数学物理方法12格林函数.ppt

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1、第十二章第十二章 格林函数法格林函数法 格林（格林（GreenGreen）函数）函数，又称为点源影响函数，是数学物理中的，又称为点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初一个重要概念格林函数代表一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计始条件下所产生的场知道了点源的场，就可以用叠加的方法计算出任意源所产生的场算出任意源所产生的场 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一 一、一、格林公式格林公式上具有连续一阶导数上具有连续一阶导数,在区域在区域 及其边界及其边界 和和 中具

2、有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理中具有连续二阶导数，应用矢量分析的高斯定理(12.1.1)将对曲面将对曲面 的积分化为体积分的积分化为体积分 12.1 泊松方程的格林函数法泊松方程的格林函数法以上用到公式以上用到公式称上式为称上式为第一格林公式第一格林公式同理有同理有 上述两式相减得到上述两式相减得到 表示沿边界表示沿边界 的外法向偏导数的外法向偏导数称为称为第二格林公式第二格林公式进一步改写为进一步改写为二、泊松方程的格林函数法二、泊松方程的格林函数法1、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题、讨论具有一定边界条件的泊松方程的定解问题 泊松方程泊松方程 边值条件边值条件 是区域边界是

3、区域边界 上给定的函数上给定的函数.是第一、第二、第三类边界条件的统一描述是第一、第二、第三类边界条件的统一描述 典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题典型的泊松方程（三维稳定分布）边值问题 表示边界面表示边界面 上沿界面外法线方向的偏导数上沿界面外法线方向的偏导数 泊泊松松方方程程第一类边界条件：第一边值问题第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题狄里希利问题)第二类边界条件：第二边值问题第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题诺依曼问题)第三类边界条件：第三边值问题第三类边界条件：第三边值问题2、格林函数的引入及其物理意义、格林函数的引入及其物理意义 引入：为了求解泊松方程的定解问题，我

4、们必须定引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定义一个与此定解问题相应的格林函数义一个与此定解问题相应的格林函数 它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类条件：条件：代表三维空间变量的代表三维空间变量的 函数函数，在直角坐标系中其形式为，在直角坐标系中其形式为 格林函数的物理意义格林函数的物理意义：在区域在区域T内部内部 处放置一个点源，而在该区域处放置一个点源，而在该区域T的界的界面上为零的条件下面上为零的条件下,那么该点点源在区域那么该点点源在区域T内内r处产生处产生的场，由此可以进一步理解通常人们为什么称格林函的场，由此可以进一

5、步理解通常人们为什么称格林函数为点源函数数为点源函数 格林函数互易定理格林函数互易定理：因为格林函数因为格林函数 代表代表 处的点源在处的点源在 处所产生的影响（或所产生的场）处所产生的影响（或所产生的场）,所以它只能是距离所以它只能是距离 的函数的函数,故它应该遵守如下的互易定理：故它应该遵守如下的互易定理：根据格林第二公式根据格林第二公式 令令得到得到 根据根据函数性函数性质质有：有：故有故有 称为称为泊松方程的基本积分公式泊松方程的基本积分公式 格林函数满足互易定理格林函数满足互易定理 并利用格林函数的对称性则得到并利用格林函数的对称性则得到 考虑格林函数所满足的边界条件讨论如下考虑格林

6、函数所满足的边界条件讨论如下：1.第一类边值问题：第一类边值问题：相相应应的格林函数的格林函数是下列是下列问题问题的解：的解：考考虑虑到格林函数的到格林函数的齐齐次次边边界条件界条件，第一类边值问题的解第一类边值问题的解 2.第二类边值问题第二类边值问题 相相应应的格林函数的格林函数是下列是下列问题问题的解：的解：由公式可得由公式可得第二类边值问题解第二类边值问题解 3.第三类边值问题第三类边值问题 相相应应的格林函数的格林函数是下列是下列问题问题的解：的解：泊松方程泊松方程的的边值边值条件条件，两，两边边同乘以格林函同乘以格林函格林函数格林函数的的边值边值条件的两条件的两边边同同乘以乘以函数

7、函数得得 相减得相减得到到代入（）得到代入（）得到第三第三类边值问题类边值问题的解的解 这就是第三边值问题解的积分表示式这就是第三边值问题解的积分表示式右边第一个积分表示区域右边第一个积分表示区域 中分布的源中分布的源 在在点点产产生的生的场场的的总总和和.第二个第二个积积分分则则代表代表边边界上的状况界上的状况对对 点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明点场的影响的总和两项积分中的格林函数相同这说明泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的场场 对于对于拉普拉斯方程拉普拉斯方程 第一边值问题的解为第一边值问题的解为第三边值问题

8、的解第三边值问题的解为为12.2无界空无界空间间的格林函数的格林函数 基本解基本解无界区域这无界区域这种情形公式中的种情形公式中的面积分应为零，面积分应为零，故有故有 选选取取和和分分别满别满足下列方程足下列方程 三三维维球球对对称称对于对于三维球对称情形三维球对称情形，我们选取，我们选取 对对上上式两边在球内积分式两边在球内积分 （）（）（）（）利用高斯定理利用高斯定理（）得到（）得到 (14.3.6)故有故有 使上式恒成立使上式恒成立，有，有 因此因此，,故得到故得到 对对于三于三维维无界球无界球对对称情形的格林函数可以称情形的格林函数可以选选取取为为代入代入（）得到（）得到三三维维无界区

9、域无界区域问题问题的解的解为为上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式 二二维轴对称情形称情形用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即用单位长的圆柱体来代替球积分在单位长的圆柱体内进行，即因为因为由于由于 只是垂直于只是垂直于轴轴，且向外的分量，所以上式在，且向外的分量，所以上式在圆柱体上、下底的圆柱体上、下底的面积分为零面积分为零，只剩下沿，只剩下沿侧面的积分，侧面的积分，即即 选取的选取的圆柱的高度圆柱的高度为单位长，则很容易得到下面的结果为单位长，则很容易得到下面的结果 令令积积分常数分常数为为0，得到得到 因此二因此二维轴对维轴对称情形

10、的格林函数称情形的格林函数为为 将（）代入式（）得到将（）代入式（）得到二二维维无界区域的解无界区域的解为为 用电像法确定格林函数用电像法确定格林函数用格林函数法求解的主要困难还在于用格林函数法求解的主要困难还在于如何确定格林函数本身如何确定格林函数本身 一个具体的定解问题，一个具体的定解问题，需要寻找一个合适的格林函数需要寻找一个合适的格林函数 为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法为了求解的方便，对一些具体问题我们给出构建格林函数的方法 电像法电像法 考虑一个具体的考虑一个具体的物理模型：设物理模型：设在一接地导体球内的在一接地导体球内的 放置一个单位正电荷，求在体内的电

11、势分布，并满足边界条件为零放置一个单位正电荷，求在体内的电势分布，并满足边界条件为零 点点对对于于第一第一类边值问题类边值问题，其格林函数可定，其格林函数可定义为义为下列定解下列定解问题问题的解的解 为了满足边界条件：电势为零，所以还得在为了满足边界条件：电势为零，所以还得在边界外像点边界外像点（或对称点）（或对称点）放置放置一个合适的负电荷，这样才能使这两个电一个合适的负电荷，这样才能使这两个电荷在界面上产生的电势之和为零荷在界面上产生的电势之和为零 这方法是基于这方法是基于静电学的镜像原理来构建格林函数静电学的镜像原理来构建格林函数，所，所以我们称这种构建方法为以我们称这种构建方法为电像法

12、（也称为镜像法）电像法（也称为镜像法）上半平面区域第一边值问题的格林函数构建上半平面区域第一边值问题的格林函数构建拉普拉斯方程的第一边值问题求解拉普拉斯方程的第一边值问题求解物理模型：物理模型：若在若在 处放置一处放置一正单位点电荷正单位点电荷 则虚设的则虚设的负负单位点电荷单位点电荷应该在应该在 于是得到这两点于是得到这两点电荷电荷在在 xoy 的上半平面的的上半平面的电位分布电位分布也就是本问题的格林函数，即为也就是本问题的格林函数，即为 （）（）据上述据上述物理模型物理模型可求解下列定解问题可求解下列定解问题 例例14.6.1 定解问题：定解问题：【解解】根据根据第一边值问题，第一边值问

13、题，构建的格林函数满足构建的格林函数满足 处处放置于一个正和一个放置于一个正和一个负负的点的点电电荷（或点源）荷（或点源）构构建格林函数建格林函数为为 边边界外法界外法线线方向方向为负为负轴轴，故有，故有 代入到代入到拉普拉斯第一拉普拉斯第一边值问题边值问题解的公式（解的公式（14.2.13），拉普拉斯），拉普拉斯方程的方程的自由自由项项,则则由由得得 (14.4.3)或代入或代入拉普拉斯方程的拉普拉斯方程的第一第一边值问题边值问题的解公式（）的解公式（）得到得到 (14.4.4)公式（）或（）称为公式（）或（）称为 上半平面的拉普拉斯积分公式上半平面的拉普拉斯积分公式2.泊松方程的第一边值问

14、题求解泊松方程的第一边值问题求解 例例14.6.2 定解问题：定解问题：根据根据第一类边值问题的解公式第一类边值问题的解公式(14.2.14)(14.2.14)得到得到 （）（）根据根据半平面区域第一类边值问题的格林函数半平面区域第一类边值问题的格林函数(14.4.2)式式，得到，得到 (14.4.6)因因为边为边界上的法界上的法线为负线为负y轴轴，故，故 (14.4.7)将（）和将（）和(14.4.7)代入（）得到泊松方程在代入（）得到泊松方程在半平面区域第一半平面区域第一边值边值问题问题的解的解14.4.2 上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题上半空间内求解拉普拉斯方程的第一边值问题物

15、理模型物理模型:例例14.4.3 在在上半空间上半空间内求解拉普拉斯方程的内求解拉普拉斯方程的第一第一边值问题边值问题【解解】构建格林函数构建格林函数满满足足根据根据物理模型和无界区域的格林函数物理模型和无界区域的格林函数可以构建为可以构建为(14.4.8)即有即有 为为了把了把代入代入拉普拉斯拉普拉斯第一第一边值问题边值问题的解的公式（），的解的公式（），需要先计算需要先计算即即为为 代入代入（）即得到（）即得到 这这公式叫作公式叫作半空间的拉普拉斯积分半空间的拉普拉斯积分（）（）14.4.3 圆形区域第一边值问题的格林函数构建圆形区域第一边值问题的格林函数构建物理模型物理模型【2】：在圆内

16、任找一点在圆内任找一点 放置一个放置一个单单位位根据根据图图14.2，这这两两线电线电荷在荷在圆圆内任一内任一观观察点察点所所产产生的生的电势电势为为当当观观察点察点位于位于圆圆周上周上时时，应该应该有有，即，即满满足足第一第一类齐类齐次次边值边值条件条件 ,即即为为上式上式应对应对任何任何值值成立，所以上式成立，所以上式对对的的导导数数应为应为零零，即，即即得到即得到 要求上式要求上式对对任意任意的的值值要成立，故提供了确定要成立，故提供了确定的方程的方程 联联立解得立解得 于是于是圆圆形区域形区域的第一的第一类边值问题类边值问题的格林函数的格林函数为为 （）（）即即为为 (14.4.11)

17、.其中其中例例 求解如下泊松方程定解问题求解如下泊松方程定解问题 根据根据第一类边值问题解的公式第一类边值问题解的公式(14.2.14)，并取沿垂，并取沿垂直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积直于圆的方向取单位长积分，这样原来的体积分化为面积分，原来的面积分化为线积分故得到分，原来的面积分化为线积分故得到 根据构建的根据构建的圆圆内第一内第一边值问题边值问题的格林函数（）的格林函数（）（）（）代入得到代入得到圆圆内第一内第一边值问题边值问题的解的解为为 (14.4.13)例例 在圆在圆内求解拉普拉斯方程的第一内求解拉普拉斯方程的第一边值问题边值问题【解解】根据根据公式（）公式（），故有故有 （）（）