数学物理方法期末复习ppt.ppt

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1、1教教 材材：梁昆淼编写的梁昆淼编写的数学物理方法数学物理方法第四版第四版 内内 容容第一篇第一篇 复变函数论复变函数论第二篇第二篇 数学物理方程数学物理方程数数 学学 物物 理理 方方 法法2第一章第一章 复变函数复变函数1 1、复数的定义、复数的定义一、复数一、复数实部实部：虚部虚部：模模：辐角辐角：主辐角：主辐角：共轭复数共轭复数:三角式三角式指数式指数式代数式代数式重点：复数三种表示式之重点：复数三种表示式之间的的转换！32、复数的运算、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方加、减、乘、除、乘方、开方(1)、加法和减法、加法和减法(2)、乘法和除法、乘法和除法 4(2)、乘法和除法、乘

2、法和除法 两复数相除就是把模数相除两复数相除就是把模数相除,辐角相减。角相减。两复数相乘就是把模数相乘两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加角相加;5(3)复数的乘方和复数的乘方和开方（开方（重点掌握重点掌握）或或(n为正整数的情况为正整数的情况)复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式或指数式往往比代数式来得方便或指数式往往比代数式来得方便。棣莫弗公式棣莫弗公式：6二、六种初等复变函数二、六种初等复变函数：1.幂函数幂函数2.指数函数指数函数 周期为周期为2i，3.3.三角函数三角函数周期为周期为2 74、双曲函数、双曲函数 5、根式函数、根式函数 周期为

3、周期为2i6、对数函数、对数函数 8例例1：已知已知 ，则，则 。例例2：复数：复数ez 的模为的模为 ，辐角为，辐角为 .例3：已知 ，表示成指数形式为：。例4：已知 或 ，可以化简：为：或 。9三、解析函数三、解析函数1 1、柯西、柯西-黎曼方程黎曼方程 直角坐标系：直角坐标系：极坐标系：极坐标系：2、解析函数性质：、解析函数性质：(1)、若、若 是解析函数，则是解析函数，则 。(2)、若函数、若函数 在区域在区域 B上解析，则上解析，则 u和和v必为必为B上的上的相互共轭调和函数相互共轭调和函数。10第五章第五章 傅里叶变换傅里叶变换 一、傅里叶级数一、傅里叶级数1 1、周期函数、周期函

4、数(T=2l)的傅里叶展开的傅里叶展开 一般周期函数：一般周期函数：(5.1.3)、(5.1.5)；P69-70 奇函数：奇函数：(5.1.8)、(5.1.9)；P71 偶函数：偶函数：(5.1.10)、(5.1.11)；P71 傅里叶正弦傅里叶正弦级数数傅里叶余弦傅里叶余弦级数数傅里叶傅里叶级数数112 2、定义在有限区间、定义在有限区间(0,(0,l)上的函数的傅里叶展开上的函数的傅里叶展开 对函数对函数f(x)的边界的边界（区间的端点区间的端点x=0,x=l）上的行为提出上的行为提出限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。限制，即满足一定的边界条件，这常常就决定了如何延拓。(

5、1)、边界条件为边界条件为f(0)=0,(0)=0,f(l)=0)=0 应延拓成以应延拓成以2 2l为周期的奇函为周期的奇函数数(奇延拓奇延拓)(2)、边界条件为边界条件为应延拓成以应延拓成以2l为周期的偶函数为周期的偶函数(偶延拓偶延拓)12(3)、边界条件为边界条件为根据边界条件根据边界条件f(0)=0应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作奇延拓。作奇延拓。又根据边界条件又根据边界条件 ，应将函数，应将函数 f(x)对区间对区间(0,(0,l)的端点的端点x=l作偶延拓，作偶延拓，然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是个实轴延拓，延拓以

6、后的函数是以以4l为周期的奇函数为周期的奇函数。13(4)、边界条件为边界条件为 又根据边界条件又根据边界条件f(l)=0 ，应将函数，应将函数f(x)对区间对区间(0,(0,l)的端点的端点x=l作奇延拓，作奇延拓，然后以然后以4l为周期向整为周期向整个实轴延拓，延拓以后的函数是个实轴延拓，延拓以后的函数是以以4l为周期的偶函数为周期的偶函数。根据边界条件根据边界条件 应将函数应将函数f(x)对区间对区间(0,l)的端点的端点x=0作偶延拓。作偶延拓。重点掌握：重点掌握：及及 在四种不同边界条件下如何展开成傅在四种不同边界条件下如何展开成傅 立叶级数！立叶级数！（下表格的内容必须熟记！）（下

7、表格的内容必须熟记！）1415定解问题定解问题泛定方程泛定方程定解条件定解条件初始条件初始条件:说明物理现象初始状态的条件说明物理现象初始状态的条件 边界条件边界条件:说明边界上的约束情况的条件说明边界上的约束情况的条件 波动方程波动方程输运方程输运方程稳定场方程稳定场方程第七章第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题 衔接条件衔接条件（必须掌握）（必须掌握）16杆或弦的振动：杆或弦的振动：表示初始的位移表示初始的位移表示初始的速度表示初始的速度初始条件：初始条件：给出某一初始时刻给出某一初始时刻整个系统整个系统的已知状态。的已知状态。P122 在在热传导现象热传导现象中，初始条件就是给出初始

8、时刻中，初始条件就是给出初始时刻系统中每点的系统中每点的温度温度u之值。之值。其中其中T(r)是已知函数。是已知函数。例：例：P122 图图7-817(1)(1)、杆或弦两端固定、杆或弦两端固定 常见的边界条件：常见的边界条件：边界条件：边界条件：给出系统的边界在给出系统的边界在各个时刻各个时刻的已知状态。的已知状态。三类线性边界条件：三类线性边界条件：P124(1)(1)、第一类边界条件：、第一类边界条件：(2)(2)、第二类边界条件：、第二类边界条件：(3)(3)、第三类边界条件：、第三类边界条件：18(2)(2)、杆两端自由、杆两端自由(3)、杆的两端保持恒温、杆的两端保持恒温T(4)、

9、两端绝热 0 x19(5)、两端有热流强度为、两端有热流强度为f(t)的热流流出的热流流出 0 xl f(t)f(t)在在x=0端端:在在x=l端端:同理得，两端有热流强度为同理得，两端有热流强度为f(t)的热流的热流流入流入，则，则 重点掌握：重点掌握：P128 习题习题1、2、320数学物理定解问题的适定性数学物理定解问题的适定性:(1)解的存在性解的存在性 看所归结出来的定解问题是否有解；(2)解的唯一性解的唯一性 看是否只有一个解(3)解的稳定性解的稳定性 当定解问题的自由项自由项或定解条件有微小变化时，解是否相应地只有微小的变化量 定解问题解的存在性、唯一性和稳定性统称为定解问题的适

10、定性定解问题的适定性.21注：注：对于均匀弦或均匀杆的振动问题，要表示为定对于均匀弦或均匀杆的振动问题，要表示为定解问题，需要写出相应的波动方程、初始条件以及解问题，需要写出相应的波动方程、初始条件以及边界条件！（初始条件有边界条件！（初始条件有2 2个）个）对于热传导以及浓度分布的扩散问题，对于热传导以及浓度分布的扩散问题，要表示为要表示为定解问题，需要写出相应的输运方程、初始条件以定解问题，需要写出相应的输运方程、初始条件以及边界条件！及边界条件！（初始条件只有（初始条件只有1 1个）个）22解定解解定解问题三步曲：三步曲：（1 1）写出正确的定解）写出正确的定解问题；（2 2）边界条件界

11、条件齐次化；次化；（3 3）求解）求解傅氏傅氏级数法或数法或分离分离变数法数法.第八章第八章 分离变数法分离变数法 23分离变数法分离变数法 齐次的振动方程和输运方程齐次的振动方程和输运方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 傅里叶级数法傅里叶级数法 齐次或非齐次的齐次或非齐次的振动方程和输运振动方程和输运方程方程 齐次的边界条件齐次的边界条件 24一、分离变数法解题步骤一、分离变数法解题步骤(1)对齐次方程和齐次边界条件分离变量；对齐次方程和齐次边界条件分离变量；(2)解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；解关于空间因子的常微分方程的本征值问题；(3)求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得到

12、本征解。求其它常微分方程的解，与本征函数相乘，得到本征解。(4)迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件迭加所有本征解，由初始条件或非齐次边界条件 确定迭加系数，最后得到所求定解问题的解。确定迭加系数，最后得到所求定解问题的解。注：熟练掌握波动方程和输运方程在不同齐次边界条件下分注：熟练掌握波动方程和输运方程在不同齐次边界条件下分离变数得到的本征值问题，相应的本征值和本征函数必须熟离变数得到的本征值问题，相应的本征值和本征函数必须熟记！波动方程、输运方程在不同边界条件下的一般解以及记！波动方程、输运方程在不同边界条件下的一般解以及二维拉普拉斯方程的一般解也必须熟记！二维拉普拉斯方程的一般解也

13、必须熟记！P160 习题习题1、7、1625例例1 1：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题先以分离变数形式的试探解先以分离变数形式的试探解 解：解：代入泛定方程代入泛定方程(1)和边界条件和边界条件(2)，得，得(1)(2)(3)26 本征本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：其通解为其通解为 相应的本征解相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，(4)27一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，代入初始条件，代入初始条件，(4)28例例2 2：用分离变数法求定解问题用分离变数法求定解问题(1)(2)(3)先以分离变数形式

14、的试探解先以分离变数形式的试探解 解：解：代入泛定方程代入泛定方程(1)和边界条件和边界条件(2)，得，得 29 本征本征值问题 本征值：本征值：本征函数：本征函数：其通解为其通解为 相应的本征解相应的本征解 一般解是所有本征解的线性迭加，一般解是所有本征解的线性迭加，30代入初始条件，代入初始条件，所求的定解问题的解为：所求的定解问题的解为：31 运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同运用傅氏级数法求定解问题，要注意在不同齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形齐次边界条件下，所求定解问题的解展开为不同形式的傅里叶级数式的傅里叶级数，二、傅里叶级数法二、傅里叶级数法32三、熟练掌握如何把

15、非齐次边界条件齐次化：三、熟练掌握如何把非齐次边界条件齐次化：(1)、若是第一类非齐次边界条件、若是第一类非齐次边界条件 可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界条件齐次化。引入辅助函数引入辅助函数v(x,t)，令，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使使v(x,t)满足非齐次边界条件，可将函数满足非齐次边界条件，可将函数u(x,t)满足的非齐次满足的非齐次边界条件的定解问题边界条件的定解问题变换为函数变换为函数w(x,t)满足的齐次边满足的齐次边界条件的定解问题界条件的定解问题。33可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件齐次化的边界条件齐次化(3)、若是第一、二类非齐

16、次边界条件、若是第一、二类非齐次边界条件 或或可设可设 可将可将w(x,t)的边界条件齐次化。的边界条件齐次化。(2)、若是第二类非齐次边界条件、若是第二类非齐次边界条件 34(4)、特殊处理方法、特殊处理方法 取特殊的取特殊的v(x,t)，令，令u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)，使得使得w(x,t)的边界条件齐次化，同时关于的边界条件齐次化，同时关于w(x,t)的泛定方程也变成齐次方程！的泛定方程也变成齐次方程！重点掌握：重点掌握：补充例题、补充例题、P175习题习题1、435第九章第九章 二阶常微分方程级数解法二阶常微分方程级数解法本征值问题本征值问题一、球坐标系中的拉普拉斯方程一

17、、球坐标系中的拉普拉斯方程熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！（区别连带勒让德方程和勒让德方程）出各自的通解！（区别连带勒让德方程和勒让德方程）二、球坐标系中的拉普拉斯方程二、球坐标系中的拉普拉斯方程熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出熟练掌握将上式分离为三个常微分方程的方法，并能写出各自的通解！各自的通解！（区别贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程）（区别贝塞尔方程和虚宗量贝塞尔方程）361、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握勒让德方程本征值问题的解及其性质(1)l阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题

18、阶勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题(自然自然边界条件界条件)本征本征值问题本征值本征值是是l(l+1)本征函数本征函数则是则是l阶勒让德多项式阶勒让德多项式Pl(x)勒让德方程的解。勒让德方程的解。（注：熟记几个特殊值！注：熟记几个特殊值！）第十章第十章 球函数球函数 37(2)勒让德多项式的性质勒让德多项式的性质 1)、正交性正交性 不同阶的勒让德多项式在区间不同阶的勒让德多项式在区间(-1,1)上正交，上正交，2)2)、勒让德多项式的模、勒让德多项式的模 383)3)、勒让德多项式的全体构成完备组、勒让德多项式的全体构成完备组 如何将一个定义在如何将一个定义在x的区间的区间-1,1上

19、的函数上的函数f(x)展开成展开成广义傅里叶级数广义傅里叶级数：一般公式：一般公式：展开系数展开系数 待定系数法（熟练掌握待定系数法（熟练掌握 的展开方法）的展开方法）仅适用于适用于f(x)是关于是关于x的次的次幂的多的多项式式 39(3)勒让德多项式的母函数勒让德多项式的母函数 母函数母函数 以半径为以半径为R的球代替单位球，则的球代替单位球，则 402、掌握关于极轴对称拉掌握关于极轴对称拉氏方程在球坐标系下的解：氏方程在球坐标系下的解：关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为关于轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为 对球内轴对称问题对球内轴对称问题自然边界条件：自然边界条件：取取Bl=0，应排

20、除应排除 ,41例例1、解：解：边界条件与边界条件与无关，以球坐标的极轴为对称轴。无关，以球坐标的极轴为对称轴。此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故此定解问题是轴对称情况下的球内问题，故 代入边界条件代入边界条件 P231例例342左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右左边是广义的傅里叶级数，所以用待定系数法将右边函数边函数x2展开为广义的傅里叶级数，展开为广义的傅里叶级数，比较左右两端，得比较左右两端，得 43解得，解得，比较左右两边系数，得比较左右两边系数，得 443、掌握连带勒让德方程本征值问题的解及其性质、掌握连带勒让德方程本征值问题的解及其性质(1)l阶连带勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题阶连带勒让德方程与自然边界条件构成本征值问题(自然自然边界条件界条件)本征本征值问题本征值本征值是是l(l+1)本征函数本征函数则是连带勒让德多项式则是连带勒让德多项式 连带勒让德方程连带勒让德方程的解。的解。45（2）掌握关于非轴对称拉）掌握关于非轴对称拉氏方程在球坐标系下的解：氏方程在球坐标系下的解：关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为：关于非轴对称的拉氏方程的定解问题的通解为：对球内非轴对称问题，对球内非轴对称问题，自然边界条件：自然边界条件：取取 ，应排除应排除 ,