文科经管类微积分第九章常微分方程.ppt

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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十六讲第五十六讲脚本编写：教案制作：微分方程的基本概念上页下页铃结束返回首页 设所求曲线的方程为yy(x).例例1.一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.根据导数的几何意义,可知未知函数yy(x)应满足 解解:此外,未知函数yy(x)还应满足下列条件:由(1)式得，其中C是任意常数.(1)x1时,y2.(2)把条件“x1时,y2”代入(3)式,得 212C,C1.把C1代入(3)式,得所求曲线方程:yx21.(3)下页上页下页铃结束返回首页微分方程 常微分方程与偏微分方程

2、 未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.下页凡含有凡含有未知函数未知函数的导数或微分的方程叫的导数或微分的方程叫微分方程微分方程.例例上页下页铃结束返回首页 例例2.列车在平直线路上以20m/s的速度行驶;当制动时列车获得加速度0.4m/s2.问开始制动后多少时间列车才能停住,以及列车在这段时间里行驶了多少路程?解解:设列车制动后t秒所行驶的距离为s(t)米.根据题意未知函数ss(t)应满足:s0.4.(1)s|t00,s|t020.(2)由(1)式，积分一次,得 s0.4tC1;(3)再积分一次,得 s0.2t2 C1tC2,(4)这里C1,

3、C2都是任意常数.把条件s|t020代入(3)式得 20C1;把条件s|t00代入(4)式得 0C2.把C1,C2的值代入(3)及(4)式得 v0.4t20,(5)s0.2t220t.(6)在(5)式 中 令 v0,得t50(s).再把t50代入(6),得 s0.25022050500(m).下页上页下页铃结束返回首页提示:微分方程 常微分方程与偏微分方程 未知函数是一元函数的微分方程,叫常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程,叫偏微分方程.它们都是微分方程例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系式为下页凡含有凡含有未知函数未知函数的导数或微分的方程叫的导数或微分的方程叫微分方程微分方

4、程.例例上页下页铃结束返回首页微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数,叫微分方程的阶.提示:例1中所列的关系式为s0.4.例2中所列的关系式为这是一阶微分方程这是二阶微分方程v几个基本概念 下页上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2,s0.2t2 20tC2和s0.2t220t.下页上页下页铃结束返回首页求所给函数的导数:解解:这表明函数 满足所给方程,因此所给函数是所给方程的解.下页例例2 2由上式得:上页下

5、页铃结束返回首页下页若一个函数中出现的两个常数不能通过运算合并为一个常数，那么这两个常数是独立的，中的是独立的，而中的可以合并为一个常数，所以这里的 不独立例如v常数互相独立 上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解.通解 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解叫做微分方程的通解.特解 确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的特解.即不含任意常数的解叫特解.在例1中,微分方程y2x的解有yx2C和yx21.在例2中,微分方程s0.4的解有 s0.2t2 C1tC2,s0.2t2 20tC

6、2和s0.2t220t.通解通解通解特解什解什么解?下页上页下页铃结束返回首页解通解特解其它共同点：不同点：上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 提示:初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.对于一阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程,通常用于确定任意常数的条件是例1是求微分方程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x上页下页铃结束返回首页v几个基本概念 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件,称为初始条件.初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.问题,记为 提示:例1是求微分方

7、程满足初始条件y|x12的解.例2是求微分方程s0.4满足初始条件s|t00,s|t020的解.下页y2x上页下页铃结束返回首页 例解解微分方程微分方程初始条件初始条件通解通解特解特解上页下页铃结束返回首页作业P1651.(1)(3)(5)3.2.5.高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）脚本编写：教案制作：可分离变量的微分方程上页下页结束返回首页铃9.2 可分离变量的微分方程上页下页铃结束返回首页第二节第二节 可分离变量的一阶微分方程可分离变量的一阶微分方程为微分方程的通解为微分方程的通解.两边积分两边积分,为为可分离变量的方程可分离变量的方程.称称则则上页下页铃

8、结束返回首页下页 例例2.求微分方程 的通解.方程可化为 解解:分离变量得 两边积分得 于是原方程的通解为 解解或解或解例例2 2(C1为任意常数)上页下页铃结束返回首页例例1.求微分方程的通解.解解:分离变量得两边积分得即(C 为任意常数)说明说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解 y0)上页下页铃结束返回首页作业P1721.(1)(2)(3)(4)3.(1)2.(1)(2)(5)高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十七讲第五十七讲脚本编写：教案制作：一阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、线性方程二、伯努利

9、方程9.3 一阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页第四节第四节 一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶一阶线性线性微分方程微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.齐次方程的通解为齐次方程的通解为1.线性齐次方程线性齐次方程一阶线性微分方程的一阶线性微分方程的解法解法:使用分离使用分离变量法变量法2.2.线性非齐次方程线性非齐次方程常数变易法常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质实质:未知函数的变量代换未知函数的变量代换.作变换作变换积

10、分得积分得所以一阶线性非齐次微分方程的通解为所以一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解解解例例1 1上页下页铃结束返回首页例例7 7 求方程解解 将方程改写为 的通解.先求齐次方程的通解.分离变量,得 两端积分并整理,得齐次方程的通解 用常数变易法求非齐次线性方程的通解，故原方程的通解为：y=(ex+c)(x+1)2 将 y与y代入非齐次方程,并整理,得两端积分,得上页下页铃结束返回首页例1求方程的通解.解:对应的齐次方程为:分离变量得即或所以齐次方程的通解为:用常数变易法求非齐次线性方程的通解，代入方程得即所以因此非齐次方程的通解为:

11、上页下页铃结束返回首页二、伯努利方程v伯努利方程 下列方程中哪些是伯努利方程？讨论:提示:下页方程为方程为线性线性微分方程微分方程.解法解法:二、伯努利二、伯努利(Bernoulli)方方程程求出通解后求出通解后,将将 代入即得代入即得原方程的通解原方程的通解.代入上式得代入上式得上页下页铃结束返回首页 例例3.以y2除方程的两端,得 解解:令zy1,则上述方程成为 这是一个线性方程,它的通解为 以y1代z,得所求方程的通解为 下页上页下页铃结束返回首页例3求的通解.解:此方程是伯努利方程:方程两边同乘 得,即令得上页下页铃结束返回首页变量可分离方程变量可分离方程 一阶线性齐次方程一阶线性齐次

12、方程一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程伯努利方程伯努利方程变量分离变量分离变量分离变量分离常数变易常数变易常数变易常数变易变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换变量代换上页下页铃结束返回首页一阶微分方程一阶微分方程 1991年考研数学一年考研数学一,3分分上页下页铃结束返回首页解解:可分离变量方程可分离变量方程两边积分两边积分由原关系式由原关系式得得得得分离变量分离变量两边对关于 求导,上页下页铃结束返回首页例例例例8.8.8.8.解：解：解：解：求方程的通解.将 与 互换,得方程齐次方程分离变量得所以齐次方程的通解为:用常数变易法求非齐次线性方程 的通解，得的通解为:上页下页铃结束返回首

13、页例例例例8.8.8.8.解：解：解：解：求方程的通解.将 与 互换,得方程的通解为:将 与 换回,得方程的通解为:上页下页铃结束返回首页作业P1772.(1)(3)(5)1.(2)(4)(6)3.5.6.7.8.(1)高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十八讲第五十八讲脚本编写：教案制作：二阶线性微分方程上页下页结束返回首页铃一、二阶线性微分方程举例二、线性微分方程的解的结构9.4 二阶线性微分方程上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、二阶线性微分方程举例v二阶线性微分方程 二阶线性微分方程的一般形式为若方程右端f(x)0时,方程称为齐次的,否则称

14、为非齐次的.或 yP(x)yQ(x)yf(x).下页上页下页铃结束返回首页二、线性微分方程的解的结构C1y1C2y2P(x)C1y1C2y2Q(x)C1y1C2y2000.C1y1P(x)y1Q(x)y1C2y2P(x)y2Q(x)y2 方程yP(x)yQ(x)y0的任意两个解y1(x)与y2(x)的线性组合C1y1(x)C2y2(x)也是它的解,其中C1、C2是任意常数.简要证明:这是因为v定理1(齐次方程的解的叠加原理)下页举例：举例：已知cos x与sin x都是方程yy0的解.方程的通解为 yC1cos xC2sin x.上页下页铃结束返回首页将其代入方程将其代入方程,故有故有特征根特

15、征根二阶二阶设解设解得得特征方程特征方程二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数.上页下页铃结束返回首页两个两个 特解特解二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征方程特征方程得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为设设解解其中其中r为待定常数为待定常数.上页下页铃结束返回首页有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解

16、为化简得化简得二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程设设取取则则知知得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为其中其中r为待定常数为待定常数.设设解解特征方程特征方程有一对共轭复根有一对共轭复根为了得到实数形式的解为了得到实数形式的解,重重新新组组合合二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程的两个的两个复数形式复数形式的解的解.其中其中r为待定常数为待定常数.得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:设设解解特征方程特征方程小结小结 特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式 实根实根实根实根复根复根的通解的不同形式的通解的不同形式.特征

17、根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程上页下页铃结束返回首页 例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式上页下页铃结束返回首页 例解解特特 征征 根根通通 解解 形形 式式上页下页铃结束返回首页称为称为解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法确定其通解的方法二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征方程法特征方程法.特征根特征根上页下页铃结束返回首页解解 特征方程特征方程故所求通解为故所求通解为例例二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程特征根特征根特特 征征

18、根根通通 解解 形形 式式上页下页铃结束返回首页例例 解初值问题解初值问题解解 特征方程特征方程特征根特征根所以方程的通解为所以方程的通解为二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程(二重根二重根)特解特解上页下页铃结束返回首页作业P1881.(2)(4)高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学（一一）第五十九讲第五十九讲脚本编写：教案制作：二阶常系数线性非齐次微分方程二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法二、二阶常系数非齐次线性方程解的性质及求解法回顾回顾一阶线性微分方程一阶线性微分方程对应齐次方对应齐次方程的通解程的通解非齐次方程特解非齐次方程特解(1)上

19、页下页铃结束返回首页提示:我们把方程yP(x)yQ(x)y0叫做与非齐次方程 yP(x)yQ(x)yf(x)对应的齐次方程.设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解.v定理3(非齐次方程的通解的结构)举例:已知YC1cos xC2sin x是齐次方程yy0的通解,y*x22是非齐次方程yyx2的一个特解,因此 yC1cos xC2sin xx22是非齐次方程yyx2的通解.下页上页下页铃结束返回首页证明提示:Y(x)y*(x)P(x)Y(x)y

20、*(x)Q(x)Y(x)y*(x)Y P(x)YQ(x)Yy*P(x)y*Q(x)y*0f(x)f(x).设y*(x)是二阶非齐次线性方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解,Y(x)是对应的齐次方程的通解,那么 yY(x)y*(x)是二阶非齐次线性微分方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解.v定理3(非齐次方程的通解的结构)下页上页下页铃结束返回首页二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法：根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,待定系数法待定系数法三角函数三角函数多项式多项式指数函数指数函数方程方程(2)对应的齐次方程对应的齐次方程

21、(1)的特征方程及特征根为的特征方程及特征根为单根单根二重根二重根一对共轭复根一对共轭复根 你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该你认为方程应该有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？有什么样子的特解？为常数 方程方程有下列形式的特解：有下列形式的特解：上页下页铃结束返回首页假设方程假设方程有下列形式的特解：有下列形式的特解：则则代入方程代入方程(2)，得，得即即综上讨论可知综上讨论可知设特解为设特解为其中其中代入原方程代入原方程,来确定来确定Q(x).上页下页铃结束返回首页 例例2.求微分方程y5y6yxe2x的通解.这里Pm(x)x,2.与所给方程对应的齐次方程为y5y6

22、y0,它的特征方程为r25r 60.特征方程有两实根r12,r23.于是齐次方程的通解为YC1e2xC2e3x.由于2是特征方程的单根,所以特解应设为y*x(b0 xb1)e2x.解解:把 代入所给方程,得 2b0 x2b0b1x.比较两端x同次幂的系数,得2b01,2b0b10.于是求得所给方程的一个特解为 从而所给方程的通解为 首页解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入原方程代入原方程得得例例6 6上页下页铃结束返回首页解解对应的齐次方程的特征方程为对应的齐次方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为将它代入原方程，得将它代入

23、原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算上页下页铃结束返回首页比较两边同类项的系数，得比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算上页下页铃结束返回首页解解对应的齐方程的特征方程为对应的齐方程的特征方程为特征根为特征根为对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为将它代入原方程，得将它代入原方程，得请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算上页下页铃结束返回首页上式即上式即故原方程有一特解为故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为

24、综上所述，原方程的通解为解解请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算请同学们自己算上页下页铃结束返回首页 设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与 yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解,那么y1*(x)y2*(x)的是方程yP(x)yQ(x)yf1(x)f2(x)的特解.v定理4(非齐次方程的解的叠加原理)简要证明:这是因为 y1*y2*P(x)y1*y2*Q(x)y1*y2*y1*P(x)y1*Q(x)y1*y2*P(x)y2*Q(x)y2*f1(x)f2(x).结束上页下页铃结束返回首页 例解解对应的齐方程的通解为对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为综上所述，原方程的通解为上页下页铃结束返回首页二阶常系数非齐次线性微分方程二阶常系数非齐次线性微分方程二选一二选一先选0,再选.解解例例7 7所求所求通解通解为为 上页下页铃结束返回首页解解例例8 8所求所求通解通解为为 珍惜时间认真复习珍惜时间认真复习上页下页铃结束返回首页 l l l l 作业P1882.(1)(2)1.(6)(7)4.5.