年辽宁地区高三数学函数的最大值与最小值课件 人教.ppt

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1、函数的最大函数的最大值与最小与最小值2021/8/8 星期日1一、复习与引入一、复习与引入1.当函数当函数f(x)在在x0处连续时处连续时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的值的方方 法是法是:如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极大值是极大值;如果在如果在x0附近的左侧附近的左侧 右侧右侧 ,那么那么,f(x0)是极小值是极小值.2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充而不是充 分条件分条件.极值只能在函数不可导的点或导数为零的点极值只能在函数不可导的点或导数为零的点 取到取到.3.在某些问题中在某些问

2、题中,往往关心的是函数在一个定义区间上往往关心的是函数在一个定义区间上,哪个值最大哪个值最大,哪个值最小哪个值最小,而不是极值而不是极值.2021/8/8 星期日2二、新课二、新课函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 观察右边一观察右边一个定义在区间个定义在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象的图象.发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大是极大值，在区间上的函数的最大值是值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在

3、没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？2021/8/8 星期日3导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值.(2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)f(a)、f(b)(f(b)(端点处端点处)比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值.求求f(x)f(x)在在闭区间闭区间a,ba,b上的最值的步骤上的最值的步骤(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)2021/8/8 星期

4、日4求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范函数的极值是在局部范围内讨论问题围内讨论问题,是一个局部是一个局部概念概念,而函数的最值是对整而函数的最值是对整个定义域而言个定义域而言,是在整体范是在整体范围内讨论问题围内讨论问题,是一个整体是一个整体性的概念性的概念.2021/8/8 星期日5求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(2)闭区间闭区间a,b上的连上的连续函数一定有最值续函数一定有最值.开区开区间间(a,b)内的可导函数不内的可导函数不一定有最值一定有最值,但若有唯一但若有唯一的极值的极值,则此极值必是函则此极值必是

5、函数的最值数的最值.2021/8/8 星期日6(3)函数在其定义域上的最大函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个值与最小值至多各有一个,而而函数的极值则可能不止一个函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除端点外在区间但除端点外在区间内部的最大值内部的最大值(或最小值或最小值),则则一定是极大值一定是极大值(或极小值或极小值).2021/8/8 星期日7(4)如果函数不在闭区间如果函数不在闭区间a,b上可导上可导,则在确定函则在确定函数的最值时数的最值时,不仅比较函数不仅比较函数各导数

6、为零的点与端点的各导数为零的点与端点的值值,还要比较函数在定义还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值域内各不可导的点处的值.2021/8/8 星期日8(5)在解决实际应用问题中在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一如果函数在区间内只有一个极值点个极值点(这样的函数称为这样的函数称为单峰函数单峰函数),那么要根据实那么要根据实际际 意义判定是最大值还是意义判定是最大值还是最小值即可最小值即可,不必再与端点不必再与端点的函数值进行比较的函数值进行比较.2021/8/8 星期日9三、例题选讲三、例题选讲例例1:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大值与最小值上的最大值与

7、最小值.解解:令令 ,解得解得x=-1,0,1.当当x变化时变化时,的变化情况如下表的变化情况如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.2021/8/8 星期日10例例2、函数函数 y=x+3 x9x在在 4,4 上的最大值为上的最大值为 ,最小值为最小值为 .分析分析:(1)由由 f(x)=3x+6x9=0,(2)区间区间4,4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f(4)=20,f(4)=76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f(3)=27,f(1

8、)=52021/8/8 星期日11当当x变化时，变化时，y、y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，比较以上各函数值，可知函数在可知函数在4,4 上的最大值为上的最大值为 f(4)=76，最小值为最小值为 f(1)=52021/8/8 星期日12求下列函数在指定区间内的最大值和最小值求下列函数在指定区间内的最大值和最小值:练习练习:最大值最大值 f(1)=3，最小值，最小值 f(3)=61最大值最大值 f(3/4)=5/4，最小值，最小值 f(5)=5+2021/8/8 星期日13设设 ,函数函数

9、 的最大值为的最大值为1,最小值为最小值为 ,求求常数常数a,b.2021/8/8 星期日14解解:令令 得得x=0或或a.当当x变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x-1(-1,0)0(0,a)a(a,1)1f(x)+0 -0 +f(x)-1-3a/2+b b -a3/2+b 1-3a/2+b由表知由表知,当当x=0时时,f(x)取得极大值取得极大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比较故需比较f(1)与与f(0)的大小的大小.2021/8/8 星期日15又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/20,所以所以f(x)的的最大值

10、为最大值为f(0)=b,故故b=1.2021/8/8 星期日16（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若若 ，求求 在在-2-2，22上上的的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若若 在在（-，-2-2和和22，+）上上都都是递增的，求是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。例例32021/8/8 星期日172、求最大（最小）值应用题的一般方法、求最大（最小）值应用题的一般方法:(1)分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步

11、化为数学问题，建立函数关系式，这是关键一步;(2)确定函数定义域，并求出极值点确定函数定义域，并求出极值点;(3)比较各极值与定义域端点函数的大小，比较各极值与定义域端点函数的大小，结合实结合实际，确定最值或最值点际，确定最值或最值点.1、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模、实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来式反映出来:首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质;其次，建立相应的数学模型其次，建立相应的数学模型,将应用问题转化为数学问题将应用问题转化为数学问题,再解再解.四、应用四、应用2021/8/8 星期日18

12、例例1、在边长为在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？子容积最大？最大容积是多少？2021/8/8 星期日19解解:设箱底边长为设箱底边长为x,则箱高则箱高h=(60-x)/2.箱子容积箱子容积 V(x)=x2h=(60 x2-x3)/2(0 x60).令令 ,解得解得x=0(舍去舍去),x=40.且且V(40)=16000.由题意可知由题意可知,当当x过小过小(接近接近0)或过大或过大

13、(接近接近60)时时,箱箱子的容积很小子的容积很小,因此因此,16000是最大值是最大值.答答:当当x=40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大,最大容积是最大容积是16000cm3.2021/8/8 星期日20 2、若函数、若函数 f(x)在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0，则不需与端点比较，则不需与端点比较，f(x0)即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际

14、意义2021/8/8 星期日21hr例例2、要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个要生产一批带盖的圆柱形铁桶，要求每个铁桶的容积为定值铁桶的容积为定值V，怎样设计桶的底面半径才，怎样设计桶的底面半径才能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？能使材料最省？此时高与底面半径比为多少？2021/8/8 星期日22解解:设圆柱的高为设圆柱的高为h,底半径为底半径为r,则表面积则表面积S=2rh+2r2.由由V=r2h,得得 ,则则令令 ,解得解得 ,从而从而 ,即即h=2r.由于由于S(r)只有一个极值只有一个极值,所以它是最小值所以它是最小值.答答:当罐的高与底半径相等时当罐的高与底半径相等时,所用的

15、材料最省所用的材料最省.2021/8/8 星期日23xy例例3:如图如图,在二次函数在二次函数f(x)=4x-x2的图象与的图象与x轴所轴所 围成的图形中有一个围成的图形中有一个 内接矩形内接矩形ABCD,求这求这 个矩形的最大面积个矩形的最大面积.解解:设设B(x,0)(0 x2),则则 A(x,4x-x2).从而从而|AB|=4x-x2,|BC|=2(2-x).故矩形故矩形ABCD的面的面积积为为:S(x)=|AB|BC|=2x3-12x2+16x(0 x2).令令 ,得得所以当所以当 时时,因此当点因此当点B为为 时时,矩形的最大面积是矩形的最大面积是2021/8/8 星期日24五、小结

16、五、小结1.求在求在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在a,b上上的的 最值的步骤最值的步骤:(1)求求f(x)在在(a,b)内的极值内的极值;(2)将将f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)比较比较,其中最大的一个其中最大的一个 是最大值是最大值,最小的一个是最小值最小的一个是最小值.2.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)要正确区分极值与最值这两个概念要正确区分极值与最值这两个概念.(2)在在a,b上连续上连续,(a,b)上可导的函数上可导的函数f(x)在在(a,b)内未内未 必有最大值与最小值必有最大值与最小值.(3)一

17、旦给出的函数在一旦给出的函数在(a,b)上有个别不可导点的话上有个别不可导点的话,不不 要忘记在步骤要忘记在步骤(2)中中,要把这些点的函数值与各极要把这些点的函数值与各极值值 和和f(a)、f(b)放在一起比较放在一起比较.2021/8/8 星期日253.应用问题要引起重视应用问题要引起重视.(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、不等式的证明及解法中有广泛的作用。不等式的证明及解法中有广泛的作用。(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大存在最大(小小)值值,而且函数在这个定义域内又只有而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点唯一的极值点,那么立即可以判定那么立即可以判定,这个极值点的这个极值点的函函 数值就是最大数值就是最大(小小)值值,这一点在解决实际问题时很这一点在解决实际问题时很 有用有用.2021/8/8 星期日262021/8/8 星期日272021/8/8 星期日28