数列函数的极限.ppt

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1、第三节第三节 数列的极限数列的极限数列的极限数列的极限例如例如一、数列的定义一、数列的定义定义定义:按自然数编号依次排列的一列数按自然数编号依次排列的一列数 称为称为数列数列.其中的每个数称为其中的每个数称为数列的数列的项项,xn称为称为通项通项(一般项一般项).数数列列(1)记记为为 xn.注意注意：1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列可以看作自变量是正整数数列可以看作自变量是正整数 n 的函数的函数二、极限思想的引入二、极限思想的引入割圆术割圆术(刘徽刘徽 公元公元3世纪世纪)正内接六边形、正十二边形，正内接六边

2、形、正十二边形，的面积，的面积构成了一个数列：构成了一个数列：在上面的例子中，随着在上面的例子中，随着n 的增大，正多边形的的增大，正多边形的面积与圆面积的差别越来越小。面积与圆面积的差别越来越小。当当n无限增大时，正多边形的面积无限接近于无限增大时，正多边形的面积无限接近于圆面积圆面积S。一般地，如果当一般地，如果当 n 无限增大时（即无限增大时（即 ），），对应的对应的无限接近无限接近于某一个确定的数值于某一个确定的数值 a，那么，那么这个数值这个数值 a 就称为数列就称为数列的极限。的极限。01三、数列极限的定义三、数列极限的定义问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用

3、数学如何用数学语言刻划它语言刻划它.例如：例如：01x例如：例如：数列极限定义数列极限定义如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小),都成立都成立,那么就称常数那么就称常数 是数列是数列 的极限的极限,或者称数列或者称数列收敛收敛于于 ,总存在正数总存在正数 ,使得对于使得对于 时的一切时的一切 ,或或记为记为如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：几何解释几何解释:任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,数列的数列的有界性有界性例如例如,有界有界无界无界定理定理1（极限的唯

4、一性）（极限的唯一性）数列数列xn的极限是唯一的。的极限是唯一的。定理定理2（有界性）（有界性）如果数列如果数列xn收敛，那么数列收敛，那么数列xn一定有界。一定有界。注意：数列有界不一定收敛。注意：数列有界不一定收敛。例如：例如：小结小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、几何意义，极限思想、几何意义，收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性有界性 唯一性唯一性第四节 函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限 1，数列极限是函数极限的一种特例，因为，数列极限是函数极限的一种特例，因为数列可以看作自变量为自然数的函数：数列可以看作自

5、变量为自然数的函数：数列极限就是当自变量数列极限就是当自变量 n 无限增大时无限增大时所对应的函数值所对应的函数值 xn 的极限。的极限。当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，当自变量不取正整数而是取实数趋于无穷大时，就是函数极限形式。就是函数极限形式。2、定义、定义任给任给 ,存在存在 N,当当 nN 时时,3、另外两种情形：、另外两种情形：(自变量只向一个方向无限增大自变量只向一个方向无限增大)定理：定理：4、极限、极限 的定义的几何意义的定义的几何意义 当x时，函数f(x)以A为极限:对于任意给定的正数e 存在着正数X 当|x|X时 有不等式|f(x)-A|N 时时,任给任给 ,存在

6、正数存在正数X,当当|x|X 时时,定义：定义：函数极限的几何意义函数极限的几何意义 使当使当0|x-x0|d d 时时|f(x)-A|e e 对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e 总存在一个正数总存在一个正数d d 当当x趋于趋于x0时时 f(x)以以A为极限为极限 A-eA+eAx0-dx0+d y=f(x)x0任给任给 0,总总存在存在 0,使得当使得当 0|x-x0|时时,恒有恒有|f(x)-A|N 时时,恒有恒有任给任给 ,存在存在X0,使得当使得当|x|X 时时,恒有恒有任给任给 0,总总存在存在 0,使得当使得当 0|x-x0|时时,恒有恒有|f(x)-A|0,总总存在存在 0,使得当使得当 0 x0-x 时时,恒有恒有|f(x)-A|0,总总存在存在 0,使得当使得当 0 x-x0 时时,恒有恒有|f(x)-A|