2022年最新知识点整理代数初三数学课件教案人教版 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 代数 学问点整理一 一 实数（有理数和无理数的统称）正整数 自然数 整数 零 有理数 负整数 实数 分数无理数 - 无限不循环小数叫做无理数 如,5 ,0.1010010001 有理数都可以写成 a（a、b 是整数,且 b 0）的形式 b无理数不能写成分数 a（a、b 是整数,且 b 0）的形式 b 同号两数相加,取原先的符号,并把肯定值相加 异号两数相加,取肯定值较大的加数的符号,把较大的肯定值 减去较小的肯定值 有理数的加减法 一个数与零相加,仍得这个数 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律： （a+b）+c=a+（b+c）减去一个数,等

2、于加上这个数的相反数 两数相乘（除） ,同号得正,异号得负,并把肯定值相乘（除）除以一个数等于乘以这个数的倒数 任何数与零相乘,都得零 有理数的乘除法 零除以任何一个不等于零的数,都得零 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律： （ab） c=a（bc）乘法安排律：a（b+c）=ab+ac 有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数,负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数 有理数的混合运算：先乘方、开方,再乘、除,后加、减；有括号时,要先算括号里面的；有效数字：从左边第一个不是零的数字起,到精确到的数位止,全部的数字都叫做这个数 的有效数字科学计数法： Nan 10 （1a10,n 为整数）例：3540

3、0003.546 10 ;-0.000128=-1.28104实数和数轴上的点是一一对应的；即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反 过来,数轴上的每一个点都表示一个实数 一个实数的肯定值就是表示这个实数的点离开原点的距离实数a= a a0 0 a=0 -a a0（-a 表示实数 a 的相反数）正数都大于零；负数都小于零；正数大于一切负数；两个正数,肯定值大的数较大；两个负数,肯定值大的数反而小 进行实数运算时,有理数的运算法就、运算律、运算性质以及运算次序等同样适用 二 整式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - -

4、整式单项式：数与字母的积或单独一个数或字母如： 2,3a 多项式：几个单项式的和如： a+b,3x-4y 同类项：所含的字母相同,且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项 合并同类项：合并同类项时,同类项的系数相加的结果作为合并后的系数,字母和字母的指数不变去括号括号前面是“+” 号,去掉“+” 号和括号,括号里面不变号abnn na b括号前面是“-” 号,去掉“-” 号和括号,括号里面都变号添括号所添括号前面是“+” 号,括到括号里的各项都不变号所添括号前面是“-” 号,括到括号里的各项都变号同底数幂相乘,底数不变,指数相加amanam n同底数幂相除,底数不变,指数相减amanam n幂

5、的运算任何不等于零的数的零次幂都等于1 a01 a0幂的乘方,底数不变,指数相乘amnamn积的乘方,等于把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘负指数幂：an1 a 0 例： 32119;1112an2 391392单项式相乘时,把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式,对于在 一个单项式里含有的字母,就连同它的指数作为积的一个因式 单项式的运算 单项式相除时,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除 式里含有的字母,就连同它的指数作为商的一个因式 单项式与多项式相乘,是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得单项式与多项式的运算的积相加m（a+b+c）=ma+mb+mc 再

6、多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,把所得的商相加 多项式的乘法：多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,x+ax+b=x2ab xab乘法公式平方差公式： （ a+b）（a-b）=a 2-b 2完全平方公式： （a+b）2=a 2+2ab+b 2；（a-b） 2=a 2-2ab+b 2 其中：（a+b）2+（a-b）2=2a 2+2b 2；（ a+b）2 -（a-b 2） =4ab 三 因式分解（把多项式化成几个整式的积的形式）提公因式法：提取的的公因式是各项系数的最大公约数（系数都是整数数时）与各项都含有的相同字母的最低次幂的积运用公式法：平

7、方差公式：a 2-b 2=（ a+b）（a-b）2； a 2-2ab+b 2=（a-b）2第 2 页,共 11 页完全平方公式：a 2+2ab+b2=（a+b）名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 十字相乘法：x2+（a+b）x+ab= （x+a）（ x+b）分组分解法：利用分组来分解因式（一般对于四项而言,一项三项分或二项二项分,分组须 合理）公式法：把二次三项式ax2+bx+c 因式分解时,可以先用求根公式求出二次方程ax2+bx+c=0的两个根x 1、x2,然后写成ax2+bx+c=a （x-x 1）（ x-x 2）四 分式意义：一般地

8、,两个整式A、B 相除时,可以表示为A的形式；假如分母B 中含有字母,那么BA B（ B 0）叫做分式分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变 假如分式的分子和分母都是单项式,约分时约去它们系数的最大公约数,相同因式的 约分最低次幂 假如分式的分子和分母是多项式,先分解因式,再约分 约分时,一般要约到最简分式或整式 通分：通分先要确定几个分式的最简公分母；假如各分母的系数都是整数,通常可取全部分母 系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作最简公分母 同分母分式相加减,把分子相加减,分母不变 异分母分式相加减,先通分,然后根据同分母分式加减的法就进行运

9、算 分式的运算 分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母 分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘 分式的乘方,把分子、分母分别乘方五 数的开方平方根正数的两个平方根互为相反数（正数a 的两个平方根记为a ）零的平方根是零负数没有平方根平方根的大小：假如 a、b 是正数,且 ab,就 a b 平方根的规律：被开方数扩大 100 倍,它的平方根扩大 10 倍 1 1 被开方数缩小为原先的,它的平方根缩小为原先的 100 10 被开方数的小数点向右（向左）移动两位,它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位 立方根：任何一个数都有立方根,而且只有一个立方根 求一个负

10、数的立方根,只要先求出这个负数肯定值的立方根,然后取它的相反数奇次方根：一个数 a 的奇次方根只有一个；正数的奇次方根是一个正数；负数的 奇次方根是一个负数；零的奇次方根是零名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - n 次方根当n 是奇数, a 的 n 次方根可以用符号“n a ” 表示偶次方根：a正数的偶次方根有两个,它们互为相反数当 n 是偶数时,正数a 的 n 次方根表示为n a （当 n=2 时,根指数2 略去不写）ma0n1am a0（其中 m、n 为正整数, n 1）分数指数幂：namnnm a六二次根式分母有

11、理化：把分母中的根号化去（乘以分母的有理化因式或因式分解约分化简）最简二次根式 被开方数的因数是整数,因式是整式 被开方数中,不含能开得尽方的因数或因式 留意 ：（1）二次根式的化简,就是把二次根式化为最简二次根式；在化简时,往往要把被开方 数分解因数或分解因式 2当一个式子的分母中含有二次根式时,应把它分母有理化 二次根式的运算 二次根式相加减,先把各个二次根式化为最简二次根式,再合并同类二次 根式（不是同类的二次根式不能合并）实数的运算法就都适用于二次根式的运算 几个二次根式的和相乘时,可用乘法公式运算七 一次方程关于 x 的方程axb：1 当a0时,有唯独解：xba例：当m2 当a0 b

12、0时,无解2 n3 当a0 b0时,有很多解3,方程m2 x3n有很多解；一元一次方程的解法和依据：去分母 等式性质二 去括号 安排律 移项 等式性质一 合并同类项,化成 ax=b（a 0）的形式 安排律 系数化成 1,得 x=b 等式性质二 a一元一次方程的应用 解题步骤：审题设元列方程解方程写答案顺水速度 =静水速度 +水速某些等量关系逆水速度=静水速度 -水速第 4 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 工作总量 =工作时间 工作效率二元一次方程的解：任何一个二元一次方程都有很多个解二元一次方程组的解法：代入法加减法八

13、二次方程（一）一元二次方程：ax2+bx+c=0 （a 0）x2=c解法因式分解法： （x+a）（x+b）=0, x1=- a, x2= - b开平方法：解形如 ax 2+c=0（a 0）一元二次方程,就ac当 a、c 异号时,方程有两个实数根x=a当 a、c 同号时,方程无实数根当 c=0,方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=0（重根）配方法：先把方程的一边配成一个含有一个未知数的完全平方的形式,右边是一个常数,然后用开平方法来解公式法： x=bb24ac（a 0, b 2-4ac0）bx1 x2=c a2 a根的判别式：= b2-4ac 假如方程有两个不相等的实数根b 2-4ac0 假

14、如方程有两个相等的实数根b 2-4ac=0 假如方程没有实数根b2-4ac0 留意：方程有两个实数根b 2-4ac0, 根与系数的关系：如方程ax2+bx+c=0 （a 0）两根为 x 1、x 2 就 x1+x 2=a（二）分式方程（要检验）解法在分式方程的两边同乘以各分母的最简公分母,把原方程中分母约去,转化成整式方程 解这个整式方程 把整式方程的根代入方程两边同乘的整式（最简公分母）中,看所得的值是不是 零,使所乘整式的值为零的根是增根,必需舍去 解分式方程组的方法：换元法（三）无理方程（要检验） 解法：把无理方程两边同时平方,转化为有理方程 留意：检验时,如左右两边不相等,是增根,必需舍

15、去；如被开放数是负数,也是增根,必需舍去（四）二元二次方程（组）形式： ax2+bxy+2 cy +dx+ey+f=0 （a、b、c、d、e、f 都是常数,且a、b、c 不同时为零）第 5 页,共 11 页二元二次方程组的解法：代入法名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 因式分解法（五）黄金分割定义：把一条线段分为不相等的两部分,使较长部分是原线段和较短部分的比例中项=51黄金分割数：较短的线段的长较长的线段的长=较长的线段的长全线段的长2这个比值是一个无理数,近似值是0.618 九 一元一次不等式（组）不等式的性质不等式的两边都加上（或都减

16、去）同一个数,不等号的方向不变不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数,不等号的方向不变不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数,不等号的方向要转变 不等式的解集在数轴上的表示：小圆圈“ ” 表示不包括小黑点“ ” 表示包括 一元一次不等式组的解法：先求出不等式组里每一个不等式的解集再求出各个不等式的解集的公共部分（画数轴）,就可得到不等组的解集十比例 定义：表示两个比相等的式子 性质：两个外项的积等于两个内项的积 a：b=c：d ac=bd 比例中项：假如 ab=bc,就 b 叫做 a、 c 的比例中线,这时 b 2=ac 十一 函数（一）函数 意义： 一般地, 设在某个变化过程中有两个变量

17、 x 与 y,假如对于 x 在某个答应取值范畴内的每一个确定值, 根据某一个对应法就,y 都有唯独确定的值与它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数 函数关系式： y=f （x）f 是对应法就 函数定义域：当函数的解析式是整式时,函数的定义域为一切实数当函数的解析式是分式时,函数的定义域为使分母不为零的实数当函数的解析式是偶次根式时,函数的定义域为使被开方数0 的实数当函数的解析式是奇次根式时,函数的定义域为一切实数点Px,y关于 x 轴的对称点是P x 1 ,y ,关于 y 轴的对称点是2P 2x y ；两点A关于原点的对称点是P 3x ,y 2x1,y 1,Bx2,y2的距离：

18、ABx 1x 22y 1y在 x 轴上两点：ABx 1x2在 y 轴上两点：ABy 1y2（二）正比例函数（一次函数的特别情形）解析式： y=kx （k 0）第 6 页,共 11 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图象：正比例函数的图象是经过原点（0, 0）和点（ 1, k）的一条直线 性质：当 k0,图象（除原点外）在第一、三象限内,y 随 x 的增大而增大当 k0,图象（除原点外）在其次、四象限内,（三）反比例函数解析式： y=k x（k 0）图象：双曲线,有两个分支y 随 x 的增大而减小性质：当 k0 时,函数图象的两个分支分别

19、在第一、三象内,在每个象限内,自变量 x 逐步增大时, y 的值就随着逐步减小当 k0 时,函数图象的两个分支分别在其次、四象内,在每个象限内,自变量 x 逐步增大时, y 的值就随着逐步增大函数图象的两个分支都无限接近x 轴和 y 轴,但不会与x 轴和 y 轴相交正比例函数反比例函数解析式ykxk0ykk0图象过原点的直线双曲线x性k位置第 一 、k位置第一、三三象限象限增减性y 随 x 增增减性y 随 x 增质大 而 增大 而 减大；小；k位置第 二 、k位置其次、四四象限象限增减性y 随 x 增增减性y 随 x 增大 而 减大 而 增小；大；（四）一次函数解析式 y=kx+b （k 0,

20、k、b 是常数）；当 b=0 时,一次函数y=kx+b 成为正比例函数y=kx 定义域：一切实数图象：经过（ 0,b）且平行于直线y=kx 的一条直线两直线的位置关系：l1： y=k1x+b 1,l 2：y=k 2x+b2,如 k 1=k 2, b1 b2,就 l 1 l2；如 l 1 l 2,就 k1=k 2,b1 b2 相交时, k 1 k 2,此时交点坐标通过解 k1x+b1 方程组得到y=k 2x+b 2 截距：直线 y=kx+b 与 y 轴交于（ 0,b）,b 叫做直线 y=kx+b 在 y 轴上的截距 一次函数 y=kx+b 与 x 轴的交点的横坐标是方程 kx+b=0 （k 0）

21、的根性质当 k0 时, y 随 x 的增大而增大当当 k0 时, y 随 x 的增大而减小b0 时,经过第一、二、三象限当 b=0 时, 经过第一、三象限 当 b 0 时,经过第一、三、四象限 当 b0 时,经过第一、二、四象限名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 b=0 时, 经过其次、四象限 当 b 0 时,经过其次、三、四象限（五）：二次函数 形式：一般式：y=ax 2+bx+c （a 0）两根式： y=a（x-x 1）（x-x2）（a 0）顶点式： y=a（x+m ）2+k（ a 0）定义域：一切实数 图象

22、：抛物线 性质：二次函数 y=ax 2+bx+c （a 0）和一元二次方程当方程 ax2+bx+c=0 的 0 时,二次函数 y=axax 2+bx+c=0 的关系：2+bx+c（a 0）与 x 轴有 2 个交点当方程 ax 2+bx+c=0 的 =0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c （a 0）与 x 轴有 1 个交点当方程 ax 2+bx+c=0 的 0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c（a 0）与 x 轴无交点二次函数 y=ax 2+bx+c （a 0）与 x 轴的交点：交点的横坐标 x 的值就是一元二次方程 ax 2+bx+c=0 （a 0）的根二次函数 y=ax 2+bx+c

23、（a 0）中 a、b、 c 的符号判别：1 ）a 的符号判别由开口方向确定：当开口向上时,a0；当开口向下时,a0 （2）b 的符号判别由对称轴来确定：对称轴在y 轴的左侧时, a、b 同号；对称轴在 y 轴的右侧时, a、b 异号名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对称轴是 y 轴, b=0 （3）c 的符号判别由抛物线与 Y 轴的交点确定：与 Y 轴的交点在正半轴时,c 0 ；与 Y轴的交点在负半轴时,c 0 ；Y轴交与原点） ,c =0 ；抛物线过原点时（与 顶点在特别位置：顶点在 x 轴, =0 顶点在 y

24、轴, b=0 顶点在原点, b=0 且 c=0 十二 统计初步 收集数据的方法：普查；抽样调查；（一般采纳“ 随机抽样”,由于随机样本比较具有代表性,可以用来估量总体；）（一）表示数据平均水平的量：平均数： 1xx 1x 2x3x n；x 2x2a, xnxnan2 估量一个常数a ；就x 1x1a,而xax 1x2x3x n；2f次,n1f次,加权平均数：如在n个数中,x 显现了x 显现了就xx 1f1x2f2x3f3fnxnfn；f1f2f3中位数： 1 把 n 个数据从小到大排列；2 当 n 是奇数时,中位数就是第n21个数；s2当 n 是偶数时,中位数就是第n 个数与第 2 n 21个

25、数的平均数；平均数和方差的规律：已知一组数据：x1,x2,x3, , xn, 它们的平均数为x ,方差为2 s ,那么1 一组新数据： x1+a,x 2+a,x 3+a, , xn+a,它们的平均数为x +a,方差仍为2 ）一组新数据：ax1,ax2,ax 3, , axn,它们的平均数为a x ,方差为a2s2平均数和中位数的区分：平均数和中位数都是一组数据平均水平的代表量,在一般情形下最常用的是平均数,在一组数据中有极端值时,可以用中位数（二）表示数据离散程度的量：方差：s21x 1x2x2x2xx 3x2x2xnxx22n标准差：s1 nx 1x2x22x 3nx（三）频数分布直方图与频

26、率分布直方图频数分布直方图：每一个小长方形的高=组频数；每一个小长方形的宽=组距第 9 页,共 11 页全部小长方形的高的和=数据总数；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 频率分布直方图：每一个小长方形的面积全部小长方形的面积和=组频率；每一个小长方形的宽=组距=1；小长方形的高由频率打算组距十三 锐角的三角比 锐角的三角比的意义正切：直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个角的正切记作tanA, 此时,tanAab余切：直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个角的余切记作cotA, 此时,cotAba正弦：直角三角形中一个锐角的对

27、边与斜边的比叫做这个角的正弦记作sinA, 此时,sinAac余弦：直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个角的余弦记作cosA, 此时,cosAbc一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比注：（1）设 A 为锐角,那么它的三角比tanA 、cotA 、sinA 、 cosA 的值都是正实数,其中 tanA0 、cotA0 、0sinA1 、0cosA1 A斜边 cB（2）在RtABC中, C=900 ,由锐角三角比的意义对边 a可直接得到 sinAcosB,cosAsinB,tanAcotB , cotAtanB ,tanA1A邻边 bCcot 特别锐角三角比的值tanco

28、tsincos30133321 2345221 22603133223 解直角三角形定义：由直角三角形的已知角求已知边角求出未知的边和角的过程,叫做解直角三角形常用的关系和公式：在 RtABC中,C90,A、B、C的对边为 a、b、cb（1）三边的关系：a222 c ；（2）锐角之间的关系：AB90（3）边角之间的关系：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - sinAa, cosAb, tanAa, cotAb等ccba十四、数的整除整除：整数a 除以 b,假如除得的商是整数而余数为零,我们就说a 能被 b 整除；或者

29、说 b 能整除 a 因数和倍数：整数 a 能被整数 b 整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的因数（也称为约数）能被 2、5 整除的数：个位上是 0,2,4, 6,8,的整数都能被 2 整除个位上是 0 或 5 的整数都能被 5 整除奇数： -7 ,-5 ,-3 ,-1 ,1,3,5,7偶数： -6 ,-4 ,-2 ,0,-2 ,4,6,素数（也叫质数） ：只有 1 和它本身两个因数的数；例如：2,3,5,7, 11,13 正整数 1 ：既不是素数也不是合数合数：除了1 和它本身以外仍有别的因数的数. 例如： 4,6, 8,9,10,12 素因数：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数 分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数 互素：假如两个整数只有公因数 1,那么称这两个数互素 公因数与最大公因数：几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数 公倍数与最小公倍数：几个整数公有的倍数叫做他们的公倍数,其中最小的一个叫做他们的最小公倍数名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 11 页