2022年电大离散数学集合论部分期末复习辅导 .docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 离散数学集合论部分期末复习辅导一、单项挑选题1如集合 A a, a ,1 ,2 ,就以下表述正确选项 A a, aAB1 ,2ACaADA解 由于 a A,所以 aA2如集合 A=1 ,2 ,B=1 ,2,1,2 ,就以下表述正确选项 AA B,且 A BBB A,且 A BCA B,且 A B DA B,且 A B解 由于 1 B,2 B,1 ,2 B,A=1,2 所以 A B,且 A B3如集合 A2 ,a, a ,4 ,就以下表述正确选项 A a, a A BAAC2AD a A 解 由于 a A,所以 a 4如集合 A a, a ,就以

2、下表述正确选项 Aa AB a AC a,a A DA 解 由于 a A,所以 a A注：如请你判定是否存在两个集合A,B,使 A B,且 A B 同时成立,怎么做？答： 存在；如 2 题中的集合 A、B；或,设 A= a ,B=a, a ；留意 ：以上题型是重点,大家肯定要把握,仍要敏捷运用整,大家也应当会做例如,下题是 2022 年 1 月份考试试卷的第 1 题：如集合 A a,1 ,就以下表述正确选项 A1 AB1 A Ca A DA 解 由于1 是集合 A 的一个元素,所以 1 A5设集合 A= a ,就 A 的幂集为 A a B a, a C,a D,a ,譬如,将集合中的元素作一些

3、调名师归纳总结 1 / 13 第 1 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 A = a 的全部子集为0 元子集 ,即空集：；1 元子集 ,即单元集 ： a 所以 PA = , a 6设集合 A = 1, a ,就 PA = A1, a B ,1, a C ,1, a, 1, a D1, a, 1, a 解 A = 1, a 的全部子集为0 元子集 ,即空集：；1 元子集 ,即单元集 ：1 ,a ；2 元子集 ：1, a所以 PA = ,1, a, 1, a 留意 ： 如集合 A 有一个或有三个元素,那么 PA怎么写呢？例如, 2022年

4、 1 月份考试卷的第 6 题：设集合 A a ,那么集合 A 的幂集是 ,a如 A 是 n 元集,就幂集 PA 有 2 是 256或 1024个）n个元素 当 n=8 或 10 时,A 的幂集 的元素 有多少个 ？（应当7如集合 A 的元素个数为 10,就其幂集的元素个数为（）A1024B10C100 D1 解 |A| = 10,所以 |PA| = 2 10 = 1024 以下为 2022 年 1 月份考试卷的第 1 题：如集合 A 的元素个数为 10,就其幂集的元素个数为（）A10B100C1024D1 8设 A、B 是两个任意集合,侧 A B AA=BBA B CA B DB解 设 x A

5、,就由于 A B,所以 x A B,从而 x B,故 A B9设集合 A=1,2,3,4 ,R 是 A 上的二元关系,其关系矩阵为名师归纳总结 M R10012 / 13 第 2 页,共 13 页100000011000- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 R 的关系表达式是 A, B , C , D , 10集合 A=1, 2,3,4,5,6,7,8 上的关系 R=|x+y=10 且 x,yA ,就 R 的性质为（）A自反的B对称的C传递且对称的 D反自反且传递的 解 R = , 易见,如 R,就 R,所以 R是对称的答 B 另,由于 1 A,但 R

6、,所以 R 不是自反的；由于 5 A,但 R,所以 R 不是反自反的；由于 R且 R,但 R,所以 R 不是传递的；要求 大家能娴熟地写出二元关系 R的集合表达式,并能判别 R具有的性质11集合 A=1, 2,3,4 上的关系 R=|x=y 且 x,y A ,就 R 的性质为（）A不是自反的 B不是对称的 C传递的 D反自反 解 R = , IA 是 A 上的恒等关系,是自反的、对称的、传递 的；答 C 12假如 R1 和 R2 是 A 上的自反关系,就 R1R2,R1R2,R1- R2中自反关系有（）个A0 B 2 C1 D3 解 对于任意 a A,由于 R1和 R2是 A 上的自反关系,所

7、以R1, R2,从而 R1R2, R1R2, R1- R2故 R1R2,R1R2 是 A 上的自反关系, R1- R2是 A 上的反自反关系答 B 13设集合 A=1 , 2 , 3 , 4 上的二元关系R=1, 1,2, 2,2, 3,4, 4 ,4, 4 ,S=1, 1 ,2, 2,2, 3,3, 2,就 S是 R 的（）闭包A自反 B传递名师归纳总结 3 / 13 第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C对称 D自反和传递解 R S,S是对称关系,且S去掉任意一个元素就不包含R 或没有对称性,即S是包含 R 的具有对称性的最小

8、的关系,从而S是 R的对称闭包答 C 14设 A=1, 2,3,4,5,6,7,8,R 是 A 上的整除关系, B=2,4, 6 ,就集合 B 的最大元、最小元、上界、下界依次为 A8、2、8、2B8、1、6、1C6、2、6、2D无、 2、无、 2 解R1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,8,2,2,2,42,62,83,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8关系 R 的哈斯图如下：由图可见,集合 B=2,4, 6 无最大元,其最小元是2无上界,下界是2 和 1答 D 15设集合 A=1 ,2,3,4,5,偏序关系是 A 上的整除关系,就偏序集上的元

9、素 5 是集合 A 的（）A最大元 B最小元C极大元 D微小元解R1,1 ,1,2,1,3,1,4,1,5,2,2,2,43,34,45,5关系 R 的哈斯图如下：由图可见,元素 5 是集合 A 的极大元答 C 名师归纳总结 4 / 13 第 4 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 16设集合 A = 1, 2, 3, 4, 5 上的偏序2 1 3 5 关系的哈斯图如右图所示,如A 的子集4 B = 3, 4, 5 ,就元素 3 为 B 的（）A下界 B最小上界C最大下界 D最小元答 B 17设A= a,b , B=1,2 , R1,R2

10、,R3 是 A 到 B 的二元关系,且R1=, ,R2=, , ,R3=, ,就（AR1BR2C R3 DR1和 R3）不是从 A 到 B 的函数解 R2, R2,即 R2 不满意函数定义的单值性,因而不是函数答 B 留意 ：函数 R1,R3的定义域、值域是什么？两个函数 解 DomR1= a,b= A,RanR1= 2 ；DomR3= a,b=A,RanR3= 1, 2= BR1,R3是否能复合？由于 RanR1 DomR3,所以函数 R1和 R3不能复合；18设 A= a,b,c ,B=1 ,2,作 f：AB,就不同的函数个数为A2B3 C6D8 解 A B , A B 的任一子集即为从

11、A 到 B 的二元关系,在这些关系中满意函数定义的两个条件（单值性；定义域是 A）的关系只能是 , ,其中每个有序对的其次元素可取 1 或 2,于是可知有 2 2 2 8 个不同的函数答 D 事实上, 8 个不同的函数为：名师归纳总结 f1= a , 1,b , 1,c , 1 ,5 / 13 第 5 页,共 13 页f2= a , 1,b , 1,c , 2 ,f3=a , 1,b , 2,c , 1 ,f4= a , 2,b , 1,c , 1 ,f5=a , 1,b , 2,c , 2 ,f6= a , 2,b , 1,c , 2 ,- - - - - - -精选学习资料 - - - -

12、 - - - - - f7 =a, 2,b , 2,c , 1 ,f8 = a , 2b , 2c , 219设集合 A =1 , 2, 3 上的函数分别为：f = 1, 2,2, 1,3, 3 ,g = 1, 3 ,2, 2,3, 2 ,h = 1, 3 ,2, 1,3, 1 ,就 h =（）Af.g Bg.f Cf.fDg.g解 f.g 1, 3,2, 1,3, 1 hg.f 1, 2,2, 3,3, 2 f.f 1, 1,2, 2,3, 3 g.g 1, 2,2, 2,3, 2 答 A 20设函数 f：N N,fn n+1,以下表述正确选项（）Af 存在反函数 Bf 是双射的 Cf 是满

13、射的 Df 是单射函数解 由于任意n n 1 2n 2N ,n 1n ,2就f n 1n 111f n 2,所以 f 是单射对于 0N ,不存在 nN ,使f n n10,所以 f 不是满射从而 f 不是双射,也不存在反函数答 D 二、填空题1设集合A1, 2, 3,B1, 2,就 PA- PB =,A B=,1,2,3,解P A1,2, 1,3,2,3, 1,2,3P B ,1,2, 1,2答 3,1,3,2,3,1,2,3, 2设集合 A 有 10 个元素,那么 A 的幂集合 PA的元素个数为答 210 3设集合 A=0, 1, 2, 3 ,B=2, 3, 4, 5 ,R 是 A 到 B

14、的二元关系,名师归纳总结 6 / 13 第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Rx,yxA 且yB 且x ,yAB 就 R 的有序对集合为答 R,留意：假如将二元关系R 改为y Rx,yxA且yB 且x2或Rx,yxA 且yB 且x1y 就 R 的有序对集合是什么呢？答 R 或 R , 4设集合 A=1, 2, 3, 4 ,B=6, 8, 12 ,A 到 B 的二元关系RRx ,yy2x ,xA ,yB那么16,3,8,45设集合 A=a,b,c,d,A 上的二元关系 是R=, , , ,就 R 具有的性质由于任意 x A, R,所

15、以 R 是反自反的答 反自反的 6设集合 A=a,b,c,d, A 上的二元关系 R=, , , ,如在 R 中再增加两 个元素,就新得到的关系就具有对称性答 ,留意 ：第 5,6 题是重点,我们要娴熟把握,特别是A 和 R 的元素都削减的情形；假如6 题新得到的关系具有 自反性 ,那么应当增加哪两个元素呢？答 应增加 ,两个元素7假如 R1和 R2是 A 上的自反关系,就 答 2（见：一、 9 题）R1R2,R1R2,R1- R2中自反关系有个8设 A=1,2 上的二元关系为 R=|x A,y A,x+y=10 ,就 R的自反闭包为由于 R,所以 R的自反闭包 sR=I A=, 答,留意 ：

16、假如二元关系改为 R=|x A,y A,x+y10 ,就 R 的自反闭包是什么呢？解 R , 是 A 上的全关系,它的自反闭包是它自己；名师归纳总结 7 / 13 第 7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答 R 或, 9设 R 是集合 A 上的等价关系,且 答 ,1 , 2 , 3是 A 中的元素,就 R中至少包含等元素由于等价关系肯定是自反的、对称的、传递的,由二元关系R 是自反的,所以它至少包含, , 等元素注：假如给定二元关系R,你能否判定 R 是否是等价关系？f1,a,2,b,10 设 集 合 A=1, 2 , B= a, b

17、 , 那 么 集合A 到 B 的 双 射 函数 是g1, b,2,a想一想： 集合 A 到 B 的不同函数的个数有几个？答 有 4 个,除上述两个双射函数外,仍有h1,a,2,a,i1,b,2,b（参考：一、 14题）三、判定说明题 （判定以下各题,并说明理由）1如集合 A = 1 ,2,3 上的二元关系 R= , ,就 1 R 是自反的关系； 2 R 是对称的关系解 （1）错误由于 3 A,但 R（2）错误由于 R,但 R2假如 R1和 R2 是 A 上的自反关系,判定结论：“并说明理由解成立由于 R1 和 R2 是 A 上的自反关系,所以任意a A ,有 a a R 1 , a a R ,

18、1从而有 a a R 1（逆关系定义）,a a R 1 R ,a a R 1 R 1故 R 、R1 R2、R1R2 是自反的3如偏序集 的哈斯图如图一所示,就集合 A 的最大元为 a,最小元不存在解 不正确；可见 a 大于等于 A 中的元素 b、c、d、e、R 、R1R2、R1R2 是自反的” 是否成立？名师归纳总结 8 / 13 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f,但与元素g、h 没有关系,所以a 不是 A 的最大元；没有一个元素小于等于A 中的全部元素,所以 A 没有最小元；注：此题中,极大元为 a、g,微小元为 e、f、

19、h留意 ：题目修改为：如偏序集 的哈斯图如右图所示,就集合A 的最大元为a,微小元 不存在解 结论不成立；A 的最大元为 a,微小元 为 b、c问：是否存在一个元素 a,它既是偏序集 的最大元,也是 的最小元？4设集合 A=1,2,3,4 ,B=2, 4, 6, 8 ,判定以下关系 f 是否构成函数 f：A B,并说明理由1 f=, ；2f=, ；3 f=, 解 （1）关系 f 不构成函数由于 Domf=1, 2, 4 A,不满意函数定义的条件（2）关系 f 不构成函数由于 Domf=1, 2, 3 A,不满意函数定义的条件（3）关系 f 构成函数由于 任意 a Domf,都存在唯独的 Dom

20、f=Ab Ranf,使 f；即关系 f 满意函数定义的两个条件,所以关系 f 构成函数四、运算题1设E1 ,2,3 ,45 ,A,14 ,B,1,25 ,C2 ,4 ,求：1 ABC； 2 A B- B A；3 PAPC； 4 A B解 （1）ABC11,3,51,3,5；（2）ABBA1,2,4,512,4,5；（3）P A P C,1,4, 1,4,2,4,2,4 1, 1,4 ；名师归纳总结 （4）ABABABABBA 2,4,5第 9 页,共 13 页2设 A=1,2,1,2,B=1,2,1,2 ,试运算9 / 13 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

21、- - （1）（A B）；（2）（AB）；（3）A B解 （1）A B 1,2；（2）A B 1,2；（3）A B 1,1 , 1,2 , 1, 1,2 ,2,1 , 2,2 , 2, 1,2 ,1,1 , 1,2 , 1,1,2 ,2,1 , 2,2 , 2,1,2 3设 A=1 ,2,3,4,5,R=|x A,y A 且 x+y 4,S=|x A,y A 且 x+y0,试求 R,S,R S,S R,R-1,S-1,rS,sR解 R 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,1 ,SR S,S R,1R 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,1

22、 R ,1S,r S S I A I A 1,1 , 2,2 , 3,3 , 4,4 , 5,5 ,1s R R R R 1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 3,1 4设 A=1,2,3,4,5,6,7,8 ,R 是 A 上的整除关系, B=2,4, 6 1 写出关系 R的表示式； 2 画出关系 R 的哈斯图；3 求出集合 B 的最大元、最小元解 （1）R,1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7,1,82,2,2,4,2,6,2,8,3,3,3,6,4,4,4,8,5,5,6,6,7,7,8,8（2）关系 R 的哈斯图如下：（3）集合 B=2,4, 6无

23、最大元,其最小元是 2五、证明题名师归纳总结 10 / 13 第 10 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1试证明集合等式： A BC=AB ACBC ,进而xABC 证明 任意xABC ,就 xA ,或 xBC 如xA ,就xAB xAC ,从而xABAC ；如xBC ,就xB, xC ,xAB xAC ,从而xABAC 所以ABCABAC 任意xABAC ,就 xAB且xAC由xAB 知, xA 或 xB 如xA ,就xABC ；如xA ,就必有 xB ,由 xAC 知,也有 xC ,从而 xBC ；所以ABACABC 故ABCAB

24、AC 2试证明集合等式 A B C=A B AC证明 任意xABC ,就 xA 且 xBC 即xA 且（ xB或xC）即xA 且 xB ,从而 xAB ,或xA 且 xC ,从而 xAC 于是有xAB AC ,所以ABCABAC 任意xABAC ,就 xAB或xAC如xAB ,就 xA且xB,从而xA且xBC,xABC 如xAC ,就 xA且xC,从而xA且xBC,xA所以ABACABC 故ABCABAC 留意 ：第 1、2 题是重点,这样的证明方法我们要娴熟把握名师归纳总结 3对任意三个集合 A, B 和 C,试证明：如 AB = AC,且 A,就 B=CAC ,从而证明 如 B,就 A C

25、A B,由于 A,所以 C,从而 BC如 B,就AB,任意bB ,存在 aA ,使a bAB ,由于AB = AC ,所以a b第 11 页,共 13 页11 / 13 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bC ,故 BC AB = AC ,所以a cAB ,从而ACAB,C任意cC ,存在 aA ,使a cAC ,由于cB ,故 CB A,B 是任所以BC 2022 年 1 月份考卷中的证明题：设留意： 这个题 09 秋学期的复习时重点强调了,但意集合,试证明：如A A=B B,就 A=B很多同学不会做,是不应当的事实上这道题并不难：证明：如 A,就

26、B BA A,所以 B,从而 AB如 A ,就 A AB B,任意 x A,就 A A,由于 A A=B B,故 B B,就有 x B,所以 A B任意设 x B,就 B B,由于 A A=B B,故 A A,就有 x A,所以 B A故得 A=B大家可以看到,这两个题的证明方法是不仅类似,而且1 月份考题更简单4试证明：如 R 与 S是集合 A 上的自反关系,就 RS也是集合 A 上的自反关系证明 任意 a A,因 R 与 S 是集合 A 上的自反关系,所以 R, S从而 RS,故, RS 也是集合 A 上的自反关系留意：假如把该题的“ 自反关系” 改为“ 对称关系” ,应当怎么证明呢？请大家想一想即试证明：如 R 与 S是集合 A 上的对称关系,就 RS也是集合 A 上的对称关系（此题是 11 年 7月试卷）证明 任意 a,b A,假如 RS,就 R, S由于 R 与 S 是集合 A 上的对称关系,所以 R, S从而 RS故, RS 也是集合 A 上的对称关系名师归纳总结 12 / 13 第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 13 / 13 第 13 页,共 13 页- - - - - - -