关于考研数学学习心得与总结范文(优选).docx
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2、助我们检查一些疏漏的低级错误;行列式的计算方法中常用的是定义法,比较重要的是加边法,数学归纳法,降阶法,利用行列式的性质对行列式进行恒等变形,化简之后再按行或列绽开。另外范德蒙行列式也是须要驾驭的;行列式的考查方式分为低阶的数字型矩阵和高阶抽象行列式的计算、含参数的行列式的计算等。 二、矩阵部分,重视矩阵运算,驾驭矩阵秩的应用 通过历年真题分类统计与考点分布,矩阵部分的重点考点集中在逆矩阵、伴随矩阵及矩阵方程,其内容包括伴随矩阵的定义、性质、行列式、逆矩阵、秩,在课堂辅导的时候会重点强调.此外,伴随矩阵的矩阵方程以及矩阵与行列式的结合也是须要同学们娴熟驾驭的细微环节。涉及秩的应用,包含矩阵的秩
3、与向量组的秩之间的关系,矩阵等价与向量组等价,对矩阵的秩与方程组的解之间关系的分析,备考须要在理解概念的基础上,系统地进行归纳总结,并做习题加以巩固。 三、向量部分,理解相关无关概念,敏捷进行判定 向量组的线性相关问题是向量部分的重中之重,也是考研线性代数每年必出的考点。如何驾驭这部分内容呢?首先在于对定义概念的理解,然后就是分析判定的重点,即:看是否存在一组全为零的或者有非零解的实数对。基础线性相关问题也会涉及类似的题型:判定向量组的线性相关性、向量组线性相关性的证明、判定一个向量能否由一向量组线性表出、向量组的秩和极大无关组的求法、有关秩的证明、有关矩阵与向量组等价的命题、与向量空间有关的
4、命题。 四、线性方程组部分,推断解的个数,明确通解的求解思路 线性方程组解的状况,主要涵盖了齐次线性方程组有非零解、非齐次线性方程组解的判定及解的结构、齐次线性方程组基础解系的求解与证明以及带参数的线性方程组的解的状况。通解的求法有两种,若为齐次线性方程组,首先求解方程组的矩阵对应的行列式的值,在特征值为零和不为零的状况下分别进行探讨,为零说明有解,带入增广矩阵化简整理;不为零则有唯一解干脆求出即可。若为非齐次方程组,则根据对增广矩阵的探讨进行求解。 五、矩阵的特征值与特征向量部分,理解概念方法,驾驭矩阵对角化的求解 矩阵的特征值、特征向量部分可划分为三给我板块:特征值和特征向量的概念及计算、
5、方阵的相像对角化、实对称矩阵的正交相像对角化。相关题型有:数值矩阵的特征值和特征向量的求法、抽象矩阵特征值和特征向量的求法、判定矩阵的相像对角化、有关实对称矩阵的问题。 六、二次型部分,熟识正定矩阵的判别,了解规范性和惯性定理 二次型矩阵是二次型问题的一个基础,且大部分都可以转化为它的实对称矩阵的问题来处理。另外二次型及其矩阵表示,二次型的秩和标准形等概念、二次型的规范形和惯性定理也是填空选择题中的不行或缺的部分,二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连,要会用配方法、正交变换化二次型为标准形;驾驭二次型正定性的判别方法等等。 考研数学学习心得2 高数定理证明之微分中值定理: 这一部分内容比较丰富,
6、包括费马引理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外,其它定理要求会证。 费马引理的条件有两个:1.f'(_0)存在2.f(_0)为f(_)的极值,结论为f'(_0)=0。考虑函数在一点的导数,用什么方法?自然想到导数定义。我们可以根据导数定义写出f'(_0)的极限形式。往下如何推理?关键要看其次个条件怎么用。“f(_0)为f(_)的极值”翻译成数学语言即f(_)-f(_0)<0(或>0),对_0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式,不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号,如何得到极限值的符号呢?极限的保号
7、性是个桥梁。 费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要探讨的罗尔定理。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的,那罗尔定理当之无愧。该定理的条件和结论想必各位都比较熟识。条件有三:“闭区间连续”、“开区间可导”和“端值相等”,结论是在开区间存在一点(即所谓的中值),使得函数在该点的导数为0。 该定理的证明不好理解,需仔细体会:条件怎么用?如何和结论建立联系?当然,我们现在探讨该定理的证明是“马后炮”式的:已经有了证明过程,我们看看怎么去理解驾驭。假如在罗尔生活的时代,证出该定理,那可是十足的创新,是要流芳百世的。 闲言少叙,言归正传。既然我们探讨费马引理的作用
8、是要引出罗尔定理,那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理。我们对比这两个定理的结论,不难发觉是一样的:都是函数在一点的导数为0。话说到这,可能有同学要说:罗尔定理的证明并不难呀,由费马引理得结论不就行了。大方向对,但过程没这么简洁。至少要说清一点:费马引理的条件是否满意,为什么满意? 前面提过费马引理的条件有两个“可导”和“取极值”,“可导”不难推断是成立的,那么“取极值”呢?好像不能由条件干脆得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。留意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质,哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理。 那么最值和极值是什么关
9、系?这个点须要想清晰,因为干脆影响下面推理的走向。结论是:若最值取在区间内部,则最值为极值;若最值均取在区间端点,则最值不为极值。那么接下来,分两种状况探讨即可:若最值取在区间内部,此种状况下费马引理条件完全成立,不难得出结论;若最值均取在区间端点,留意到已知条件第三条告知我们端点函数值相等,由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等,这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数,那在开区间上任取一点都能使结论成立。 拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。驾驭这两个定理的证明有一箭双雕的效果:真题中干脆考过拉格朗日定理的证明,若再考这些原定理,那自然驾轻就熟;此外,这两个的定理的证明过程中
10、体现出来的基本思路,适用于证其它结论。 以拉格朗日定理的证明为例,既然用罗尔定理证,那我们对比一下两个定理的结论。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形,变成罗尔定理结论的形式,移项即可。接下来,要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果。这就是构造协助函数的过程看等号左侧的式子是哪个函数求导后,把_换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查:依据这个犯罪现场,反推嫌疑人是谁。当然,构造协助函数远比破案要简洁,简洁的题目干脆视察;困难一些的,可以把中值换成_,再对得到的函数求不定积分。 高数定理证明之求导公式: 2023年真题考了一个证明题:证明两个
11、函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟识,而对它怎么来的较为生疏。事实上,从授课的角度,这种在2023年前从未考过的基本公式的证明,一般只会在基础阶段讲到。假如这个阶段的考生带焦急功近利的心态只关注结论怎么用,而不关切结论怎么来的,那很可能从未仔细思索过该公式的证明过程,进而在考场上变得很被动。这里给2023考研学子提个醒:要重视基础阶段的复习,那些真题中未考过的重要结论的证明,有可能考到,不要放过。 当然,该公式的证明并不难。先考虑f(_)_(_)在点_0处的导数。函数在一点的导数自然用导数定义考察,可以根据导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0”型,但不能用洛必达法
12、则,因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的,不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法,加一项,减一项。这个“无中生有”的项要和前后都有联系,便于提公因子。之后分子的四项两两配对,除以分母后考虑极限,不难得出结果。再由_0的随意性,便得到了f(_)_(_)在随意点的导数公式。 高数定理证明之积分中值定理: 该定理条件是定积分的被积函数在积分区间(闭区间)上连续,结论可以形式地记成该定积分等于把被积函数拎到积分号外面,并把积分变量_换成中值。如何证明?可能有同学想到用微分中值定理,理由是微分相关定理的结论中含有中值。可以根据此思路往下分析,不过更易理解的思路是考虑连续相关定理(介值定理和零点
13、存在定理),理由更充分些:上述两个连续相关定理的结论中不但含有中值而且不含导数,而待证的积分中值定理的结论也是含有中值但不含导数。 若我们选择了用连续相关定理去证,那么究竟选择哪个定理呢?这里有个小的技巧看中值是位于闭区间还是开区间。介值定理和零点存在定理的结论中的中值分别位于闭区间和开区间,而待证的积分中值定理的结论中的中值位于闭区间。那么何去何从,已经不言自明白。 若顺当选中了介值定理,那么往下如何推理呢?我们可以对比一下介值定理和积分中值定理的结论:介值定理的结论的等式一边为某点处的函数值,而等号另一边为常数A。我们自然想到把积分中值定理的结论朝以上的形式变形。等式两边同时除以区间长度,
14、就能达到我们的要求。当然,变形后等号一侧含有积分的式子的长相还是挺有迷惑性的,要透过现象看本质,看清晰定积分的值是一个数,进而定积分除以区间长度后仍为一个数。这个数就相当于介值定理结论中的A。 接下来如何推理,这就考察各位对介值定理的熟识程度了。该定理条件有二:1.函数在闭区间连续,2.实数A位于函数在闭区间上的最大值和最小值之间,结论是该实数能被取到(即A为闭区间上某点的函数值)。再看若积分中值定理的条件成立否能推出介值定理的条件成立。函数的连续性不难推断,仅需说明定积分除以区间长度这个实数位于函数的最大值和最小值之间即可。而要考察一个定积分的值的范围,不难想到比较定理(或估值定理)。 高数
15、定理证明之微积分基本定理: 该部分包括两个定理:变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。 变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续,结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉,并用积分上限替换被积函数的自变量。留意该求导公式对闭区间成立,而闭区间上的导数要区分对待:对应开区间上每一点的导数是一类,而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵,各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上随意点_处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简,笔者就不能剥夺读者思索的权利了。单侧导数类似考虑。 “牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁,它是微积分
16、中最基本的公式之一。它证明白微分与积分是可逆运算,同时在理论上标记着微积分完整体系的形成,从今微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能娴熟运用该公式计算定积分。不过,提起该公式的证明,熟识的考生并不多。 该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(_)在闭区间连续,该公式的另一个条件是F(_)为f(_)在闭区间上的一个原函数,结论是f(_)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立,则不难推断变限积分求导定理的条件成立,故变限积分求导定理的结论成立。 留意到该公式的另
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