椭圆的方程为2 2xa 2y b 2 1 ab0. 椭圆经过两点2 ,0 ,0 ,1 ,2 2ya 2x b 21 ab0. 4 a 20 b 21,解得a2,0 2a1 2 1,bb1.所求椭圆的标准方程为2 x 4y21；

12、当椭圆的焦点在y 轴上时,设所求椭圆的方程为椭圆经过两点2 ,0 ,0 ,1 ,0 a 24 b 21,解得a1,1 2a0 2 1,bb2,与 ab 冲突,故舍去 . 2x综上可知,所求椭圆的标准方程为 4 y 2 1. 法二 设椭圆方程为 mx 2 ny 21 m0,n0, m n. 椭圆过 2 ,0 和 0 ,1 两点,4m1,解得 m1 4,n1,n1.2x综上可知,所求椭圆的标准方程为 4 y 2 1. 2 2 2答案 1x 4y 3 1 2x 4y 21 考点三 焦点三角形问题2 2【例 3】 1 已知椭圆x 4 y 2 1 的两个焦点是 F1,F2,点 P 在该椭圆上,假设 |

13、PF1| | PF2|2,就 PF1F2 的面积是 A. 2 B.2 2 D. 3 2 22 已知 F1, F2 是椭圆 C：x a 2yb 21 ab0 的两个焦点, P 为椭圆 C上的一点,且F1PF260 , S PF1F23 3,就 b_. 解析 1 由椭圆的方程可知 a 2,c2,且 | PF1| | PF2| 2a4,又 | PF1| | PF2| 2,所以 | PF1| 3,| PF2| 1. 又| F1F2| 2c2 2,所以有 | PF1| 2| PF2| 2| F1F2| 2,即 PF1F2 为直角三角形,且PF2F1 为直角,6 名师归纳总结 - - - - - - -第

14、 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 S PF1F21 2| F1F2| PF2| 1 2 22 12. 2 由题意得 | PF1| | PF2| 2a,又 F1PF260 ,所以 | PF1|2 | PF2|22| PF1| PF2|cos 60 | F1F2|2,所以 | PF1| | PF2|2 3| PF1| PF2| 4c2,所以 3| PF1| PF2| 4a24c24b 2,所以 | PF1| PF2| 4 3b 2,所以 S PF1F21 2| PF1| PF2|sin 60 1 24 3b23 23 3b 233,所以 b3. 答案1A

15、 23 P与两焦点 F1,F2构成的三角形称为焦点三角形,解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理等学问 . 2a 2c. 【训练2 23】 已知椭圆x 49 y 241 上一点P 与椭圆两焦点F1, F2 的连线夹角为直角,就| PF1| | PF2| _. 解析依题意 a7,b 26,c49245,| F1F2| 2c 10,由于 PF1PF2,所以由勾股定理得 | PF1| 2 | PF2| 2 | F1F2| 2,即| PF1| 2| PF2| 2100. 又由椭圆定义知 | PF1| | PF2| 2a14,| PF1| | PF2| 22| PF1| |PF2| 10

16、0,即 196 2| PF1| | PF2| 100. 解得 | PF1| |PF2| 48. 答案 48 基础稳固题组 建议用时： 40 分钟 一、挑选题7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 2x my 41 的焦距为 2,就 m的值等于 A.5 B.3 C.5 或 3 解析 由题意知椭圆焦距为 2,即 c1,又满意关系式 a 2b 2c 21,故当 a 24 时, mb 23；当 b 2 4 时, ma 25. 答案 C F1,F2为定点, | F1F2| 6,动点 M满意 | MF1| | MF 2| 6

17、,就动点 M的轨迹是 A.椭圆 C.圆解析| MF1| | MF2| 6| F1F2| ,动点 M的轨迹是线段 . 答案 D 2 2F1,F2是椭圆x 25y 91 的焦点, P为椭圆上一点,就PF1F2的周长为 A.16 B.18 C.20 解析 PF1F2 的周长为 | PF1| | PF2| | F1F2| 2a2c. 由于 2a10,c2594,所以周长为 10818. 答案B 2 2m2 y 6m1 表示椭圆” 的 4. “ 2m0,就有6m0,2m6 且 m 4.m2 6 m,故“ 2m| AB| 6,动点 M的轨迹是椭圆,且焦点分别是b 2a2c21697. A 3,0 ,B3

18、,0 ,且 2a8,a4,c3,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所求动圆圆心2 2M的轨迹方程是x 16y 71. 10. 已知椭圆的中心在原点,两焦点F1,F2在 x 轴上,且过点A 4,3. 假设 F1AF2A,求椭圆的标准方程. 2解设所求椭圆的标准方程为2x 2ya b21 ab0. 设焦点 F1 c,0 ,F2 c,0 c0. F1AF2A, F1AF2A0,而F1A 4c,3 ,F2A 4 c,3 , 4c 4c 3 20, c 225,即 c5. F1 5,0 ,F25 ,0. 2a| AF1|

19、 | AF2| 452 3 2 4523 210904 10. a2 10, b 2a 2c 22 10 25 215. 2 2所求椭圆的标准方程为 40 y 15 1. 才能提升题组 建议用时： 20 分钟 2 2F1,F2分别是椭圆 E：x a 2y b 21 ab0 的左、右焦点,点 1,2 2在椭圆上,且点 1, 04 5到直线 PF2 的距离为 5,其中点 P 1, 4 ,就椭圆的标准方程为 2 2A.x 2y 41 B.x 4y 21 2 2C.x 2y 21 D.x 2y 21 4 4解析 设 F2的坐标为 c,0 c0 ,就 kPF2c1,故直线 PF2的方程为 yc1 xc

20、,即4 4c4 4cc1c 1 4c1xyc1 0,点 1,0 到直线 PF2的距离 d4 24 2c11 c114 5 4 25,即 c14,10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解得 c 1 或 c 3 舍去 ,所以 a 2b 21. 1又点 1,2 2在椭圆 E上,所以1 2a2 21, b由可得a 2 2,所以椭圆的标准方程为2 x 2y 21. b 2 1,答案D 2 29y 21 的焦点为 F1,F2,点 P在椭圆上,假设 x| PF1| 4,就 F1PF2 的大小为 _. 解析 由题意得 a3,c

21、7. 由于 | PF1| 4,| PF1| | PF2| 2a 6,所以 | PF2 F1PF2| PF1| 2| PF2| 2| F1F2| 4 22 2 2 71 2 22| PF1| PF2|2 4 22,所以 F1PF2120 .答案 1202 213.2022 石家庄月考 已知点 M 6,2 在椭圆 C：x a 2yb 21 ab 0 上,且椭圆的离6心率为 3 . 1 求椭圆 C的方程；2 假设斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C交于 A,B两点,以 AB为底边作等腰三角形, 顶点为 P 3,2 ,求 PAB的面积 . 6 a 22 b 21,解得a212,解1 由已知得c a6 3

22、,b24.a2b2c2,2 2故椭圆 C的方程为x 12y 41. 2 设直线 l 的方程为 yxm, A x1,y1,B x2, y2 ,AB的中点为 D x0,y0. yx m,由 2 2消去 y,整理得 4x 26mx3m 212 0,12y 41,由 36m 2163 m 2 120,得 m 216,x1x2 3 1就 x024m,y0x0m4m,3 1即 D 4m,4m. 11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 由于 AB是等腰三角形PAB的底边,所以PDAB,即 PD的斜率 k2m 43m 1,34解得 m 2,满意 m 2x1x2 3,x1x2 0,就| AB| 2| x1x2| 2x1x224x1x232,又点 P 到直线 l ：xy 20 的距离为 d3,2所以 PAB的面积为 S1 2| AB| d9 2. 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页