拉格朗日插值法.ppt

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1、第二章 插值法1第二章 插值法和最小二乘法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 2.3 差商与牛顿插值公式差商与牛顿插值公式 2.4 差分与等距节点插值公式差分与等距节点插值公式 2.5 分段低次插值分段低次插值 2.6 三次样条三次样条 插值插值2本章要点用简单的函数(如多项式函数)作为一个复杂函数的近似,最简单实用的方法就是插值本章主要介绍有关插值法的一些基本概念,及多项式插值的基础理论和几个常用的插值方法:Lagrange插值、分段线性插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值3 自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0 x1x2x3x4xp(x

2、)f(x)实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数g(x)来逼近f(x)。4一、插值问题5-(1)这就是插值问题,(1)式为插值条件,6其插值函数的图象如图问题是否存在唯一如何构造误差估计78二、代数插值多项式的存在唯一性整体误差的大小反映了插值函数的好坏为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函数都使用代数多项式和有理函数本章讨论的就是代数插值多项式且满足-(2)-(3)9-(4)上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式10定理1.由Cramer法则,线性方程组(4)有唯一解-(2)-(3)则满足插值条

3、件的插值多项式存在且唯一.虽然线性方程组(4)推出的插值多项式存在且唯一但通过解线性方程组(4)求插值多项式却不是好方法11根据线性空间的理论并且形式不是唯一的且在不同的基底下有不同的形式12所有次数不超过的多项式的两个不同基底：1，2200，2即所有次数不超过的多项式可表示成：或：13-(5)-(6)且满足(1)式14-(7)n+1次多项式15-(7)且-(8)(请同学们思考)从而16令即由(8)式,可得-(9)-(10)17其中-(7,7)-(11)18例解:19且在例1中,如果只给出两个节点169和225,也可以作插值多项式,即1次Lagrange插值多项式,有两个插值基函数,这种插值方

4、法称为Lagrange线性插值,也可以在n+1个节点中取相邻的两个节点作线性插值20Lagrange线性插值基函数为Lagrange线性插值多项式为参见图21例解:Lagrange插值基函数为Lagrange线性插值多项式为22所以Lagrange插值多项式的缺点：插值基函数计算复杂高次插值的精度不一定高23一、插值余项满足不会完全成立因此,插值多项式存在着截断误差,那么我们怎样估计这个截断误差呢？24令设其中2526根据Rolle定理,再由Rolle定理,依此类推由于因此27所以定理1.Lagrange型余项28设则29例解:3031例并作图比较.解:32不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象33结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.34