2022年最新2019版高考数学大一轮复习-第九章第7节-抛物线教案-理-新人教B版 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第 7 节 抛物线,明白抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；标准方程及简洁几何性质 . 2. 把握抛物线的定义、几何图形、知 识 梳 理1. 抛物线的定义 1 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l F.l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 . 定点 F 叫做抛物线的焦点,定直线 l 叫做抛物线的准线 . 2 其数学表达式： M| MF| d d 为点 M到准线 l 的距离 . 2. 抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y 22px p0 y2x22py p0 x 22px p0 2pyp0 性顶点Fp 2,0p 的几何意义：焦点F 到

2、准线 l 的距离F 0,p 2O0 ,0 对称轴y0 x0 焦点F p 2,0F 0,p 2离心率e1 质准线xp 2xp 2yp 2yp 2方程范畴x0, yRx0, yRy0, xRy0, xR开口 向右 向左 向上 向下 方向 常用结论与微点提示 1. 通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于 2p,通径是过焦点最短的弦 . 2. 抛物线 y 22px p0 上一点 P x0,y0 到焦点 F 2,0 的距离 | PF| x0p 2,也称为抛物线1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 的焦半径 . 诊 断 自 测1.

3、 摸索辨析 在括号内打“ ” 或“ ” 1 平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹肯定是抛物线 . a2 方程 yax 2 a 0 表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 4,0 ,准线方程是 xa 4. 3 抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形 . 24 AB为抛物线 y 22px p0 的过焦点 F 2, 0 的弦,假设 A x1,y1 ,B x2,y2 ,就 x1x2p 4,y1y2 p 2,弦长 | AB| x1x2p. 解析 1 当定点在定直线上时,轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一条直线, 而非抛物线 . 2 方程 yax 2 a 0 可

4、化为 x 21ay,是焦点在 y 轴上的抛物线,且其焦点坐标是 0,4a,11准线方程是 y4a. 3 抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形 . 答案 1 2 3 4 2. 以 x 1 为准线的抛物线的标准方程为 A.y 22x B. y 2 2x C. y 2 4x D.y 2 4x解析 由准线 x1 知,抛物线方程为：y 2 2px p0 且p 21, p2,抛物线的方程为 y 2 4x. 答案 D 3. 2022 黄冈联考 已知方程 y 2 4x 表示抛物线, 且该抛物线的焦点到直线 xm的距离为4,就 m的值为 A.5 B. 3 或 5 C. 2 或 6 D.6 解析 抛物线 y 2 4

5、x 的焦点为 F1 ,0 ,它与直线 xm的距离为 d| m1| 4,m 3或 5,应选 B. 答案 B 4. 教材练习改编 已知抛物线的顶点是原点,对称轴为坐标轴,并且经过点 P 2, 4 ,2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就该抛物线的标准方程为 _. 解析很明显点 P 在第三象限,所以抛物线的焦点可能在x 轴负半轴上或y 轴负半轴上 . 当焦点在 x 轴负半轴上时,设方程为 4 2 2p 2 ,y 2 2px p0 ,把点 P 2, 4 的坐标代入得 解得 p 4,此时抛物线的标准方程为y2 8x；当焦点

6、在 y 轴负半轴上时,设方程为x 2 2py p0 ,把点 P 2, 4 的坐标代入得 12 2 2p 4 ,解得 p2,此时抛物线的标准方程为 x 2 y. 综上可知,抛物线的标准方程为 y 2 8x 或 x 2 y. 答案 y 2 8x 或 x 2 y5. 已知抛物线方程为 y 28x,假设过点 Q 2,0 的直线 l 与抛物线有公共点,就直线 l 的斜率的取值范畴是 _. 解析 设直线 l 的方程为 ykx2 ,代入抛物线方程,消去 y 整理得 k 2x 2 4 k 28 x4k 20,当 k0 时,明显满意题意；当 k 0 时, 4 k 28 24k 2 4k 2641 k 2 0,解

7、得 1 k0 或 0k1,因此 k 的取值范畴是 1,1. 答案 1,1 考点一 抛物线的定义及应用【例 1】 1 已知 F 是抛物线 y 2x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点,| AF| | BF| 3,就线段 AB的中点 D到 y 轴的距离为 3 5 7A. 4 B.1 C. 4 D. 42 假设抛物线 y 22x 的焦点是 F,点 P 是抛物线上的动点,又有点 A3 ,2 ,就| PA| | PF|取最小值时点 P 的坐标为 _. 解析 1 由于抛物线 y 2 x 的准线方程为 x1 4. 如下图, 过点 A,B,D分别作直线x1 4的垂线, 垂足分别为G,E,M,由于 | AF|

8、 | BF| 3,依据抛物线的定义,| AG| | AF| ,| BE| 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - | BF| ,所以 | AG| | BE| 3,所以 | MD| | BE| | AG| 23 1 5为 244. 2 将 x3 代入抛物线方程y 22x,得 y6. 62, A 在抛物线内部,如图 . 3 2,即线段 AB的中点 D到 y 轴的距离设抛物线上点P 到准线 l ：x1 2的距离为 d,由定义知 | PA| | PF| 2,代入 y 22x,得| PA| d,当 PAl 时, | PA| d 最

9、小,最小值为7 2,此时 P 点纵坐标为x2,点 P 的坐标为 2 ,2. 答案 1C 22 ,2 规律方法 应用抛物线定义的两个关键点1 由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化 . 2 留意敏捷运用抛物线上一点P x0,y0 到焦点 F 的距离 | PF| | x0| p 2或| PF| | y0| p 2. 【训练1】 1动圆过点 1 , 0 ,且与直线x 1 相切,就动圆的圆心的轨迹方程为_. 22022 全国卷 已知 F 是抛物线C：y28x 的焦点, M是 C 上一点, FM的延长线交y轴于点 N. 假设 M为 FN的中点,就 | FN| _. 解析 1 设动圆的圆

10、心坐标为 x,y ,就圆心到点 1 ,0 的距离与到直线 x 1 的距离相 等,依据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y 24x. 2 如图,不妨设点 M位于第一象限内,抛物线 C的准线交 x 轴于点 A,过点 M作准线的垂线,垂足为点B,交 y 轴于点 P, PM OF. 由题意知, F2 ,0 ,| FO| | AO| 2. 点 M为 FN的中点, PM OF,| MP| 1 2| FO| 1. 又| BP| | AO| 2,| MB| | MP| | BP| 3. 由抛物线的定义知 | MF| | MB| 3,故 | FN| 2| MF| 6. 答案 1 y 24x 26 考点二

11、抛物线的标准方程及其性质4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】 1已知双曲线2 2C1：x a 2y b 21 a0,b0C2：x 22py p0 的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,就抛物线C2的方程为 D,EA.x283 3y B.x2163y3C.x28y D.x 216y22022 全国卷 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C 于 A,B 两点,交 C的准线于两点 . 已知 | AB| 42,| DE| 25,就 C的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C 解析1 2 xa 22 yb 21 a0,b

12、0 的离心率为2,y2c a2,即 c a 2a2b 2 a24,b a3. x 22py p0 的焦点坐标为0,p 2,2 xa 22 yb 21 a0,b0 的渐近线方程为pb ax,即 y3x. 由题意得2322,解得 pC2的方程为 x216y. 12 不妨设抛物线C：y 22px p0 ,圆的方程为x 2y 2r2 r 0,| AB| 42,| DE| 25,抛物线的准线方程为xp 2,不妨设 A4 p,22 ,D p 2,5 ,点 A4 p,22 ,D p 2,5 在圆 x 2y 2r2上,2 16p 2 8p 45,解得 p 4 负值舍去 ,故 C的焦点到准线的距离为4. 答案1

13、D 2B ,其关键是判定焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数 p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程 . 2. 在解决与抛物线的性质有关的问题时,要留意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特殊是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此 . 【训练 2】 1 如图,过抛物线y 2 2px p0 的焦点 F 的直线交抛物线于点 A, B,交其准线 l 于点 C,假设 | BC| 2| BF| ,且 | AF| 3,就此抛5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 物线的方程为 _. 2

14、过抛物线 y 24x 的焦点 F 的直线交该抛物线于就 AOB的面积为 _. A,B 两点, O为坐标原点 . 假设 | AF| 3,1 解析 设 A, B 在准线上的射影分别为 A1,B1,由于 | BC| 2| BF| 2| BB1| ,就直线的斜率为 3,故| AC| 2| AA1| 6,从而 | BF| 1,| AB| 4,故p | AA1| CF| | AC|1 2,即 p3 2,从而抛物线的方程为y 23x. 2 如图,由题意知,抛物线的焦点F 的坐标为 1 ,0 ,又| AF| 3,由抛物线定义知,点 A到准线 x 1 的距离为 3,所以点 A 的横坐标为 2,将x2 代入 y

15、2 4x 得 y 2 8,由图知点 A 的纵坐标为 y2 2,所以 A2 ,2 2 ,所以直线 AF的方程为 y2 2 x1 ,y2 2 x1,联立直线与抛物线的方程y 2 4x,1解得 x2,或 x2,y2 2,由图知 B 12,2 ,y21 3 2所以 S AOB2 1 | yAyB| 2 . 3 2答案 1 y 23x 22考点三 直线与抛物线的位置关系 多维探究 命题角度 1 直线与抛物线的公共点 交点 问题【例 31】 2022 全国卷 在直角坐标系 xOy中,直线 l ：yt t 0 交 y 轴于点 M,交抛物线 C：y 22px p0 于点 P,M关于点 P 的对称点为| OH|

16、1 求 | ON|；N,连接 ON并延长交 C于点 H. 2 除 H以外,直线MH与 C是否有其它公共点？说明理由. 解1 如图,由已知得M0 ,t ,P2 t 2p,t ,又 N为 M关于点 P 的对称点,故N2 t p,t ,6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 故直线 ON的方程为 yp t x,将其代入 y 22px 整理得 px 2 2t 2x0,2 2解得 x10,x22tp,因此 H 2tp, 2t . | OH|所以 N为 OH的中点,即 | ON|2. 2 直线 MH与 C除 H以外没有其它公共点

17、,理由如下：直线 MH的方程为 yt p 2t x,即 x2tp yt . 代入 y 22px 得 y 24ty 4t 20,解得 y1y22t ,即直线 MH与 C只有一个公共点,所以除 H以外,直线 MH与 C没有其它公共点 . 命题角度 2 与抛物线弦长 中点 有关的问题1【例 3 2】 2022 北京卷 已知抛物线 C：y 2 2px 过点 P1 ,1 ,过点 0,2作直线 l 与抛物线 C交于不同的两点 M,N,过点 M作 x 轴的垂线分别与直线 OP,ON交于点 A,B,其中O为原点 . 1 求抛物线 C的方程,并求其焦点坐标和准线方程；2 求证： A 为线段 BM的中点 . 11

18、 解 把 P1 , 1 代入 y 22px,得 p2,所以抛物线 C的方程为 y 2x,1 1焦点坐标为 4,0 ,准线方程为 x4. 2 证明 当直线 MN斜率不存在或斜率为零时,明显与抛物线只有一个交点不满意题意,所以直线 MN 也就是直线 l 斜率存在且不为零 . 1由题意,设直线 l 的方程为 ykx2 k 0 ,l 与抛物线 C的交点为 M x1,y1 ,N x2,y2. 由 ykx1 2,消去 y 得 4k 2x 24 k4 x1 0. y 2x,考虑 4 k4 24 4 k 2161 2k ,1由题可知有两交点,所以判别式大于零,所以 k0 与 C交于点 P,PFx轴,就 k 1

19、A. 23C.2解析 由题可知抛物线的焦点坐标为 1 ,0 ,由 PFx 轴知, | PF| 2,所以 P 点的坐标为1 , 2 ,代入曲线 yk x k0 得 k2. 答案 D 3. 2022 张掖诊断 过抛物线 y 2 4x 的焦点的直线 l 交抛物线于 P x1,y1 ,Qx2,y2 两点,9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如 x1x26,就 | PQ| 解析抛物线 y 2 4x 的焦点为F1 ,0 ,准线方程为x,| PQ| | PF| | QF| x11x21x1x228. 答案 B 4. 2022

20、 铁岭质检 设抛物线 C：y 23x 的焦点为 F,点 A 为 C上一点,假设 | FA| 3,就直线 FA的倾斜角为 A. B.3 4C. 3或2 D. 4或3解析 如图,作 AHl 于 H,就| AH| | FA| 3,作 FEAH于 E,就| AE|33 23 2,在 Rt AEF中, cos EAF| AE| | AF|1 2, EAF3,即直线 FA的倾斜角为 3,同理点 A 在 x 轴下方时,直2线 FA的倾斜角为 3 . 答案 C 5. 2022 衡水调研 已知抛物线 y 24x,过点 P4 ,0 的直线与抛物线相交于 Ax1,y1 ,B x2,2y2 两点,就 y 1 y 2的

21、最小值为 x4,2 2解析 当直线的斜率不存在时,其方程为 x4,由 得 y1 4,y24, y 1y 2,y 24x,设其方程为yk x4 ,由y 2 4x,得 ky24y16k0,y1y24 k,y1y2 16,ykx4,y2 1y2 y1y222y1y216 k 2 3232,综上可知, y2 1y2 232. y2 1y2 2的最小值为32. 答案D 二、填空题6. 2022 广东省际名校联考 圆 x12y21 的圆心是抛物线y 2px p0 的焦点为 F,抛物线 C与直线 l 1：y x 的一个交点的横坐标为 8. 1 求抛物线 C的方程；11 名师归纳总结 - - - - - -

22、-第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 不过原点的直线l 2与 l 1 垂直,且与抛物线交于不同的两点A,B,假设线段AB的中点为P,且 | OP| | PB| ,求 FAB的面积 . 解 1 易知直线与抛物线的交点坐标为 8 , 8 , 8 22p 8, 2p8,抛物线方程为 y 28x. 2 直线 l 2 与 l 1垂直,故可设直线 交点为 M. l 2：xym,A x1,y1 ,B x2,y2 ,且直线 l 2与 x 轴的由y28x,得 y 28y8m0,xym, 6432m0, m2. y1y28,y1y2 8m,2 2x1x2y 64m 1y

23、 2 2. 由题意可知 OA OB,即 x1x2y1y2m 28m0,m8 或 m0 舍 ,直线 l 2：xy8,M8 ,0. 故 SFABSFMBSFMA1 2| FM| | y1y2| 4. 3y1y22 4y1y2245. 2 10. 2022 全国卷 设 A,B为曲线 C： yx 4上两点, A 与 B 的横坐标之和为1 求直线 AB的斜率；2 设 M为曲线 C上一点, C在 M处的切线与直线解 1 设 A x1,y1 , B x2,y2 ,2 2x 1 x 2就 x1 x2,y14,y24,x1x24. 于是直线 AB的斜率 ky1y2 x1x2x1x21. 22 由 yx 4,得

24、y x 2. AB平行,且 AMBM,求直线 AB的方程 . 设 M x3,y3 ,由题设知x3 21,解得 x32,于是 M2 , 1. 设直线 AB的方程为 yxm,故线段 AB的中点为 N2 ,2m ,| MN| | m1|. 2将 yxm代入 yx 4得 x 24x4m0. 当 16 m10 ,即 m1 时, x1,22 2 m 1. 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 从而 | AB| 2| x1x2| 42m 1. 由题设知 | AB| 2| MN| ,即 4 2m1 2 m1 ,解得 m 7.

25、所以直线 AB的方程为 xy7 0. 才能提升题组 建议用时： 20 分钟 211. 2022 南昌模拟 已知抛物线 C1：y1 2px 2 p0 的焦点与双曲线 C2：x 3y 21 的右焦点的连线交 C1于点 M M在第一象限 ,假设 C1 在点 M处的切线平行于 C2 的一条渐近线,就 p 3 3 2 3 4 3A. 16 B. 8 C. 3 D. 3解析 由抛物线 C1：y1 2px 2 p0得 x 22py p0 ,所以抛物线的焦点坐标为 0,p 2 . 2由x 3y 21 得 a3,b1,c2. 所以双曲线的右焦点为 2 ,0. 就抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为

26、y0px2 02. 即 px 4y 2p200. 2 设 M x0,x 2p x00 ,就 C1在点 M处的切线的斜率为 0x0 p. 由题意可知x0 p3 3,解得 x03 3p,所以 M3p,p 6,把 M点的坐标代入得3p22 3p 2p0. 3解得 p43 3 . 答案D 13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12. 已知抛物线方程为y2 4x,直线 l 的方程为 2xy40,在抛物线上有一动点A,点A到 y 轴的距离为 m,到直线 l 的距离为 n,就 m n 的最小值为 _. 解析 如图,过 A 作

27、 AHl ,AN垂直于抛物线的准线,就 | AH| | AN| m n1,连接 AF,就| AF| | AH| mn1,由平面几何学问,知当A,F,H三点共线时, | AF| | AH| mn1 取得最小值,最小值为F 到直线 l 的距离,即665 5,即 mn 的最小值为65 51. 5答案65 51 13. 已知抛物线y22px p0 的焦点为F,A x1, y1 ,B x2,y2 是过 F 的直线与抛物线的两个交点,求证：21 y1y2 p 2,x1x2p 4；1 12 | AF| BF|为定值；3 以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切 . p证明 1 由已知得抛物线焦点坐标为 2,0

28、. 由题意可设直线方程为 xmyp 2,代入 y 22px,得 y 22p myp 2,即 y 22pmyp 20.* 就 y1,y2 是方程 * 的两个实数根,所以 y1y2 p2. 2x1x2,2 由于 y 12px1,y2 2 222px2,所以 y 1y 24p2 2 4 2所以 x1x2y 4p 1y 2 p 4p 2p 4 . 21 | AF|1 | BF|1x1p 21x2p 2x1 x2 p 2 . x1x2p 2x1x2 p 414 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 由于 x1x2p 4,x1x2| AB| p,代入上式,得1 | AF|1 | BF| AB| 2 2p 4p 2| AB| p p 42 p 定值 . C,D,3 设 AB的中点为 M x0,y0 ,分别过 A,B 作准线的垂线,垂足为过 M作准线的垂线,垂足为N,就| MN| 1 2| AC| | BD| 2| AF| | BF| 1 2| AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 15 页