数学家的故事-高斯.ppt

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1、数数学学家家的的故故事事高斯 约翰约翰卡尔卡尔弗里德里希弗里德里希高斯（高斯（Johann Johann Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss，17771777年年4 4月月3030日日18551855年年2 2月月2323日），德国著名数学家、物理学日），德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家者之一。高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有之一，并享有“数学王子数学王子”之称。之称。高斯和阿基米德、牛顿并列为世界三大数高斯和阿基米德、牛顿并

2、列为世界三大数学家。一生成就极为丰硕，以他名字学家。一生成就极为丰硕，以他名字“高斯高斯”命名的成果达命名的成果达110110个，属数学家中之最。他对个，属数学家中之最。他对数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学皆有贡献。矩阵理论和光学皆有贡献。高斯的成就数学数学 高斯已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上高斯已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关述

3、边数两倍的正多边形的几何作图是能够用圆规和直尺实现的，但从那时起关于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数于这个问题的研究没有多大进展。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十的正多边形是否可以几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一个。这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论这些关於数论的工作对代数数的现代算术理论(即代数方程的解法即代数方程的解法)作出了作出了贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术

4、理论，复整数在高斯以前贡献。高斯还将复数引进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。只是直观地被引进。18311831年年(发表於发表於18321832年年)他给出了一个如何藉助於他给出了一个如何藉助於x,yx,y平面平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，欧几里得是建立系统性几何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是

5、透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一条与该直线平行的线。该直线平行的线。不久就有人推测这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。不久就有人推测这一公理可从其他一些公理推导出来，因而可从公理系统中删去。但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的但是关於它的所有证明都有错误。高斯是最早认识到可能存在一种不适用平行线公理的几何学

6、的人之一。他逐渐得出革命性的结论确实存在这样的几何学，其内部相容并且几何学的人之一。他逐渐得出革命性的结论确实存在这样的几何学，其内部相容并且没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表没有矛盾。但因为与同代人的观点相背，他不敢发表(参阅非欧几里得几何条参阅非欧几里得几何条)。当当18301830年前后匈牙利的波尔约年前后匈牙利的波尔约(Janos Bolyai)(Janos Bolyai)和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非和俄国的罗巴切夫斯基独立地发表非欧几何学时，高斯宣称他大约在欧几何学时，高斯宣称他大约在3030年前就得到同样的结论。高斯也没有发表特殊复函数年前就得到同样的结论。高斯也没

7、有发表特殊复函数方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死方面的工作，可能是因为没有能从更一般的原理导出它们。因此这一理论不得不在他死后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。后数十年由其他数学家从他著作的计算中重建。1830 1830年前后，极值年前后，极值(极大和极小极大和极小)原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能地位，例如流体保持静止的条件等问题。在探讨毛细作用时，他提出了一个数学公式能将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流

8、体粒子和与它接触的固体或流体粒子之将流体系统中一切粒子的相互作用、引力以及流体粒子和与它接触的固体或流体粒子之间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从间的相互作用都考虑在内。这一工作对於能量守恒原理的发展作出了贡献。从18301830年起年起高斯就与物理学家威廉高斯就与物理学家威廉爱德华爱德华韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起韦伯密切合作。由於对地磁学的共同兴趣，他们一起建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为建立了一个世界性的系统观测网。他们在电磁学方面最重要的成果是电报的发展。因为他们的资金有限，所以试验都是小规模

9、的。他们的资金有限，所以试验都是小规模的。高斯的成就天文天文 1801 1801天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已，认为火星和木星间应该还有行星未被发现。该还有行星未被发现。1801 1801年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（年的元旦，一位意大利天文学家在西西里岛观察到在白羊座（AriesAries）附）附近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（近有光度八等的星移动，这颗如今被称作谷神星（CeresCeres）的小行星在天空出现了）的小行星在天空出现了4141天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪

10、影。天，扫过八度角之后，就在太阳的光芒下没了踪影。我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个，当时天文学家无法确定这颗新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是新星是彗星还是行星，必须继续观察才能判决，但是PiazziPiazzi只能观察到它只能观察到它9 9度的轨度的轨道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是道，再来，它便隐身到太阳后面去了。因此无法知道它的轨道，也无法判定它是行星或彗星。行星或彗星。高斯也对这颗星着了迷，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯高斯也对这颗星着了迷，他决定解

11、决这个捉摸不到的星体轨迹的问题。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法。他可以极准确地预测行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。行星的位置。他利用天文学家提供的观测资料，不慌不忙地算出了它的轨迹。果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法虽然他果然，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现。这个方法虽然他当时没有公布就是当时没有公布就是“最小平方法最小平方法”。在天文学中这一成就立即得到公认。在天文学中这一成就立即得到公认。他在天体运动理论他在天体运动理论(1809)(18

12、09)中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修中叙述的方法今天仍在使用，只要稍作修改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星智神星方面也获得类似的改就能适应现代计算机的要求。高斯在小行星智神星方面也获得类似的成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。成功。考虑到其他行星对智神星轨道的摄动，高斯改进了他的计算。这时他这时他的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三的声名远播，荣誉滚滚而来。自那以后，行星、大行星（海王星）接二连三地被发现了。地被发现了。1807 1807年他成为格丁根大学的天文学教授和新天文台台长，直到逝世。年他成为格丁根大学的天文学教授和新天

13、文台台长，直到逝世。18091809年，在结婚年，在结婚4 4年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第年后和第三个孩子刚出世不久，他第一个妻子去世。他的第二次婚姻二次婚姻(1810(18101831)1831)带给他两个儿子和一个女儿。带给他两个儿子和一个女儿。在在18121812年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给年，他研究了超几何级数，并且把研究结果写成专题论文，呈给哥廷根皇家科学院。哥廷根皇家科学院。高斯的成就大地测量大地测量 1820 1820年前后，高斯把注意力转向大地测量年前后，高斯把注意力转向大地测量用数学方法测定地球表面的形用数学方法测定地球表面

14、的形状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。状和大小。他把很多时间用於大地测量的理论研究和野外工作。为了增加测量的精确度，他发明了回光仪为了增加测量的精确度，他发明了回光仪(一种利用日光以保证比较精确测量一种利用日光以保证比较精确测量的仪器的仪器)。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线。他还引进了所谓的高斯误差曲线，并指出概率如何能用变差的钟形曲线(一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础一般称为正态曲线，它是刻画数据统计分布的基础)来表示。来表示。他还对透过实际的大地测量确定地球形状感兴趣，这个工作使他回到了纯理他还对透过实际的大地测量确定地球形

15、状感兴趣，这个工作使他回到了纯理论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透论。他利用这些测量数据发展了曲面论，按照这一理论，一个曲面的特徵只要透过测量曲面上曲线的长度就能确定。过测量曲面上曲线的长度就能确定。这种内蕴曲面论启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几这种内蕴曲面论启发了他的学生黎曼发展三维或多维空间的一般内蕴几何学。这是黎曼何学。这是黎曼18541854年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大年在格丁根就职演说的题目，据说也是困扰高斯的问题。大约约6060年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广义相对论的数学基础。年以后黎曼的思想形成爱因斯坦广

16、义相对论的数学基础。与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在与他在引力和磁学方面的兴趣有密切关系的是他在18401840年发表的实分析论文。年发表的实分析论文。这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他这一论文成为现代位势理论的出发点。这可能是他所有的工作中唯一没有达到他本人高标准要求的一个。只有到本人高标准要求的一个。只有到2020世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻世纪初数学家在不同原理的基础上或藉助於寻求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。求高斯结论是完全正确的成立条件，才有可能重新发展位势理论。1820 1820到到1830183

17、0年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他年间，高斯为了测绘汗诺华公国的地图，开始做测地的工作，他写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯写了关于测地学的书，由于测地上的需要，他发明了日观测仪。高斯和韦伯（Withelm Weber)Withelm Weber)一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高一起从事磁的研究，他们的合作是很理想的：韦伯作实验，高斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，斯研究理论，韦伯引起高斯对物理问题的兴趣，而高斯用数学工具处理物理问题，影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构

18、造了世界第一个电报机，设立影响韦伯的思考工作方法。以伏特电池为电源，构造了世界第一个电报机，设立磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北磁观测站，和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。极的位置。高斯的研究领域 高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。他还把数学应用于天文学、大地测量学和磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生共发表学、大地测量学和

19、磁学的研究，发明了最小二乘法原理。高斯一生共发表155155篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品篇论文，他对待学问十分严谨，只是把他自己认为是十分成熟的作品发表出来。发表出来。高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在高斯首先迷恋上的也是自然数。高斯在18081808年谈到：年谈到：“任何一个花过任何一个花过一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。一点功夫研习数论的人，必然会感受到一种特别的激情与狂热。”高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有

20、许多数学家认为已给出了这创了数学研究的新途径。事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一个结果的证明，可是没有一个证明是严密的。高斯把前人证明的缺失一一指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。高指出来，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。高斯在斯在18161816年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了年左右就得到非欧几何的原理。他还深入研究复变函数，建立了一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数的双周期性，一些基本概念发现了著名的柯西积分定理。他还发现椭圆函数

21、的双周期性，但这些工作在他生前都没发表出来。但这些工作在他生前都没发表出来。在物理学方面高斯最引人注目的成就是在在物理学方面高斯最引人注目的成就是在18331833年和物理学家韦伯发明年和物理学家韦伯发明了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，了有线电报，这使高斯的声望超出了学术圈而进入公众社会。除此以外，高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡高斯在力学、测地学、水工学、电动学、磁学和光学等方面均有杰出的贡献。献。高斯的个人著作著作出版时间著作介绍算算术研究研究18011801年年介介绍了同余、二次互逆定理了同余、二次互逆定理天体运天体运动理理

22、论18091809年年天体运天体运动的著作的著作曲面的一般研究曲面的一般研究18271827年年阐述了空述了空间曲面的微曲面的微积分几何学分几何学关于代数基本定理的博士关于代数基本定理的博士论文文17991799年年证明了每个复系数方程必有复数解明了每个复系数方程必有复数解高等大地高等大地测量学理量学理论上上1843/441843/44年年地理地理测量量高等大地高等大地测量学理量学理论下下1846/471846/47年年地理地理测量量地磁的一般理地磁的一般理论18391839年年地磁概念地磁概念18401840年年论与距离平方成反比的引力与距离平方成反比的引力和斥力的普遍定律和斥力的普遍定律18401840年年谢谢欣赏！