时域离散信号和系统的频域分析(IV).ppt

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1、第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析1/115第二章第二章时域离散信号和系统的频域分析第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析2/1152.1 引言 信号和系信号和系统的分析方法有两种：的分析方法有两种：时域分析方法域分析方法和和变换域分析方法域分析方法。连续系系统：时域分析域分析微分方程微分方程傅利叶傅利叶变换、拉氏、拉氏变换代数方程代数方程离散系离散系统：时域分析域分析代数方程代数方程傅利叶傅利叶变换、Z Z变换差分方程差分方程第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析3/115 序列的傅利叶序列的傅利叶变换

2、序列傅利叶序列傅利叶变换的性的性质 序列的序列的Z Z变换 不同形式序列的不同形式序列的Z Z变换及其收及其收敛域域 Z Z逆逆变换 Z Z变换的性的性质 系系统函数与函数与频率特性率特性第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析4/1152.2 2.2 序列的傅利叶序列的傅利叶变换2.2.1 2.2.1 序列的傅里叶序列的傅里叶变换的定的定义众所周知，众所周知，连续时间信号信号f(t)的傅里叶的傅里叶变换定定义为：而而F(j)的傅里叶反的傅里叶反变换定定义为 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析5/115离散离散时间信号信号x(n)的傅里

3、叶的傅里叶变换定定义为：DTFT (2.2.1)只有当序列只有当序列x(n)绝对可和，即可和，即(2.2.2)x(n)的傅里叶的傅里叶变换才存在且才存在且连续。X(ej)的傅里叶反的傅里叶反变换定定义为 (2.2.4)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析6/115 在物理意在物理意义上，上，X(ej)表示序列表示序列x(n)的的频谱，为数字域数字域频率。率。X(ej)一般一般为复数，可用它的复数，可用它的实部（部（Real）和虚部（）和虚部（Imaginary）表示）表示为：或用幅度和相位表示或用幅度和相位表示为：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的

4、的频域分析域分析7/115设x(n)=anu(n)，0a10a1,求求x(n)的的FTFT。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析8/115离散离散时间信号的傅里信号的傅里叶叶变换具有以下两个具有以下两个特点：特点：(1)X(e(1)X(ejj)是以是以22为周周期期的的的的连续函数。函数。(2)(2)当当x(n)为实序列序列时，X X(e(ejj)的幅的幅值|X(e|X(ejj)|)|在在0202区区间内是内是偶偶对称函数，相位称函数，相位argXargX(e(ejj)是奇是奇对称函数。称函数。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析9/

5、1152.2.2 序列傅利叶序列傅利叶变换的性的性质第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析10/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析11/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析12/115当当=0=0时，它是常数序列；随着，它是常数序列；随着的增加，信号的增加，信号的震的震荡速率增加，直到速率增加，直到=时，达到离散，达到离散时间序列的最高振序列的最高振荡速率。当速率。当继续增加，其振增加，其振荡速速率反而下降，直到率反而下降，直到=2=2时，它又回到常数序列。，它又回到常数序列。当当等于等于22

6、的整数倍的整数倍时，虚指数虚指数序列序列为常数序列，常数序列，在在这些些频率附近是率附近是变化化较慢的低慢的低频序列，而在序列，而在等等于于的奇数倍的奇数倍时，都是离散，都是离散时间虚指数序列的最高虚指数序列的最高振振荡频率，附近是高率，附近是高频序列。序列。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析13/1151.1.傅利叶傅利叶变换的周期性的周期性角角频率率每改每改变22及其整数倍及其整数倍时都呈都呈现同一个同一个虚指数序列。虚指数序列。因此在研究虚指数序列因此在研究虚指数序列时，只要在，只要在的某个的某个22区区间内考察即可。一般内考察即可。一般选这个区个区间为-

7、,或或0202，并称并称为离散离散时间频率率的的主主值区区间。数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率，所以数字域频率并不是象模拟域频率越来越大。所以数字域频率并不是象模拟域频率越来越大。数字域频率和模拟域频率的关系数字域频率和模拟域频率的关系?第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析14/115当当=0=0，22，4 4 点上表示点上表示x(n)x(n)的直流的直流分量，分量，离开离开这些点越些点越远，其，其频率越高率越高；当当=(2M+1)=(2M+1)时，代表最高，代表最高频率信号（率信号（见前面前面的例子）。的

8、例子）。M M为整数整数 (2.2.6)(2.2.6)序列傅列序列傅列变换是以是以22为周期的函数。周期的函数。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析15/1152.2.序列的傅里叶序列的傅里叶变换的的线性性 3 3时移与移与频移移 (2.2.7)(2.2.7)(2.2.8)(2.2.8)(2.2.9)(2.2.9)时间移位时间移位=频率相位偏移频率相位偏移第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析16/1154 4时域卷域卷积 5 5频域卷域卷积定理定理设则(2.2.33)(2.2.33)设则(2.2.32)(2.2.32)第第2 2章章

9、时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析17/1156.6.帕斯帕斯维尔(Parseval)(Parseval)定理定理证明：明：说明：信号明：信号时域的域的总能量等于能量等于频域的域的总能量。能量。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析18/1157 7序列的傅里叶序列的傅里叶变换的的对称性称性共共轭对称序列：称序列：共共轭反反对称序列：称序列：对于于实序列序列来来说，xe e(n)为偶偶对称序列，称序列，xo o(n)为奇奇对称序列。称序列。时域序列的域序列的对称性称性xe(n)=xer(n)+jxei(n)x*e(-n)=xer(-n)-jxei(-

10、n)xjy第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析19/115共共轭对称序列其称序列其实部是偶函数部是偶函数，而，而虚部是奇函数虚部是奇函数。同理同理，共，共轭反反对称序列的称序列的实部是奇函数，而虚部是部是奇函数，而虚部是偶函数。以上反之也成立。偶函数。以上反之也成立。xo(n)=xor(n)+jxoi(n)x*o(-n)=xor(-n)-jxoi(-n)例例 试分析分析x(n)=e jn的的对称性称性解：解：x(n)=cosn+j sinn 其其实部是偶函数，而虚部是奇函数部是偶函数，而虚部是奇函数,是共是共轭对称序列。称序列。第第2 2章章 时域离散信号和系域离

11、散信号和系统的的频域分析域分析20/115对于于一般序列可用共一般序列可用共轭对称与共称与共轭反反对称序列之和称序列之和表示表示，即：，即：(2.2.16)(2.2.16)(2.2.18)(2.2.18)(2.2.19)(2.2.19)可得：可得：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析21/115 序列序列x(n)的傅里叶的傅里叶变换X(eX(ejj)可以被分解成共可以被分解成共轭对称分量与共称分量与共轭反反对称分量两部分之和，即称分量两部分之和，即 同同样有：有：频域函数的域函数的对称性称性若若X(e(ejj)是是实函数：且函数：且满足共足共轭对称，称，则称称为频

12、率的率的偶函数；若偶函数；若满足共足共轭反反对称，称，则称称为频率的奇函数。率的奇函数。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析22/115 傅利叶傅利叶变换的的对称性称性(a)(a)将序列将序列x(n)分成分成实部部xr(n)与虚部与虚部xi(n)x(n)=xr(n)+jxi(n)将上式将上式进行行FTFT，得到，得到（证明明见书 P37 P37）：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析23/115结论：序列分成序列分成实部与虚部两部分，部与虚部两部分，实部部对应的的FTFT 具有共具有共轭对称性，称性，虚部乘虚部乘j j一起一起对应的的

13、FTFT具有具有 共共轭反反对称性。称性。X(e j)=Xe(e j)+Xo(e j)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析24/115(b)(b)将序列分成共将序列分成共轭对称部分称部分xe(n)和共和共轭反反对称部分称部分 xo(n)，即：，即：x(n)=xe(n)+xo(n)将上面两式分将上面两式分别进行行FTFT，得到，得到第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析25/115结论：序列的序列的共共轭对称部分称部分xe(n)的傅利叶的傅利叶变换对应 着着X(e(ejj)的的实部部XR(e(ejj)，而序列的，而序列的共共轭反反对 称部

14、分称部分xo o(n)的傅利叶的傅利叶变换对应着着X(e(ejj)的虚的虚 部部XI(e ejj)乘以乘以j。(2.2.26)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析26/115例：例：利用傅立叶利用傅立叶变换对称性，分析称性，分析实因果因果序列序列h(n)的的对称性。称性。解：解：因因为h(n)是是实序列，其序列，其FTFT只有共只有共轭对称部分称部分 He e(e(ejj)，共，共轭反反对称部分称部分为零。零。H(ej)=He(ej)H(ej)=H*(e-j)因此因此实序列的序列的FTFT的的实部是部是的偶函数，虚部是的偶函数，虚部是的的奇函数。奇函数。HR(ej

15、)=HR(e-j)HI(ej)=-HI(e-j)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析27/115相位相位为的奇函数的奇函数he(n)=1/2h(n)+h(-n)ho(n)=1/2h(n)-h(-n)模模为的偶函数的偶函数0,第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析28/115实因果序列因果序列h(n)分分别用用he(n)和和ho(n)表示表示为：h(n)=he(n)u+(n)(2.2.29)h(n)=ho(n)u+(n)+h(0)(n)(2.2.30)(2.2.31)其中其中实因果序列完全可以因果序列完全可以仅由其偶序列恢复，由其奇序由其

16、偶序列恢复，由其奇序列恢复列恢复时，要，要补充充h(0)(0)(n)的信息。的信息。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析29/1158 8序列的折叠序列的折叠 9 9序列乘以序列乘以n n 1010序列的复共序列的复共轭 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析30/115表 2.2.1 序列傅里叶变换的性质 P 39第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析31/115练习：参考：参考书 P63 5解：解：x(n)-1-302n17第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析32/115-1

17、-302n17第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析33/1152.3 2.3 周期序列的傅利叶周期序列的傅利叶级数数2.3.1 周期序列的离散傅里叶周期序列的离散傅里叶级数数只有当序列只有当序列x(n)绝对可和，即可和，即:x(n)的傅里叶的傅里叶变换才存在才存在（周期序列不（周期序列不满足条件）足条件）。设设(2.3.6)(2.3.7)比较比较第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析34/115为了方便：了方便：(2.3.7)(2.3.7)式表明式表明将周期序列分解成将周期序列分解成N N次次谐波波,第第k k个个谐波波频率率为k=(2

18、/N)=(2/N)k，k=0,1,2 N-1=0,1,2 N-1，幅度，幅度为 基波分量的基波分量的频率是率是2/N2/N，幅度是，幅度是 。一个周期序列可。一个周期序列可以用其以用其DFSDFS表示它的表示它的频谱分布分布规律。律。(2.3.6)(2.3.7)也是一个以也是一个以N N为周期的周期的周期序列周期序列，称，称为 的离的离散傅里叶散傅里叶级数，用数，用DFSDFS(Discrete Fourier Series)(Discrete Fourier Series)表示。表示。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析35/115例例 设x(n)=R)=R4

19、4(n),(n),将将x(n)以以N=8N=8为周期周期进行周期延行周期延拓拓,得到如得到如图2.3.1(a)2.3.1(a)所示的周期序列所示的周期序列 求求 的的DFSDFS。解：解：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析36/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析37/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析38/1152.3.2 周期序列的傅利叶周期序列的傅利叶变换表示表示在模在模拟系系统中中单一一频率信号率信号 ,其傅里叶其傅里叶 变换是在是在=o o处的的单位冲激函数位冲激函数，强度是度是

20、2.2.时域离散系域离散系统中中 的付利叶形式与上式的付利叶形式与上式一一样，是在，是在=0 0处强度度为22的的单位冲激函数位冲激函数 取整数取整数由于由于第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析39/115图 2.3.2 2.3.2 的的 FT FT 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析40/115 一般周期序列一般周期序列(2.3.10)时域周期序列的离散傅利叶域周期序列的离散傅利叶级数在数在频域（及其系数）域（及其系数）也是一个周期序列。也是一个周期序列。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析41/11

21、5例例 求如求如图所示周期序列的所示周期序列的FTFT。(2.3.10)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析42/115对于同一个周期信号，其于同一个周期信号，其DFSDFS（幅度特性）和（幅度特性）和FTFT（幅（幅频特性）分特性）分别取模的形状是一取模的形状是一样的，不同的是的，不同的是FTFT用用单位冲位冲激函数表示激函数表示,它它们都可以表示周期序列的都可以表示周期序列的频谱分布。分布。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析43/1152.4 2.4 时域离散信号的傅里叶域离散信号的傅里叶变换与模与模拟信信号傅里叶号傅里叶变换之

22、之间的关系的关系模模拟信号信号时域离散信号域离散信号第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析44/115(1.5.5)利用采利用采样定理定理第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析45/115对比下式：比下式：推得推得结果：果：结论：序列的傅立叶序列的傅立叶变换与模与模拟信号傅立叶信号傅立叶变换的的关系，与采关系，与采样信号、模信号、模拟信号各自的傅立叶信号各自的傅立叶变换一一样，都是，都是 以周期以周期 进行周期延拓。行周期延拓。(1.5.5)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析46/115图图 2.4.1 模

23、拟频率与数字频率之间的定标关系模拟频率与数字频率之间的定标关系第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析47/1152.5 2.5 序列的序列的Z Z变换2.5.1 2.5.1 Z变换的定的定义 序列的傅立叶序列的傅立叶变换 频域分析；域分析；推广：推广：序列的序列的Z Z变换 复复频域分析域分析(2.5.1)z z是是连续的复的复变量，它所在的复平面称量，它所在的复平面称为z z平面。平面。双双边Z Z变换单边Z Z变换(2.5.2)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析48/1152.5.2 Z2.5.2 Z变换的收的收敛域域 对于任意于

24、任意给定的序列，使定的序列，使z z变换收收敛的的z z值集合称作集合称作收收敛区域区域。根据根据级数理数理论，级数收数收敛的充分必要条件是的充分必要条件是满足足绝对可和可和条件即：条件即：1.1.有限有限长序列序列这类序列只在有限的区序列只在有限的区间（n1 1nn2 2）具有非零的）具有非零的有限有限值，其，其z z变换为第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析49/115因因为X(z)X(z)是有限是有限项级数之和，故只需数之和，故只需级数的每一数的每一项有界，有界，则级数就收数就收敛，即要求，即要求|x(n)z)z-n-n|由于由于x(n)有界，故要求有界，故

25、要求|z|z-n-n|显然，在然，在0|z|0|z|上都上都满足此条件。足此条件。在在n1 1、n2 2满足特殊条件下，收足特殊条件下，收敛域域还可可进一步一步扩大大第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析50/1152 2右右边序列序列在在nn1时，序列，序列值不全不全为零，而在零，而在nn1，序列，序列值全全为零。零。第一第一项为有限有限长序列，其收序列，其收敛域域为0|z|0|z|。第二第二项为因果序列因果序列，其收，其收敛域域为R Rx-x-|z|z|右右边序列序列Z Z变换的收的收敛域域为如果序列是如果序列是因果序列，因果序列，其收其收敛域域为R Rx-x-

26、|z|n2，序列，序列值全全为零的序列。零的序列。第一第一项为反因果序列，其收反因果序列，其收敛域域为0|z|0|z|R Rx+x+。第二第二项为有限有限长序列，序列，n n2 200时，其收，其收敛域域为0|z|0|z|；n n2 200时,0|z|0|z|。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析52/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析53/115 因果序列因果序列最重要的一种右最重要的一种右边序列序列 ，即，即n=0的右的右边序序 列，列，z z变换在在z=z=处收收敛是因果序列的特征。是因果序列的特征。第第2 2章章 时域

27、离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析54/1154 4双双边序列序列 双双边序列是从序列是从n=-n=-延伸到延伸到n=+n=+的序列。的序列。其其z z变换为：显然然，可可以以把把它它看看成成右右边序序列列和和左左边序序列列的的z z变换叠叠加加。如如果果R Rx-x-RRx+x+，则存存在在一一个个如如下下的的公公共收共收敛区域区域 Rx-|z|a|时X(z)(z)收收敛。于是得：。于是得：所以，当所以，当 时，级数收数收敛。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析57/115例例 求求x(n)=-anu(-n-1)的的Z Z变换及其收及其收敛域。域。解

28、：解：X(z)X(z)存在要求存在要求|a-1-1z|1z|1，即收，即收敛域域为|z|a|第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析58/115例例 2.5.5 2.5.5 x(n)=a|n|，a a为实数，求数，求x(n)的的Z Z变 换及其收及其收敛域。域。解：解：第一部分收第一部分收敛域域为|az-1|a|；第二部分收第二部分收敛域域为|az|1，得得|z|a|-1。如果如果|a|1|a|1，两部分的公共收，两部分的公共收敛域域为|a|z|a|-1第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析59/115其其Z Z变换如下式：如下式：|a|z

29、|a|-1如果如果|a|1|a|1，则无公共收无公共收敛域域，因此，因此X(z)X(z)不存在不存在。0a1第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析60/115P(z)=0P(z)=0的根是的根是X(z)X(z)的的零点零点；Q(z)=0Q(z)=0的根是的根是X(z)X(z)的的极点极点。在极点在极点处Z Z变换不存在，因此收不存在，因此收敛域中没域中没有极点，但收有极点，但收敛域域总是由极点限定其是由极点限定其边界。界。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析61/115(1)(1)有有限限长双双边序序列列的的双双边Z Z变换的的收收敛域

30、域一一般般为 0|0|z z|；单位位序序列列(n)(n)的的双双边Z Z变换的的收收敛域域 为全全Z Z复平面。复平面。(2)(2)无无 限限 长 右右 边 序序 列列 的的 双双 边Z Z变 换 的的 收收 敛 域域 为 R Rx-x-|z|z|，即即收收敛域域为半半径径为R Rx-x-的的圆外外区区域域。因果序列因果序列，收，收敛域域为 R Rx-x-|z|z|。(3)(3)无无限限长左左边序序列列双双边Z Z变换的的收收敛域域为|z|z|R Rx+x+，即收即收敛域域为以以为R Rx+x+半径的半径的圆内区域。内区域。总总 结结第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分

31、析域分析62/115(4)(4)无限无限长双双边序列序列双双边Z Z变换的收的收敛域域为Rx-|z|Rx+，即收即收敛域位于以域位于以Rx-为半径和以半径和以Rx+为半径的两个半径的两个圆 之之间的的环状区域。状区域。(5)(5)在极点在极点处Z Z变换不存在，因此收不存在，因此收敛域中没有极点。域中没有极点。(6)(6)不同序列的双不同序列的双边Z Z变换可能相同，即序列与其双可能相同，即序列与其双边 Z Z变换不是一一不是一一对应的。序列的双的。序列的双边Z Z变换连同收同收 敛域一起与序列才是一一域一起与序列才是一一对应的。的。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析

32、域分析63/1152.5.3 Z2.5.3 Z变换与傅利叶与傅利叶变换单位位圆上的上的z z变换就是序列的傅利叶就是序列的傅利叶变换。当。当z z变换的收的收敛域域包含包含单位位圆时，可由序列的，可由序列的Z Z变换得到傅利叶得到傅利叶变换。一个序列在收一个序列在收敛域内域内Z Z变换存在，不能保存在，不能保证傅利叶傅利叶变换存在。存在。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析64/1152.5.4 Z2.5.4 Z变换的性的性质1 1、线性性若若则定定义域：域：一般情况下，取二者的一般情况下，取二者的重叠重叠部分部分 某些某些线性性组合中某些合中某些零点与极点相抵消

33、零点与极点相抵消，则收收敛域可能域可能扩大大。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析65/115eg.求求x(n)=cos(0n)u(n)的的Z变换。解：解：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析66/1152 2、移位特性、移位特性式中，式中，m为正整数正整数第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析67/115零极点相消，收零极点相消，收敛域域扩大大为整个整个z平面。平面。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析68/1153 3、尺度、尺度变换特性特性若若ZT x(n)=X(z)，R

34、x-|z|Rx+则：ZTanx(n)=X(a-1z)，|a|Rx-|z|a|Rx+4 4、X(z)X(z)的微分性的微分性质若：若：ZTx(n)=X(z)，Rx-|z|Rx+则：上式表明：序列上式表明：序列x(n)的的Z Z变换的的导数乘以数乘以-z等于等于x(n)经线性加性加权后的后的z变换，收，收敛域不域不变。若若a=-1,则有有第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析69/1155 5、共、共轭序列序列6 6、反、反转序列序列 若：若：则有：有：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析70/1157 7、初、初值定理定理对于于x(n)=

35、0，n0的的因果序列，因果序列，有：有：8 8、终值定理定理设x(n)为因果序列因果序列，且，且X(z)X(z)除在除在z=1z=1处可以有一可以有一阶极点外，极点外，其它极点都在其它极点都在|z|=1|z|=1的的单位位圆内，内，则有有9 9、部分和、部分和 若若x(n)X(z)，|z z|，则有：有：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析71/1151010、序列卷、序列卷积若若ZTx1(n)=X1(z)，ZTx2(n)=X2(z)，x(n)=x1(n)*x2(n)则 ZTx1(n)*x2(n)=X1(z)X2(z)其收其收敛域是域是X X1 1(z)(z)和和

36、X X2 2(z)(z)收收敛域的重叠部分。域的重叠部分。1111、复卷、复卷积定理定理若：若：ZTx(n)=X(z)，R x-|z|R x+ZTy(n)=Y(z)，R y-|z|R y+w(n)=x(n)y(n)则：W(z)W(z)的收的收敛域域 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析72/115例：例：在在z=z=a 处，零极点相消，如果，零极点相消，如果|b|a|b|a|，收，收敛域域扩大。大。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析73/1151212、帕斯、帕斯维尔(Parseval)(Parseval)定理定理利用复卷利用复卷积

37、定理可以定理可以证明重要的明重要的帕帕斯斯维尔定理。定理。那么：那么：v v平面上，平面上，c c所在的收所在的收敛域域为：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析74/115如果如果x(n)和和y(n)都都满足足绝对可和，即可和，即单位位圆上收上收敛，在上式中令在上式中令v=e j，得到：，得到：令令x(n)=y(n)，得到：得到：和在傅里叶和在傅里叶变换中所中所讲的帕斯的帕斯维尔定理定理(2.2.34)(2.2.34)式是相同的。式是相同的。表明表明时域中求序列的能量与域中求序列的能量与频域中用域中用频谱密度来密度来计算序列的能量算序列的能量是一致的。是一致的。第

38、第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析75/1152.5.5 Z2.5.5 Z逆逆变换 已知函数已知函数X(z)X(z)及其收及其收敛域，反域，反过来求序列的来求序列的变换称称为z z反反变换，正、反，正、反变换表示表示为：c c是是X(z)X(z)收收敛域域中中一一个个逆逆时针方方向向环绕原原点点的的围线。求。求z z反反变换的方法通常有三种：的方法通常有三种：留数法、留数法、幂级数法和部分分式展开法数法和部分分式展开法。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析76/1151.1.幂级数展开法数展开法|z|Rx-Rx-|z|Rx+第第2 2

39、章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析77/115(2)(2)反因果序列反因果序列，收，收敛域域为(3)(3)双双边序列序列，收，收敛域域为(1)(1)因果序列因果序列，收，收敛域域为 ,X(z),X(z)为z z-1-1的的幂级数，数，幂级数各数各项的系数的系数为x(n)的的值。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析78/115例例1 1 已知已知 用用长除法求其逆除法求其逆Z Z变换x(n)。解：因果序列解：因果序列1+3z-1+7z-3第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析79/115例例2 2 已知已知 ，用，用

40、长除法求其除法求其逆逆Z Z变换x(n)。解：左解：左边序列序列第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析80/115例例 3 已知已知求求F(z)的原函数的原函数f(k)。解：解：因果序列因果序列反因果序列反因果序列第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析81/1152 2部分分式展开法部分分式展开法若若X(z)为有理分式，有理分式，则X(z)可表示可表示为：式式中中，ai(i=0，1,2,n)、bj(j=0，1,2,m)为为实实数数，取取an=1。若若mn，F(z)为假分式，可用多项式除法将为假分式，可用多项式除法将F(z)表示为表示为 第

41、第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析82/115一般先把一般先把 展开展开为部分分式，然后再乘以部分分式，然后再乘以z z，得到用基本，得到用基本形式形式 表示的表示的X(X(z z)，再根据，再根据常用常用Z Z变换对（P45 P45 表表2-22-2）求求Z Z逆逆变换。(1)(1)的极点的极点为一一阶极点。极点。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析83/115两端乘以两端乘以z，得，得|z|zi|z|2 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析85/115例例2.5.10 2.5.10 已知已知 ，求逆，

42、求逆Z Z变换。解：双解：双边序列序列第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析86/115(2)(2)有重极点。有重极点。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析87/115例例7 7 已知已知求求X(X(z)的原函数的原函数x(n)。解：解：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析88/1151|z|2 第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析89/115第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析90/1152.6 2.6 离散系离散系统的的频率特性率特性2.6.1

43、 系系统函数函数 单位脉冲响位脉冲响应是指是指输入入为单位脉冲序列位脉冲序列时系系统的零状的零状态响响应，一般，一般记为h(n)。h(n)=T(n)1.1.系系统的的传输函数函数对h(n)进行傅里叶行傅里叶变换得到得到H(e j)称称为系系统的的传输函数函数，它，它表征系表征系统的的频率特性率特性。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析91/1152.2.系系统函数函数对h(n)进行行Z Z变换，得到，得到H(z)H(z)，一般称，一般称H(z)H(z)为系系统的的系系统函数函数，它表征了系，它表征了系统的的复复频域特性域特性。如果如果H(H(z)的收的收敛域包含域

44、包含单位位圆|z|=1，则在在单位位圆上上（z=ej）的系）的系统函数就是系函数就是系统的的频率特性率特性H(ej)第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析92/115线性非移性非移变系系统可以用可以用线性常系数差分方程描述：性常系数差分方程描述：对上式两上式两边求求Z Z变换，利用，利用线性性性性质和和时不不变性性质，得：得：可可见系系统函数的系数也正是其差分方程的系数。函数的系数也正是其差分方程的系数。3 3、系、系统函数与系函数与系统差分方程的关系差分方程的关系第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析93/115系系统函数函数还可以可以

45、进一步分解成：一步分解成：式中：式中：ddk k)和和ccr r 分分别表示表示H(z)H(z)在在z z平面上的极点和平面上的极点和零点。零点。这样，系，系统函数可以用函数可以用z z平面上的极点、零平面上的极点、零点和常数点和常数A A来确定。来确定。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析94/115例：例：根据系根据系统函数求函数求该系系统的差分方程的差分方程解：解：为了求了求满足足该系系统输入入输出的差分方程，可以将出的差分方程，可以将H(z)H(z)的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：的分子和分母各因式乘开，而得到如下的形式：于是，于是，第第2 2章

46、章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析95/115其差分方程就是：其差分方程就是：同一个系同一个系统函数，收函数，收敛域不同，所代表的系域不同，所代表的系统就不同。就不同。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析96/1152.6.2 系系统的因果性和的因果性和稳定性定性因果系因果系统的充分必要条件的充分必要条件:当当n0时，h(n)=0)=0即：因果系即：因果系统的系的系统函数的函数的Z Z变换，极点分布在某，极点分布在某个个圆的的圆内，收内，收敛域在某个域在某个圆外。外。Z Z变换在在z=z=处收收敛是是因果序列因果序列的特征。的特征。在极点在极点

47、处Z Z变换不存在，因此收不存在，因此收敛域中没有极点。域中没有极点。R Rx-x-|z|z|第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析97/115系系统稳定的充要条件：定的充要条件：由由Z Z变换收收敛域的定域的定义：如果系如果系统稳定，定，则系系统函数函数H(z)H(z)的收的收敛域一定包括域一定包括单位位圆。（。（|z|=1|z|=1，在，在单位位圆上收上收敛）很很显然，然，这就等于要求就等于要求该系系统函数的函数的全部极点都在全部极点都在单位位圆内，内，即即H(ej)存在且存在且连续。R Rx-x-|z|z|因果系因果系统：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散

48、信号和系统的的频域分析域分析98/115一个因果一个因果稳定系定系统的系的系统函数函数H(z)必必须在从在从单位位圆内到内到的整个的整个z域内收域内收敛，即，即r|z|，0r1例例2.6.12.6.1已知已知 分析其因果性和分析其因果性和稳定性定性.也就是也就是说，系系统函数的全部极点要落在函数的全部极点要落在单位位圆内内。解：解：H(z)H(z)的极点的极点为z=a，z=a-1 零点零点z=0aa-1ImzRez第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析99/115(1)(1)收收敛域域a-1|z|，对应的的 系系统是因果系是因果系统，但由于，但由于 收收敛域不包含域

49、不包含单位位圆，因，因 此是此是因果不因果不稳定系定系统。(2)(2)收收敛域域0|z|0|z|a,a,收收敛域不包括域不包括单位位圆，对应的系的系统 是非因果不是非因果不稳定系定系统。aa-1ImzRez(3)(3)收收敛域域a|z|aa|z|a-1-1，对应的系的系统是一个是一个非因果非因果系系统，但由于收但由于收敛域包含域包含单位位圆，因此是，因此是稳定定系系统。(4)H(z)(4)H(z)对应的三种系的三种系统中，前两种系中，前两种系统不不稳定，第三种定，第三种 稳定但非因果，因此，定但非因果，因此，严格的格的说，这三种系三种系统都不能都不能 具体具体实现。但利用数字系。但利用数字系统

50、的存的存贮性，性，第三种系第三种系统可可 近似近似实现。第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析100/1152.6.3 系系统的的频率响率响应1 1、频率响率响应的意的意义设输入信号入信号为：系系统输出：出：第第2 2章章 时域离散信号和系域离散信号和系统的的频域分析域分析101/115它描述复指数序列（正弦序列）通它描述复指数序列（正弦序列）通过线性性时不不变系系统后，复振幅（包括幅度和相位）的后，复振幅（包括幅度和相位）的变化。化。即：即：系系统频率响率响应正是正是系系统函数在函数在单位位圆上的上的值。或：系或：系统频率响率响应是系是系统的的单位取位取样响响应的