函数-导数“任意-存在”型问题归纳.doc

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1、-_函数导数任意性和存在性问题探究导学语函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术” ，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略” ，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：题型分类解析 一单一函数单一“任意”型战略思想一：“，恒成立”等价于“当时，xA( ) ( )af x xA” ；max( ) ( )af x “，恒成立”等价于“当时，”.xA( ) ( )af x xAmin( ) ( )af x 例例 1 ：已知二次函数，若时，恒有，求实数

2、 a 的取值范围.2( )f xaxx0,1x|( )| 1f x 解：，；即；|( )| 1f x 211axx 211xaxx 当时，不等式显然成立，aR.0x 当时，由得：，01x211xaxx 221111axxxx而，. 又，min211()0xx0a max211()2xx 2,20aa 综上得 a 的范围是. 2,0a 二单一函数单一“存在”型战略思想二：“，使得成立”等价于“当时，xA( ) ( )af x xA” ；min( ) ( )af x “，使得成立”等价于“当时，”.xA( ) ( )af x xAmax( ) ( )af x 例例 2.2. 已知函数()，若存在，

3、使得成立，求实数2( )lnf xaxxaR1, xe( )(2)f xax的取值范围.a解析：xxxxa2)ln(2.( )(2)f xax，xx1ln且等号不能同时取，所以xx ln，即0lnxx，1, xe因而xxxxaln22 ， ，1, xe令xxxxxgln2)(2, 1 ex，又2)ln()ln22)(1()(xxxxxxg，af(x)上 上f(x)上 上a f(x)上 上f(x)上 上-_当, 1 ex时，1ln, 01xx，0ln22xx，从而0)( xg（仅当 x=1 时取等号） ，所以)(xg在, 1 e上为增函数，故)(xg的最小值为1) 1 (g，所以 a 的取值范围

4、是), 1三单一函数双“任意”型战略思想三：，都有分别是xR12“ ()( )()“f xf xf x12(),()f xf x的最小值和最大值，min是同时出现最大值和最小值的最短区间.( )f x12|xx例例 3. 已知函数，若对，都有成立，则( )2sin()25xf xxR12“ ()( )()“f xf xf x的最小值为_.12|xx解 对任意 xR，不等式恒成立，12()( )()f xf xf x分别是的最小值和最大值.12(),()f xf x( )f x对于函数，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是 ，即半个周期.sinyx又函数的周期为 4，的最小值为 2.( )2s

5、in()25xf x12|xx战略思想四： 成立成立,21Axx1212()()“ ()“22xxf xf xf在 A 上是上凸函数( )f x0)( xf例例 4. 在这四个函数中，当时，使2 22 ,log 2 ,cosyx yx yxyx1201xx恒成立的函数的个数是( )1212()()“ ()“22xxf xf xfA.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性凸凹性，即满足条件的函数，应是凸函1212()()“ ()“22xxf xf xf数的性质，画草图即知符合题意；2log 2yx战略思想五： 成立成立在在 A 上是增函数上是增函数,21Axx1212()()

6、“0“f xf x xx( )f x例例 5 已知函数定义域为，若，时，都有( )f x 1,1(1)1f, 1,1m n 0mn，若对所有，恒成立，求实数 取值范围.( )( )“0“f mf n mn2( )21f xtat 1,1x 1,1a t解：任取，则，1211xx 12 1212 12()()()()()f xf xf xf xxxxxxyx1x2yxOf(x1)f(x2)x1x2-_由已知，又，1212()()0f xf x xx120xx12()()0f xf x即在上为增函数.( )f x 1,1，恒有；(1)1f 1,1x ( )1f x 要使对所有，恒成立，2( )21

7、f xtat 1,1x 1,1a 即要恒成立，故恒成立，221 1tat 220tat令，只须且，2( )2g aatt ( 1)0g (1)0g解得或或.2t 0t 2t 战略思想六： （ 为常数）成立为常数）成立t=,21Axxtxfxf| )()(|21tminmax)()(xfxf例例 6. 已知函数，则对任意（）都有 恒43( )2f xxx 121,22t t 12tt| )()(|21tftf成立，当且仅当=_，=_时取等号.1t2t解：因为恒成立，12maxmin|()()| | ( ) ( )|f xf xf xf x由，431( )2,22f xxxx 易求得，max327

8、 ( )( )216f xfmin15 ( )()216f xf .12|()()| 2f xf x战略思想七：,21Axx| )()(|2121xxtxfxftxxxfxf|)()(|2121)0( t| )( |txf例例 7. 已知函数满足：(1)定义域为；(2)方程至少有两个实根和 ；( )yf x 1,1( )0f x 11(3)过图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于 1.( )f x(1)证明:； (2)证明：对任意，都有.|(0)| 1f12, 1,1x x 12|()()| 1f xf x证明 (1)略；(2)由条件(2)知，( 1)(1)0ff不妨设，由(3)知，1211x

9、x 121221|()()| |f xf xxxxx又121212|()()| |()|()| |()( 1)|()(1)|f xf xf xf xf xff xf-_；1221121 12()2 |()()|xxxxf xf x 12|()()| 1f xf x例例 8. 已知函数，对于时总有3( )f xxaxb12123,(0,)()3x xxx成立，求实数的范围.1212|()()| |f xf xxxa解 由，得，3( )f xxaxb2( )3fxxa当时，3(0,)3x( )1afxa 1212|()()| |f xf xxx， 1212()()| 1f xf x xx11011

10、aaa 评注 由导数的几何意义知道，函数图像上任意两点连线的斜率( )yf x1122( ,),(,)P x yQ xy的取值范围，就是曲线上任一点切线的斜率(如果有的话)的范围，利用这个结论，21 12 21()yykxxxx可以解决形如|或(m0)型的不等式恒成立问题.1212|()()|f xf xm xx1212|()()|f xf xm xx四双函数“任意”+“存在”型： 战略思想八：，使得，使得成立成立；12,xAxB12()()f xg xminmin( )( )f xg x，使得，使得成立成立. .12,xAxB12()()f xg xmaxmax( )( )f xg x例例

11、9 9已知函数，若存在，对任意，2( )25lnf xxxx2( )4g xxmx1(0,1)x 21,2x 总有成立，求实数 m 的取值范围.12()()f xg x解析：题意等价于在上的最大值大于或等于在上的最大值.( )f x(0,1)( )g x1,2，由得，或，22252( )xxfxx( )0fx 1 2x 2x 当时， ，当时，1(0, )2x( )0fx1( ,1)2x( )0fx所以在（0，1）上，.max1( )( )35ln22f xf 又在上的最大值为，所以有( )g x1,2max (1), (2)gg-_，185ln2( )(1)35ln2521135ln282(1

12、1 5ln2)( )(2)22mfgm mmfg 85ln2m所以实数的取值范围是.m85ln2m 战略思想九：“，使得成立”1xA2xB12()()f xg x“的值域包含于的值域”.( )f x( )g x例例 10设函数32115( )4333f xxxx （1）求的单调区间( )f x（2）设，函数若对于任意，总存在，使得1a32( )32g xxa xa10,1x 00,1x 成立，求的取值范围10()()f xg xa解析：（1） ，令，即，解得：，225( )33fxxx ( )0fx225033xx513x的单增区间为；单调减区间为和.( )f x5,135(,3 1,)（2）

13、由（1）可知当时，单调递增，当时，0,1x( )f x0,1x( ) (0),(1)f xff即；( ) 4, 3f x 又，且，当时，单调递减，22( )33g xxa1a0,1x( )0g x( )g x当时，即，0,1x( ) (1), (0)g xgg2( ) 321,2 g xaaa 又对于任意，总存在，10,1x 00,1x 使得成立， 10()()f xg x 4, 32 321,2 aaa即，解得： 2321432aaa312a例例 1111已知函数;1( )ln1()af xxaxaRx(1) 当时，讨论的单调性；1 2a ( )f x（2）设，当时，若对，,使，求实2( )

14、24g xxbx1 4a 1(0,2)x21,2x12()()f xg x数的取值范围；b解：（1） （解答过程略去，只给出结论）当 a0 时，函数 f(x)在（0,1）上单调递减，在（1，+）上单调递增；当 a=时，函数 f(x)在（0，+）上单调递减；21f(x)上 上f(x)上 上g(x)上 上g(x)上 上-_当 00,此时与（）矛盾；当 b1,2时, 因为g(x)min=4b20，同样与（）矛盾；当 b（2，+）时，因为g(x)min=g(2)=84b.解不等式 84b，可得 b.21 817综上，b 的取值范围是,+).817五双函数“任意”+“任意”型战略思想十：，使得，使得成立

15、成立12,xAxB12()()f xg xminmax( )( )f xg x例例 12.已知函数，若对任意32149( )3, ( )332xcf xxxxg x ，都有，求的范围.12, 2,2x x 12()()f xg xc解：解：因为对任意的，都有成立，12, 2,2x x 12()()f xg x，maxmin ( ) ( )f xg x2( )23fxxx令得x3 或 x-1；得；( )0fx 3,1xx ( )0fx 13x 在为增函数，在为减函数.( )f x 2, 1 1,2，.，.( 1)3,(2)6ff max ( )3,f x1832c 24c 例例 1313已知两个

16、函数;232( )816, ( )254 , 3,3,f xxxk g xxxx xkR -_(1)若对,都有成立，求实数的取值范围； 3,3x ( )( )f xg xk(2)若,使得成立，求实数的取值范围； 3,3x ( )( )f xg xk(3)若对,都有成立，求实数的取值范围；12, 3,3x x 12()()f xg xk解解：（1）设,（1）中的问题可转化为：32( )( )( )2312h xg xf xxxxk时，恒成立，即. 3,3x ( )0h x min ( )0h x；2( )66126(2)(1)h xxxxx当变化时，的变化情况列表如下：x( ),( )h x h

17、 xx-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3(x)h+00+h(x)k-45增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为,所以，由上表可知，( 1)7, (2)20hkhkmin ( )45h xk故 k-450，得 k45,即 k45,+).小结：对于闭区间 I，不等式 f(x)k 对 xI 时恒成立f(x)mink, xI. 此题常见的错误解法：由f(x)maxg(x)min解出 k 的取值范围.这种解法的错误在于条件“f(x)maxg(x)min”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价.（2）根据题意可知， （2）中的问题等价于 h(x)= g(x)f(x) 0 在 x-

18、3,3时有解,故h(x)max0.由（1）可知h(x)max= k+7，因此 k+70，即 k7,+).(3)根据题意可知， （3）中的问题等价于f(x)maxg(x)min，x-3,3.由二次函数的图像和性质可得, x-3,3时, f(x)max=120k.仿照（1） ，利用导数的方法可求得 x-3,3时, g(x)min=21.由 120k21 得 k141,即 k141,+).说明：这里的 x1,x2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出,对于一个不等式一定要看清是对“x”恒成立，还是“x”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量,然后再根据不

19、同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.六双函数“存在”+“存在”型战略思想十一：，使得，使得成立成立12,xAxB12()()f xg xf(x)g(x)f(x)g(x)xyxy图 2图 1OOabbaxx-_；minmax( )( )f xg x，使得，使得成立成立. .12,xAxB12()()f xg xmaxmin( )( )f xg x例例 1414已知函数，.若存在1(0,2)x ，21,2x ，3( )ln144xf xxx2( )24g xxbx使，求实数b取值范围.12()()f xg x解析：，22113(1)(3)( )444xxfxxxx 在上单调递增，在

20、上单调递减，.( )f x(0,1)(1,2)min1( )(1)2f xf 依题意有，所以.又，minmax( )( )f xg xmax1( )2g x 22( )()4g xxbb从而,解得. 21)2(21) 1 (gg817b战略思想十二：“，使得，使得成立成立”等价于等价于12,xAxB12()()f xg x“的值域与的值域与的值域相交非空的值域相交非空”.”. ( )f x( )g x例例 1515已知函数，.是否存在实数，存32( )(1)(2) ()f xxa xa ax aR191( )63g xxa在，使得成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，11,1x 20,2x 112()2()fxaxg xa说明理由.解析：在上是增函数，故对于，.0,2 191 63g xx0,2x 1,63g x 设， 22322h xfxaxxxa a当时，,.1,1x )(xh312-2 aa52-2 aa要存在，使得成立， 1 , 11x2 , 02x 12h xg x只要,312-2 aa52-2 aa6 ,31考虑反面， ,312-2 aa52-2 aa6 ,31则 或 6，解得或，21523aa312-2 aa5713a 5713a 从而所求为.57571133a -_