2022年浅谈伴随矩阵的若干计算 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 摘要相伴矩阵是高等代数中不行缺少的一部分内容,假如能深化的学习和探讨相伴矩 阵,那将充分的充实高等代数中矩阵的内容,就对高等代数的懂得、学习、应用起到良 好的作用；本文开头具体的阐述了相伴矩阵的定义与基本性质为下面探讨做预备,接着 进入相伴矩阵的运算,这是内容的重点和数学思想方法；相伴矩阵与原矩阵的关系,这 有利于培育数学思想,提高数学思维；相伴矩阵的证明与转化的应用这是对基础性质和 内容的稳固；通过对上面的探讨、进一步深化学习、推广、探究争论,从而丰富相伴矩阵的内容,把握相伴矩阵的运算方法及数学思想,充实学问与内容；关键词： 相伴矩阵原矩阵性

2、质运算I 增强辩证思维, 提高学习效率与才能,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - Abstract Adjoint matrix is an indispensable part of the higher mathematics. To study and explore further of adjoint matrix will not only enrich the knowledge of matrix, but also contribute to the study and understanding

3、of higher mathematics. This thesis will give an elaboration of the definition and properties of adjoint matrix at the beginning, and focus on the calculation of adjoint matrix in the following chapter, which is the emphasis of the thesis and the thought and method of mathematics. Also, the study of

4、the relationship between adjoint matrix and original matrix is helpful for the cultivation of thinking method on mathematics. The justification and transform of adjoint matrix consolidate the properties and content of adjoint matrix. the thesis try to enrich the adjoint matrix through further study

5、and exploration step by step, and make the readers understand and master the calculation of adjoint matrix and the thinking method of mathematics, and also influence their dialectical thinking, study effect and ability. Key words: adjoint matrix original matrix properties calculation II 名师归纳总结 - - -

6、 - - - -第 2 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 目录摘要 . IAbstract . II 目录 . III 第一章 引言 . 1 争论背景 . 1 文献综述 . 1 运算方法 . 2 勇于创新 勤于摸索 . 3 其次章 相伴矩阵的定义性质与运算、应用 . 4 定义与基础性质 . 4 在 A 矩阵中进行相伴矩阵定义 . 4 相伴矩阵的基本性质 . 5 相伴矩阵的运算 . . 7 定义式运算 . . 7 分情形求解法 . . 8 浅谈上下三角的求相伴矩阵的两种方法；. 11 分块对角可逆n阶矩阵求相伴矩阵 . . 13 2.3 关于相伴矩阵有关的一些特殊

7、等式关系. . 15 行列之和相等原矩阵与相伴矩阵对应关系 . . 15 行列之和相等原矩阵与相伴矩阵对应关系的一个应用 两行列对应元素相等的原矩阵与相伴矩阵对应关系. 17 . . 18 两行列对应元素等比的一个推论 . . 19 相伴矩阵的证明 . . 19 关于性质中的另一种证明. . 19 性质的证明 . . 20 性质的另一种证明 . . 20 相伴矩阵转化的应用 . . 20 知相伴矩阵求原矩阵与原矩阵的逆. . 20 知相伴矩阵求相关矩阵 . . 21 应用相伴求其它矩阵. . 22 第三章求相伴矩阵的探讨及推广. 23 两条线型矩阵求相伴矩阵. . 23 第一大类 . . 23

8、 其次大类 . . 26 对 n 阶箭型矩阵求相伴矩阵. . 28 第一种方法 . . 29 其次种方法 . . 31 三对角 n 阶矩阵求相伴矩阵. . 32 III 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.4 hessenberg型的 n 阶矩阵求相伴矩阵. . 37 终止语 . 40 致谢 . 41 参考文献 . 42 IV 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一章 引言第一章 引言相伴矩阵是高等代数中不行缺少的一部分,对其争论充分

9、的呈现了矩阵内容的全面性,对于相伴矩阵的运算方法,和一些有关于等式的证明,是本文所要研讨的内容；关 于相伴矩阵的应用,这也是常常会用到的,例如求逆矩阵的时候,往往会用到相伴矩阵 的学问等等；把握好相伴矩阵的基本性质,在这些基本性质上进行运算探讨、证明、应 用、推广是学好相伴矩阵所不能缺少的；相伴矩阵在高等代数中的作用是极其重要的,在关于相伴矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的运算证明中,在这时候就更需要这一方面的学问了；相伴矩阵的内容深化 不仅增加了矩阵的内容,也补充了矩阵运算的不足,在矩阵的证明与应用中的到广泛的 推广；从学习上来说,学习相伴矩阵不仅可以增加学习者的学问,在矩阵的争论中,通 过

10、进一步学习相伴矩阵,使得我的学问得到稳固和扩充；在数学思想来说,学习这一方 面的学问,可以使同学的数学思想得到有效的提高,通过这一次的数学探讨,同学是有 必要的；为了能更好的把握这一方面的学问,增强同学的数学思维,提高同学的学问能 力,取得更好的学习成效,现在来学习本次学问内容；经过三个多月的努力,我的论文基本完成,在这个过程中,我通过收集的方式参考 了很多书籍、文章、报刊和网上学习；通过这些资料,我深化的学习、探讨、争论和分 析；我总结出了,这些资料对于我这次的学习有很大的帮忙,通过这些资料可以更全面 的来探讨所学的内容,它对我这次完成我的论文起到不行缺少的作用；下面就是我所引 用的文献综述

11、：高等代数第五版给出了相伴矩阵的基本性质,关于可逆矩阵与相伴矩阵的转化1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 广东石油化工学院本科毕业论文：浅谈相伴矩阵的假设干运算关系,关于相伴矩阵与矩阵的逆它们的求法；在矩阵 外的其他方法呢？通过这些等式可以更好的求你矩阵；可缺少的内容,是我所写论文的基础；A 中求它的逆,是否在求逆方法之 这些基础性质是相伴矩阵探究不高等代数考研教案,北大三版,这本书主要是探讨相伴矩阵的一些简洁的计 算和一些特殊的证明,通过这些运算证明总结出运算方法和数学思想；高等代数北京高校第三版,基础内容,一

12、些困难的运算与证明,这主要是学习 一些比较困能的求法和证法,通过这次学习,使学问有更一步的提高,数学思维有明显 的进步；一种求相伴矩阵的方法莆田学院学报；这是关于求相伴矩阵的一种运算方法,具有概括性的方法；相伴矩阵的一个性质桂林市训练学院学报综合版,这是相伴矩阵的一种特 殊的情形,这种特殊的情形是有规律的,这种规律可以得出相伴矩阵的规律；高等代数教学争论,西南高校出版的,主要是深化研讨,一些特殊的方法、计 算仍有其他方面的应用等；仍有其他的参考书和网络资料,在这里我就不一一列举,通过这些资料给我启示很 大,通过这些资料我才能够顺当的完成了我的学院论文；写作之前在网上和图书管查看了很多相关的资料

13、,也做好了笔记, 通过我多方努力,我把握了我需要的材料,经我一再的摸索,我总结好我的论文结构,对我所查的资料认 真运用,也在这基础我创新出我的观点,相当多的一部分内容是我自己得出的,如我想 出运用行列式的技巧来探讨相伴矩阵；在此之前我学习了行列式的运算,在行列式的计 算中把特殊的类型分成两行型的、有箭爪型的、有三对角型的、仍有 hessenberg 型的 这几类,对于这些特殊的情形都赐予明白答,也就是说它们都有一条运算公式,其实通 过这些公式也是可以求相伴矩阵的,由于相伴矩阵就是由一些代数余子式是构成,所研 究的代数余子式就是一个带有符号的行列式,这正好符合行列式的特点,当时我就想到 利用行列

14、式来求相伴矩阵；第一把这些类型的运算方法和过程进行探究；对于这些特殊 类型求相伴分类型争论,我信任这些矩阵是可分部分进行求相伴矩阵的,所以我把相伴 矩阵分成好几个区域,而且这些区域可以总结出一条求相伴矩阵的公式,在这里我发觉 了一个规律就是大部分区域都是可以化成一个常数和这些特殊行列式相乘的,所以就可 以利用这些行列式进行求解；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.4 勇于创新勤于摸索第一章引言本内容是依据高等代数中的相伴矩阵内容而写,其中所探讨的内容有好几方面,有 相伴矩阵的基础性质,有关相伴矩阵的运算方法,

15、仍有定义、定理、证明等等；内容很 多,也有些复杂、凌乱；在学习中有可能慌乱,抓不住主题,课后的习题也比较多,涉 及的学问点也很多；因此必需在清晰的熟悉、懂得矩阵的内容和相伴矩阵的学问,才能更好的学习与把握；通过这一次的学习,要学习这种运算方法、证明方法,更重要的是 在一系列的学习以后,对学问进行推广与扩充,学习这一种数学方法,做到勇于创新,勤于摸索,更好的把握高等代数的学问与内容；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 广东石油化工学院本科毕业论文：浅谈相伴矩阵的假设干运算其次章 相伴矩阵的定义性质与运算、应用在高等

16、代数的学习研讨中, 每一个学问内容都是不行缺少的, 也是有着重要意义的,这些内容包含着重要的数学思想,在矩阵的研讨中,它更是高等代数中不行缺少的一部分,相伴矩阵是矩阵中的一个特殊学问点,相伴矩阵的性质也和原矩阵有着亲密的联系；相伴矩阵的运算是矩阵不行缺少的内容,通过相伴矩阵运算,可以解决很多应用性的问 题；逆矩阵的求法是矩阵的重要组成部分,通过学习相伴矩阵,可以通过相伴矩阵来求 逆矩阵；相伴矩阵等价关系的证明也是极其重要的,通过这次学习把握这方面的学问；学习相伴矩阵,也为更好的把握学问,为第三章推广做预备；相伴矩阵的由来与其定义,相伴矩阵是依据原矩阵而定义的,它们存在肯定的关系 的,在这个基础

17、上它们在肯定的条件关系中有肯定的等价关系；它们的基础性质也由此 而产生了；.1 在A 矩阵中进行相伴矩阵定义a 11a 12a 1 nn1阶子式 . Aa21a22a2nan 1an2ann定义 2.111 在一个 n n1阶行列式中a 11a 12a 1 nDa21a22a2nan 1an2ann的某一元素的余子式M 指的是在 D 中划去ija 所在的行和列后所余下的4 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章相伴矩阵的定义性质与运算、应用a 1 na 11a 1,j1a 1,j1Mija i1,1a i1,j1

18、a i1,j1a i1,nija 的带上余子a i1,1a i1,j1a i1,j1a i1,n定义 n 阶行列式 D 的元素an 1an j1a n j1annj 后,叫做元素a 的余子式i M 附以符号 1式. 元素 ija 的代数余子式用符号 A 来表示：i jA ij 1 M ij定义 2.113 设 A 是行列式 det A中元素 ija 的代数余子式令A 11 A 21 A n 1* A 12 A 22 A n 2AA 1 n A 2 n A nn把 A 叫做矩阵 A 的相伴矩阵；*注：所说的相伴矩阵是指 n n矩阵的相伴矩阵,那么对视 n m n m 矩阵时是否存在相伴矩阵呢？这

19、里是不存在的由于对于 n m n m 中 A 代数余子式是没有值的,所以这里的相伴矩阵是 n n阶的；当然我们可以另外定义 n m n m 相伴矩阵；.2 相伴矩阵的基本性质性 质 假 设 |A| 0, 就 由* AA* A A|A E , 得 伴 随 矩 阵A*可 逆 , 且（A*-1）=|1|A A|A| *-1A） ,再由A1 * ；|E|1|E,得* A11A1 *）|A1AAA注：关于* AA* A A|A E 证明 . 简洁求得* AA* A AdetA00|A E. * A A|A E ,得0detA000detA* AA性质对于,依据n n2 阶方阵A5 名师归纳总结 - -

20、- - - - -第 9 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 广东石油化工学院本科毕业论文：浅谈相伴矩阵的假设干运算假设 | A | 0,就 | A * | | A | n 1；假设 | A | 0 时,可分下面情形；假设 A 0,就 A *0,| A * | | A | n 1；假设 A 0, | A | 0,就可以 秩 n, A 的列是 A X *0 的解 ,于是 A X *0 有非零解,从而 | A * | 0,就有 | A * | | A | n 1 . 综上所述,总有 | A * | | A | n 1 . 性质假设 | A | 0,就 A * 1 A

21、1 * , A * T A T * . 性 质 假 设 A,B 都 是 n 阶 可 逆 方 阵,就 由 AB AB * | AB E | A B E AA * | B E A B A E * A BB * A E * ABB A E * *,得 AB * B A * *性质设 n n 2 阶方阵 A,假设 秩 n,就 | A | 0,所以 | A * | | A | n 1 0,即 A 可逆,从而 * 秩 A * n . 假设 秩 n 1,就 A 至少有 n 1 阶子式不为 0,从而 秩 A * 1 .又 秩 n 1,就有 AA *A A *| A E 0, A 的线性无关的 n 1 列是线性

22、方程组 A X *0 的线性无关的解,于是 秩 A * 1,因此得 秩 A * 1；*假设 秩 n 1,就 A 的全部 n 1 阶子式都为 0,从而 A 0 . 综上所述,有性质kA *kn1* A秩A * n 12秩 A=n. 秩A=n-10秩An-1kn1A 11kn1A 21kn1A n 1kn1* A由于kA *kn1A 12kn1A 22kn1A n2kn1A 1 nkn1A 2nkn1A nnA；当 |A| 0* A* A* A Eka 11ka 12ka1 nA, kA注：kAka21ka22ka2nkn2A nkan 1kan2kann* A*An性质A*An3证明： |A|

23、0时,就秩* A* =01 AA易知* A* A* A1AnnAn12A对于2,此公式不成了,这里不争论6 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其次章 相伴矩阵的定义性质与运算、应用2.2 相伴矩阵的运算 . 相伴矩阵的运算是矩阵不行缺少的一部分内容,那么要学习好相伴矩阵,主要是通 过相伴矩阵入手,通过探究相伴矩阵的运算,从而更好的争论相伴矩阵,下面的内容是 通过两种方法入手；第一种是从定义入手,这个运算方法是基础的,是争论相伴矩阵不 可缺少的内容；当然这种运算纷杂,不利于技巧性,也比较的简洁出错,对于比较高阶的矩

24、阵是比较的困难的；因此又从另一方面进行运算探究,这是分情形争论性学习,其 中是从三种情形进行,通过三种情形分析进行相伴矩阵的求解,也可以很简洁的求解到结果,从而防止了定义式运算的纷杂；这种方法技巧、 敏捷,特殊是关于秩 n1 这种情形技巧性更强,这是一种最有用的求相伴矩阵的方法；通过这两种求解法来探讨伴 随矩阵的运算；另外我又学习了一种特殊的运算,上三角的两种求法,这种运算看是繁 杂,但争论起来仍是可以解决,仍有扩展了特殊可逆分块求相伴；.1 定义式运算 . A*A 11A 21A n 1A 12A 22A n2A 1 nA 2nA nn这是一种依据相伴矩阵的定义来运算,其特点是对于知道一个原

25、矩阵就可以求它的相伴矩阵,其缺点是运算纷杂,不利多阶运算；即* A例 1. 已知Aa 11a 12,求* A . a 21,A 21a 12,A 22a 11a 21a 22解：依据定义可求得A 11a 22,A 12a22a 12* A . a 21a 11a 11a 12a 13例 2 已知Aa21a22a 23,求a 31a32a 33解：A iji 1jM ,求得7 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 46 页精选学习资料 - - - - - - - - - 广东石油化工学院本科毕业论文：浅谈相伴矩阵的假设干运算M11a a 33a a32A*a a 33a a3

26、2a a 32a a 33a a 23a a 22Ma a 33a a 3112a a31a a 33a a33a a31a a 21 13a a 23M33a a 22a a21a a32a a31a a 31a a32a a 22a a 21注：从上例 2,可以知道对于高阶运算量会变得很大,这种好方法就比较简洁；.2 分情形求解法 . 条件 n 3 阶方阵 .第一种情形 秩 n；其次种情形 秩 n 1；第三种情形秩 n 2；那么对 n 3 当然可以简洁求得；、秩 A n,即A是可逆的,那么由 AA * A A * | A E A *A A 1因此只要求出 A 1 与 A 即可；由于 A 是知道的,所以可以求出它的行列式；再者因为A是可逆的；运用前面所学的可以求出 A 的逆：初等行变换 A E E | A 1 注：这里的变化是初等行变换求可逆, 这里只答应实施初等行变换；1 0 0例 3 设 A 2 2 0,求相伴矩阵 A ；*3 4 5初等行变换解：A 0,A 可逆,就有 A *A A 易求 1A 10,现在求 A 1,依据 A E E A 11 0 0 1