四川省邛崃一中高二数学 二项式系数的性质 课件.ppt

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1、二项式系数的性质二项式系数的性质教学目标教学目标:掌握二项式系数的性质掌握二项式系数的性质教学重点教学重点:二项式系数的性质二项式系数的性质教学难点教学难点:二项式系数的性质二项式系数的性质2会应用二项式系数的性质会应用二项式系数的性质解决一些简单问题解决一些简单问题复习回顾复习回顾:二项式系数二项式系数通通 项项1、组合数的两个性质：2、二项式定理及展开式：111112113311446115510101166151520写出下列写出下列(a+b)n展开式的展开式的二项式系数二项式系数杨辉三角杨辉三角详详解解九九章章算算法法杨杨辉辉我国南宋数学家我国南宋数学家1261年所著详详解解九九章章算

2、算法法中中记记载载的的表表 在在杨杨辉辉的的详详解解九九章章算算法法中中载载有有一一个个“开开方方作作法法本本源源”图图。如如图图所所示示，就就是是“杨杨辉辉三三角角”。它它有有什什么么样样的的规规律律？下下面面我们就来共同探讨这个问题！我们就来共同探讨这个问题！111112113311446115510101166151520当当n n不大时，可以根据这个表来求二项式系数不大时，可以根据这个表来求二项式系数.请观察下列图表请观察下列图表,思考有哪些规律思考有哪些规律?772121353511(a+b)n展开式的二项式系数依次是展开式的二项式系数依次是从函数角度分析从函数角度分析二项式系数的性

3、质二项式系数的性质（1）对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两项二项式系数相等的两项二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到图象的对称轴：图象的对称轴：（2）增减性与最大值增减性与最大值 由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 （2）增减性与最大值增减性与最大值 由由：二项式系数是逐渐增大的，由对称性可二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。得最大值。可知，当可知，当 时，时，（2）增减性与最大值增减性与最大值(当当n为偶数时为偶数时)（2）增

4、减性与最大值增减性与最大值(当当n为奇数时为奇数时)（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值。相等，且同时取得最大值。(+（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和在二项式定理中，令在二项式定理中，令 a=1，b=1，则，则分析分析:赋赋值值法法?这就是说这就是说,的展开式的各项二项式的展开式的各项二项式系数的和等于系数的和等于11例例1 证明在证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式的展开式中，奇数项的二

5、项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。系数的和等于偶数项的二项式系数的和。分析：分析：例例1 证明在证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。证明：证明：在展开式在展开式中，令中，令 a=1，b=-1，则，则就是就是即在即在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。偶数项的二项式系数的和。（3）各二项式系数的和各二项式系数的和二项式系数的性质二项式系数的性质（2）增减性与最大值增减性与最大值当当n为奇数时为奇数时，当当n为偶

6、数时为偶数时，（4）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和（1）对对称称性性与与首首末末两两端端“等等距距离离”的的两两项项二二项项式式系系数数相相等等2 2、在、在(a(ab)b)1010展开式中，二项式系数最大展开式中，二项式系数最大的项是的项是().().1 1、在、在(a(ab)b)2020展开式中，与第五项二项式展开式中，与第五项二项式系数相同的项是系数相同的项是().().A课堂练习课堂练习:A.A.第第6 6项项 B.B.第第7 7项项C.C.第第6 6项和第项和第7 7项项 D.D.第第5 5项和第项和第7 7项项CA.A.第第

7、1515项项 B.B.第第1616项项 C.C.第第1717项项 D.D.第第1818项项此种类型的题目应该先找准此种类型的题目应该先找准r r的值，的值，然后再确定是第几项。然后再确定是第几项。注：例：例：已知已知 的展开式中，第的展开式中，第4项的二项式系数是倒数第项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数项的二项式系数的的7倍，求展开式的中间项系数。倍，求展开式的中间项系数。解：解：由题意由题意:中间项为中间项为：展开式的中间项系数是展开式的中间项系数是1120.整理得整理得 或或 (舍去舍去)练习练习(教材教材P124)P124)1 1、填空：、填空：（1 1）已知）已知 那么那么 =_=

8、_（2 2）的各二项式系数的最大值是的各二项式系数的最大值是_（3 3）_（4 4）126小结小结:（2）数学方法：1对称性2增减性与最大值3各二项式系数和赋值法4奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和（1 1）二项式系数）二项式系数的四个性质的四个性质 作作 业业 教材教材 p124练习练习 2,3题题(书上书上)习题习题 10.4 8,9,10题题(作业本上作业本上)（思考题）求（思考题）求 的展开式中二项式系的展开式中二项式系数最大的是第几项？系数最大的是第几项？数最大的是第几项？系数最大的是第几项？设展开式中第设展开式中第r+1项的系数最大，则项的系数最大，则故第故第18项的系数最大。项的系数最大。解：解：展开式中二项式系数最大的是中间项展开式中二项式系数最大的是中间项