晶体几何学基础.ppt

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1、22 晶体几何学基础晶体几何学基础 晶体结构与空间点阵晶体结构与空间点阵 晶体的晶面和晶向晶体的晶面和晶向第二章第二章 X射线衍射方向射线衍射方向晶体几何学基础晶体几何学基础固体物质的分类固体物质的分类 晶体晶体 准晶体准晶体 非晶体非晶体晶体的定义：晶体的定义：晶体是由许多质点（包括原子、离子或原子团）在三维空间晶体是由许多质点（包括原子、离子或原子团）在三维空间呈呈周期性周期性排列而形成的固体。（长程有序）排列而形成的固体。（长程有序）对称性：对称性：晶体的宏观外形和内部微观结构都具有特定的晶体的宏观外形和内部微观结构都具有特定的 对称性。对称性。均一性：均一性：晶体内部各个部分的宏观性质

2、是相同的。晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。各向异性：各向异性：晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。晶体中不同的方向上具有不同的物理性质。封闭性：封闭性：晶体是由多个晶面组成的有限封闭体。晶体是由多个晶面组成的有限封闭体。自由能最小：自由能最小：在平衡条件下，晶体相是自由能最小的物相。在平衡条件下，晶体相是自由能最小的物相。晶体的物理特点晶体的物理特点金刚石金刚石 锗酸铋锗酸铋邻苯二甲酸氢邻苯二甲酸氢典型的晶体形态典型的晶体形态典型的晶体形态典型的晶体形态 空间点阵空间点阵为了反映原子排列的周期性，用为了反映原子排列的周期性，用几何点（结点）代替原子或原子几何点（结点）代替原子或原子团。团

3、。这些结点在三维空间的周期性排这些结点在三维空间的周期性排布与晶体中的原子或原子团的排布与晶体中的原子或原子团的排布完全相同。布完全相同。所有结点的几何环境和物理环境所有结点的几何环境和物理环境是相同的。是相同的。晶体结构空间点阵结构基元晶体结构空间点阵结构基元(原子或原子团原子或原子团)空间点阵示意图空间点阵示意图晶体结构和空间点阵之间的关系晶体结构和空间点阵之间的关系空间点阵是从晶体结构中抽象出来的几何图形，它空间点阵是从晶体结构中抽象出来的几何图形，它反映晶体结构最基本的几何特征。将原子安放在布反映晶体结构最基本的几何特征。将原子安放在布拉菲点阵的结点上即形成晶体结构。拉菲点阵的结点上即

4、形成晶体结构。(d)甲烷晶体甲烷晶体 四种具有面心立方点阵的晶体四种具有面心立方点阵的晶体 晶体结构晶体结构 空间点阵的选取：反映晶体结构的周期性和对称性空间点阵的选取：反映晶体结构的周期性和对称性。空间点阵空间点阵 二多一少（二多一少（等长度轴要多，直角要多，晶胞体积要小等长度轴要多，直角要多，晶胞体积要小）晶胞的选取原则晶胞的选取原则5 Bravais Lattice in 2DP PNPSquarea=b=90Rectangulara b=90Centered Rectangulara b=90Hexagonala=b=120Obliquea b905 Bravais Lattice i

5、n 2D晶胞：在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平晶胞：在空间点阵中，能代表空间点阵结构特点的小平 行六面体，反映晶格特征的最小几何单元。行六面体，反映晶格特征的最小几何单元。整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。整个空间点阵可由晶胞作三维的重复堆砌而构成。一个晶胞的典型结构一个晶胞的典型结构晶胞结构晶胞结构Lattice parameters:a,b,c;a,b,g7 Crystal SystemsThe 14 Bravais Lattices 七大晶系、七大晶系、14种种Bravais点阵点阵晶系晶系单胞特征单胞特征Bravais点阵点阵三斜三斜a b c,简单三斜简单三斜a

6、a b b g g 90 单斜单斜a b c,简单单斜简单单斜a a g g 90=b b底心底心单斜单斜正交正交a b c,简单正交，底心正交简单正交，底心正交a a=b b=g g=90 体心正交，面心正交体心正交，面心正交三角三角a=b=c,简单三角简单三角a a=b b=g g 120 90,60 四方四方a=b c,简单四方简单四方a a=b b=g g=90 体心四方体心四方六角六角a=b,六角六角b b=g g=90,a a=120立方立方a=b=c,简单立方，体心立方简单立方，体心立方a a=b b=g g=90面心立方面心立方晶系晶系最低特征对称素最低特征对称素晶胞形状晶胞形

7、状三斜三斜单斜单斜正交正交三角三角四方四方六角六角立方立方无对称素无对称素一个二次对称轴一个二次对称轴三个互相垂直的二三个互相垂直的二次对称轴次对称轴一个三次对称轴一个三次对称轴一个四次对称轴一个四次对称轴一个六次对称轴一个六次对称轴四个三次对称轴四个三次对称轴任意的平行六面体任意的平行六面体直立的平行六面体直立的平行六面体矩形的平行六面体矩形的平行六面体菱形，或与六角晶系的晶胞相同菱形，或与六角晶系的晶胞相同直立的柱体，底部为正方形直立的柱体，底部为正方形直立的柱体，底部为菱形直立的柱体，底部为菱形立方体立方体七大晶系所要求最低的对称性七大晶系所要求最低的对称性Simple Cubic La

8、tticeCaesium Chloride(CsCl)is primitive cubicDifferent atoms at corners and body center.Also CuZn,CsBr,LiAgCoordinate：（000）BCC Lattice-Iron is body-centered cubicIdentical atoms at corners and body center(nothing at face centers)Also Nb,Ta,Ba,Mo.Coordinate：（000）（1/2,1/2,1/2）FCC LatticeCopper metal i

9、s face-centered cubicIdentical atoms at corners and at face centers also Ag,Au,Al,Ni.Coordinate：（000）（）（1/2,1/2,0）(0,1/2,1/2）(1/2,0,1/2）e.g.NaCl Na at corners:(8 1/8)=1 Na at face centres(6 1/2)=3Cl at edge centres(12 1/4)=3 Cl at body centre=1Unit cell contents are 4(Na+Cl-)晶胞与原子关系晶胞与原子关系萤石结构（萤石结构（

10、CaF2）氯化钠结构氯化钠结构(NaCl)晶体结构晶体结构辉钼矿的化学成分：辉钼矿的化学成分：MoS2,Mo 59.94%，S 40.06%；辉钼矿的特征：辉钼矿的特征：铅灰色，金属光泽，铅灰色，金属光泽，硬度低，底面解理极硬度低，底面解理极完全，比重大，光泽完全，比重大，光泽强。强。晶体结构晶体结构石墨的晶体结构石墨的晶体结构金刚石的晶体结构金刚石的晶体结构C60的晶体结构的晶体结构晶体结构晶体结构石墨石墨金刚石金刚石C60晶体结构晶体结构X衍射图谱衍射图谱晶面指数与晶向指数晶面指数与晶向指数 晶向：晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位晶向：晶体中的某些方向，涉及到晶体中原子的位 置，原子

11、列方向，表示的是一组相互平行、方向一致置，原子列方向，表示的是一组相互平行、方向一致的直线指向。的直线指向。晶面：晶体中原子所构成的平面。晶面：晶体中原子所构成的平面。晶体结构中的晶向和晶面相当于空间点阵中的结点直晶体结构中的晶向和晶面相当于空间点阵中的结点直线和结点平面，国际上通用的是用密勒指数表示晶面线和结点平面，国际上通用的是用密勒指数表示晶面及晶向。及晶向。步骤步骤 a.a.建建立立坐坐标标系系,以以某某一一阵阵点点为为原原点点O,O,以以三三个个基基矢矢为为坐坐标标轴轴,以以晶晶胞胞边边长长作作为为坐坐标标轴轴的的长长度度单位。单位。b.b.作作直直线线OPOP平平行行与与待待标标志

12、志的的晶晶向向或或待待标标定定晶晶向向的的直直线线通通过过坐坐标原点。标原点。c.c.确确定定通通过过原原点点直直线线上上任任一一点点的坐标值。的坐标值。D.D.将将坐坐标标值值化化为为.最最小小整整数数并并加上方括号加上方括号UVWUVW晶向指数标定方法晶向指数标定方法晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向称为晶向轴，用晶向轴，用表示表示 晶面指数的标定方法晶面指数的标定方法晶面指数确定步骤：晶面指数确定步骤：建立坐标系建立坐标系 确定晶面在各坐标轴确定晶面在各坐标轴上的截距上的截距 取截距的倒数，并通取截距的倒数，并通分，化为最小的简单整分，化为最小的

13、简单整数（数（hklhkl）晶体中具有等同条件（这些晶面的原子排列情况和面间距晶体中具有等同条件（这些晶面的原子排列情况和面间距完全相同），而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，完全相同），而只是空间位向不同的各组晶面称为晶面族，用用 hkl hkl表示。表示。(100)(111)(200)(110)晶面族晶面族晶面间距晶面间距(d)(d)：两个相邻的平行晶面间的垂直距离：两个相邻的平行晶面间的垂直距离。对立方晶系而言：对立方晶系而言：一般是晶面指数数值越一般是晶面指数数值越小，其面间距较大，并小，其面间距较大，并且其阵点密度较大，而且其阵点密度较大，而晶面指数数值较大的则晶面指数数值较大的

14、则相反。相反。晶面间距晶面间距晶面间距晶面间距(100)intersects with a at 1 b at (100)c at (200)intersects with a at 1/2 b at (200)c at (110)intersects with a at 1 b at 1 (110)c at 立方晶系中点阵常数与晶面的关系立方晶系中点阵常数与晶面的关系晶面间距晶面间距(d)d)公式：公式：立方晶系：四方晶系：正交晶系：晶面间距晶面间距晶面夹角的计算公式晶面夹角的计算公式立方晶系立方晶系正方晶系正方晶系所所有有相相交交于于某某一一晶晶向向直直线线或或平平行行于于此此直直线线的的

15、晶晶面面构构成成一一个个晶带，此直线称为晶带轴。晶带，此直线称为晶带轴。设设晶晶带带轴轴的的指指数数为为UVWUVW，则则晶晶带带中中任任何何一一个个晶晶面面的的指指数数（hklhkl）都都必必须须满满足足：h hu+u+k kv+v+l lw w=0=0，满满足足此此关关系系的的晶晶面面都都属属于于以以UVWUVW为为晶晶带带轴轴的的晶晶带带，已已知知两两个个非非平平行行的的晶晶面面指指数数为为（h h1 1k k1 1l l1 1）和（和（h h2 2k k2 2l l2 2）则其交线即为晶带轴的指数。则其交线即为晶带轴的指数。晶晶 带带 属于属于001001晶带的某些晶面晶带的某些晶面晶

16、晶 带带 倒易点阵倒易点阵 P.136 P.1361 1）倒易点阵概念）倒易点阵概念倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家倒易点阵是一个古老的数学概念，最初德国晶体学家布拉未所采用，布拉未所采用，19211921年爱瓦尔德发展了这种晶体学表年爱瓦尔德发展了这种晶体学表达方法。达方法。正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规正点阵：与晶体结构相关，描述晶体中物质的分布规律，是物质空间或正空间。律，是物质空间或正空间。倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射倒易点阵：与晶体中的衍射现象相关，描述的是衍射强度的分布，是倒空间。强度的分布，是倒空间。晶体的空间点阵是描述原子或原子团

17、在三维空晶体的空间点阵是描述原子或原子团在三维空间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体间中平移周期性的一种表达方式，是由具体的晶体结构抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实结构抽象出来的。由于空间点阵的内容代表了真实的物质，是具体的客观存在。的物质，是具体的客观存在。倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒倒易空间点阵是由正空间点阵推导出来的，倒易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观易空间点阵不代表真实的物质内容，是抽象的客观存在。但是倒易空间点阵在描述存在。但是倒易空间点阵在描述X射线和电子衍射射线和电子衍射方面具有诸多便利。因为从倒易阵点与反射球面的方面具有诸多便利。因为从倒

18、易阵点与反射球面的相对几何关系就能判断在方向是否有衍射束出现。相对几何关系就能判断在方向是否有衍射束出现。倒易点阵倒易点阵倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点倒易点阵是由正点阵派生出的几何图像，是晶体点阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电阵的另一种表达形式。可以将晶体点阵结构与其电子或子或X X射线衍射斑点很好联系起来。射线衍射斑点很好联系起来。我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒我们观测到的衍射花样实际上是满足衍射条件的倒易点阵的投影。易点阵的投影。倒易点阵已成为解释物质衍射现象、揭示晶体结构、倒易点阵已成为解释物质衍射现象、揭示晶体结构、以及理论研究中不可缺少的手段

19、和工具以及理论研究中不可缺少的手段和工具倒易点阵倒易点阵倒易点阵的定义倒易点阵的定义假设给定一个基矢为假设给定一个基矢为a,b,ca,b,c的正点阵，则必然有一个倒易点的正点阵，则必然有一个倒易点阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为阵与它相对应，记倒易晶胞的基矢为a*,b*,c*a*,b*,c*，两者之间，两者之间的关系为：的关系为：分别将上式点乘分别将上式点乘a a，b b，c c得到：得到：aa*=bb*=cc*=1 ab*=ac*=ba*=bc*=ca*=cb*=0daba ab bc cc c*c c*a a,c c*b;b;c c*=(=(a a,b b构成的平行四边形的面积）构成的平行

20、四边形的面积）/（晶胞体积）（晶胞体积）1/1/d dabab001*(001)倒易点阵的定义倒易点阵的定义倒易点阵与正点阵倒易点阵与正点阵根据定义在倒易点阵中根据定义在倒易点阵中,从倒易原点到任一倒易从倒易原点到任一倒易点点(hkl)(hkl)的矢量称倒易的矢量称倒易矢量矢量g ghklhkl g*g*hkl hkl =可以得出可以得出:1.g*1.g*矢量的长度等于其对应晶矢量的长度等于其对应晶面间距的倒数面间距的倒数 g*g*hklhkl =1/d=1/dhklhkl 2.2.其方向与晶面相垂直其方向与晶面相垂直 g*/N(g*/N(晶面法线晶面法线)3.3.倒易点阵中的一个点代表倒易点

21、阵中的一个点代表的是正点阵中的一组晶面的是正点阵中的一组晶面1晶面间距晶面间距 *=例：立方系例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 倒易点阵的作法倒易点阵的作法 首先求基矢，然后利用基矢绘图。首先求基矢，然后利用基矢绘图。由由a,b,c,求求a*,b*,c*,*,*,*进而求倒易点阵进而求倒易点阵.同样可求同样可求 得得b*,c*。同样可求同样可求 得得*,*。正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。正空间七大晶系在倒易空间它的晶系仍然不变。正空间所有的矢量运算正空间所有的矢量运算-埸论，在倒易空间均能用。埸论，在倒易空间均能用。对于一种正点阵，其倒易点阵是唯对于一种正点阵

22、，其倒易点阵是唯一的，与基矢的选取无关一的，与基矢的选取无关.正、倒点阵在晶体几何中的关系正、倒点阵在晶体几何中的关系 正、倒点阵在晶体几何中的关系正、倒点阵在晶体几何中的关系1 1）正点阵中的一个方向）正点阵中的一个方向uvwuvw垂直与倒易点阵中的一个同垂直与倒易点阵中的一个同名晶面（名晶面（uvwuvw）*,*,即即uvw uvw （uvwuvw）*。倒易点阵中的一个方向倒易点阵中的一个方向hkl*hkl*垂直于正点阵中的同名晶垂直于正点阵中的同名晶面面(hkl).hkl*(hkl)(hkl).hkl*(hkl)（证明）（证明）2 2）正点阵中，晶面（）正点阵中，晶面（hklhkl）的面

23、间距）的面间距d dhklhkl是其同名倒易矢量是其同名倒易矢量长度长度g ghklhkl的倒数，即的倒数，即d dhklhkl=1/g=1/ghklhkl;（证明）（证明）倒易点阵中，晶面（倒易点阵中，晶面（uvwuvw）*的面间距的面间距d duvwuvw*是正点阵中同是正点阵中同名矢量长度名矢量长度r ruvwuvw的倒数，即的倒数，即d duvwuvw*1/r1/ruvwuvw。倒易点阵在晶体学中的应用倒易点阵在晶体学中的应用 1晶面间距公式晶面间距公式 *=例：立方系例：立方系 a*=b*=c*=1/a，*=*=*=90 1/dHKL2=（H2+K2+L2）a2二个面的夹角就是由二个

24、面法线的夹角来表示，而在这里就二个面的夹角就是由二个面法线的夹角来表示，而在这里就是二个面对应的倒易矢量之间夹角。是二个面对应的倒易矢量之间夹角。（H1K1L1）（H2K2L2）倒易点阵在晶体学中的应用倒易点阵在晶体学中的应用 由此式可求出夹角由此式可求出夹角 例例 立方系立方系 课堂习题课堂习题 1.试求出立方晶系试求出立方晶系111晶带的倒易点阵平面。晶带的倒易点阵平面。解：利用晶带定律：HU+KV+LW=0 ，用试探法，根椐晶带定律找出不共线的的两个倒易点。代入晶带定律检证 ，利用公式计算两倒易点对应倒易矢量的长度和夹角。根椐点阵特征周期性，绘出晶带其它的倒易点。根椐点阵特征周期性，绘出

25、晶带其它的倒易点。课堂习题课堂习题倒易点阵的性质总结倒易点阵的性质总结1 1）正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系：）正点阵基矢与倒易点阵基矢之间的关系：aa*=bb*=cc*=1 ab*=ac*=ba*=bc*=ca*=cb*=0 2 2）倒易点阵中，由原点）倒易点阵中，由原点O O*指向任意坐标为（指向任意坐标为（h,k,lh,k,l）阵点的矢量阵点的矢量g ghklhkl（倒易矢量）为：（倒易矢量）为：ghkl=ha*+kb*+lb*3 3）倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数）倒易矢量的长度等于正点阵中相应晶面间距的倒数 ghkl=1/dhkl4）对于正交点阵，有：对于正交点阵，

26、有：a/a*,b/b*,c/c*a*=1/a,b*=1/b,c*=1/c5）在立方点阵中，晶面法线方向和同指数的的晶在立方点阵中，晶面法线方向和同指数的的晶 向是重合向是重合(平行平行)的。即倒易矢量的。即倒易矢量g ghklhkl是与相应是与相应 指数的晶向指数的晶向hklhkl平行的。平行的。倒易点阵的性质总结倒易点阵的性质总结(hkl)(hkl)晶面可用一个矢量或矢量端点来表示，显然，晶面可用一个矢量或矢量端点来表示，显然，这种将二维平面用一维矢量或零维点来表示的方法，这种将二维平面用一维矢量或零维点来表示的方法，使晶体几何关系简单化。使晶体几何关系简单化。一个晶带的所有面的矢量（点）位

27、于同一平面，具有一个晶带的所有面的矢量（点）位于同一平面，具有上述特性的点、矢量、面分别称为倒易点，倒易矢量、上述特性的点、矢量、面分别称为倒易点，倒易矢量、倒易面。因为它们与晶体空间相应的量有倒易关系。倒易面。因为它们与晶体空间相应的量有倒易关系。倒易点阵与衍射点阵关系倒易点阵与衍射点阵关系晶带与倒易面晶带与倒易面正、倒点阵之间晶带之间的倒易关系正、倒点阵之间晶带之间的倒易关系正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应，正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应，或者倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带。或者倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带

28、。由于晶带轴由于晶带轴uvwuvw与晶带面与晶带面(hkl)(hkl)的倒易矢之间存在的倒易矢之间存在uvw uvw hkl*hkl*关系，所以：关系，所以：已知两个晶面（已知两个晶面（h h1 1k k1 1l l1 1）,（h h2 2k k2 2l l2 2）,即可利用晶带轴定律，即可利用晶带轴定律，求出晶带轴。求出晶带轴。h1 k1 l1 h1 k1 l1u:v:w=h2 k2 l2 h2 k2 l2例例（1 0 21 0 2）面与（）面与（3 4 23 4 2）面的晶带轴计算。）面的晶带轴计算。晶带与倒易面晶带与倒易面正空间正空间倒空间倒空间晶带正空间晶带正空间与倒空间对与倒空间对应

29、关系图应关系图晶带与倒易面晶带与倒易面将所有将所有hklhkl晶面相对应的倒易点都画出来晶面相对应的倒易点都画出来,就构就构成了倒易点阵成了倒易点阵,过过O O*点的面称为点的面称为0 0层倒易面层倒易面,上、上、下和面依次称为下和面依次称为11，22层倒易面。层倒易面。晶体点阵和倒易点阵实际是互为倒易的。晶体点阵和倒易点阵实际是互为倒易的。r=ua+vb+wc r=ua+vb+wc rg=hu+kv+lw=N rg=hu+kv+lw=N晶带与倒易面晶带与倒易面 与 的关系示意图晶带与倒易面晶带与倒易面晶带定律晶带定律rg=0rg=0，狭义晶带定律，狭义晶带定律，倒易矢量与倒易矢量与r r垂直，它们垂直，它们构成过倒易点阵原点的倒构成过倒易点阵原点的倒易平面易平面rgrgN N，广义晶带定律，广义晶带定律,倒易矢量与倒易矢量与r r不垂直。这时不垂直。这时g g的端点落在第非零层倒易的端点落在第非零层倒易结点平面。结点平面。晶带与倒易面晶带与倒易面