第五章线性系统的状态变量分析优秀课件.ppt

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1、第五章线性系统的状态变量分析第1页，本讲稿共83页第 5 章 线性系统的状态变量分析本章主要教学内容本章主要教学内容本章主要教学内容本章主要教学内容 1.状态变量分析的基本概念2.用状态方程描述线性定常连续系统3.线性离散系统的离散状态空间表达式4.线性定常连续系统的状态方程分析5.用线性离散状态方程分析系统6.线性连续系统的离散化第2页，本讲稿共83页 研究对象 数学工具 理 论 时 域 频 域 单输入-单输出 系统 连 续 微分方程 传递函数法 (Laplace变换)经典控制理论 离 散 差分方程 Z传递函数法 (Z变换)计算机控制理论 多输入-多输出 系统 连 续 一阶微分方程组 (状态

2、空间法)传递矩阵法现代控制理论 离 散 一阶差分方程组 (离散状态空间法)Z传递矩阵法计算机控制理论研究对象、数学工具与理论第3页，本讲稿共83页 现代控制理论现代控制理论由于复杂的任务和高精度的要求，工程系统正朝着更加复杂的方向发展。复杂系统可能具有多输入量和多输出量，并且可能是时变的。从1960年开始发展起来的现代控制理论，就是对复杂系统进行分析和设计的新方法，它建立在析和设计的新方法，它建立在“状态状态”概念之上。概念之上。现代控制理论与经典控制理论的区别现代控制理论与经典控制理论的区别前者适用与多输入-多输出系统，可以是线性的或非线性的，也可以是定常的或时变的；后者仅适用于线性、定常、

3、单输入-单输出系统。第4页，本讲稿共83页5.1 状态变量分析的基本概念【引例】1.右图所示质量-阻尼-弹簧系统，有三种描述方法。（1）微分方程（2）传递函数第5页，本讲稿共83页 时，系统的状态就速度 、和输入量 当已知初始位移 、（3）一阶微分方程组这是系统的状态方程，唯一确定了。定义状态变量定义状态向量则第6页，本讲稿共83页则得到状态方程（5.1-1）输出方程（5.2-2）写成标准形式式中第7页，本讲稿共83页2.由一个电阻R（欧姆）、电感L（亨利）和一个电容C（法拉）组成的电路系统。（1）微分方程（2）传递函数第8页，本讲稿共83页（3）状态空间表示。定义状态变量定义输入和输出变量则

4、可得状态方程输出方程第9页，本讲稿共83页写成标准形式式中第10页，本讲稿共83页以状态变量 为元组成的列向量 5.1.2 状态变量、状态向量、状态空间、状态方程1 状态变量动力学系统的状态是指能完整地、准确地描述系统的时域行为的最小一组变量：2.状态向量称为状态向量.第11页，本讲稿共83页3 状态空间状态向量所有可能的集合状态向量所有可能的集合 以状态向量各元素以状态向量各元素为坐标轴组成的n维正交空间称为状态空间。4 状态方程描述系统状态变量与输入变量之间关系的一阶微分方程组，用向量矩阵表示的方程式称为状态方程。第12页，本讲稿共83页标准形式 或 为为nm维系数矩阵（输入矩阵）。维系数

5、矩阵（输入矩阵）。为为nn维系数矩阵（状态矩阵）；维系数矩阵（状态矩阵）；为为n1维状态向量；维状态向量；为为m1维输入向量；维输入向量；5.1.3 状态方程与输出方程的标准形式1 状态方程式中第13页，本讲稿共83页（3）非线性系统）非线性系统 其状态方程不可能写成上述标准其状态方程不可能写成上述标准（1）定常系统）定常系统 A和和B中的各元素都是不随时间变中的各元素都是不随时间变化的常数；（2）时变系统）时变系统 有一些元素是时间的函数，即有一些元素是时间的函数，即形式，只能一般地表示为第14页，本讲稿共83页 p1维输出向量；维输出向量；2 输出方程标准形式式中 pn维系数矩阵（输出矩阵

6、；维系数矩阵（输出矩阵；pm维系数矩阵（直传矩阵）。维系数矩阵（直传矩阵）。注意 在状态方程中不能含有X高于一阶的导数项和U的任何阶的导数项；在输出方程中不含有任何导数项。第15页，本讲稿共83页5.2 用状态方程描述线性定常连续系统5.2.1 由高阶微分方程化为状态方程(mn)其中y为输出函数，u为输入函数。列写状态方程就是1 方程中不包含输入函数导数的情况把上式的高阶微分方程化为与确定的状态变量相应的一阶微分方程组，然后用矩阵表示。第16页，本讲稿共83页化为状态变量（1）选择状态变量（2）将高阶微分方程的一阶微分方程组。系统输出关系式为第17页，本讲稿共83页（3）将一阶微分方程组用矩阵

7、形式表示状态方程为输出方程为第18页，本讲稿共83页若记则状态方程和输出方程可写成第19页，本讲稿共83页2 方程中包含输入函数导数的情况（1）选择状态变量，令式中：为待定系数。（1）（2）第20页，本讲稿共83页经推导可得（即可由 、计算 ）（3）（2）导出状态变量的一阶微分方程组和输出方程第21页，本讲稿共83页（3）写成矩阵形式状态方程输出方程第22页，本讲稿共83页5.2.2 由传递函数求状态方程1 单输入单输出定常系统的传递函数是一般的有理式式中mn，它所对应的微分方程为初始条件为第23页，本讲稿共83页选状态变量 ，可得引入一个中间变量X(s)，将G(s)改写为令则有状态方程（1）

8、（5.2-1)第24页，本讲稿共83页上页式（1）等价于即输出方程（5.2-2）第25页，本讲稿共83页2 传递函数展成部分分式，只有单极点设其中分母N(s)只有单根，即其中待定系数 是 在相应极点 处的留数，即（5.2-3）（5.2-4）第26页，本讲稿共83页于是输出 的拉氏变换令则输出（5.2-5）（5.2-6）由式（4.2-5）可得到 的拉氏反变换以 为状态变量，可以写出第27页，本讲稿共83页状态方程：输出方程：第28页，本讲稿共83页3 函数展成部分分式，有重极点设G(s)的分母N(s)可分解为则G(s)可分解为其中重极点对应各项的系数其余系数按式（5.2-4）求得。第29页，本讲

9、稿共83页由传递函数可得选择状态变量第30页，本讲稿共83页则输出的拉氏变换由上组方程的拉氏反变换得到状态方程和输出方程第31页，本讲稿共83页写成矩阵形式状态方程：第32页，本讲稿共83页输出方程：上述状态方程的系数矩阵为若当（John）标准型。其特征是：除主对角线上的元素可取任意值及紧靠主对角线上的元素可为 1 外，其余元素都为 0.第33页，本讲稿共83页 的状态方程按前述三种情况求出。化 ，d是常数，是有理分式。输出的4 传递函数分子分母阶次相等当传递函数 的分子的阶次m等于分母的阶次n时,拉氏变换为例5.2-1 系统的传递函数为 ，求它的动态方程。第34页，本讲稿共83页【解】输出的

10、拉氏变换由式（5.2-1）可写出状态方程输出方程由两部分组成第35页，本讲稿共83页5.3 线性离散系统的离散状态空间表达式 单输入-单输出 多输入-多输出 连续系统 时 域 微分方程 一阶微分方程组 复 域 传递函数 传递函数矩阵 离散系统 时 域 差分方程 一阶差分方程组 复 域 Z传递函数 Z传递函数矩阵 连续系统与离散系统的分析方法第36页，本讲稿共83页线性离散时间系统的状态空间表达式可表示为F：nn维，状态矩阵维，状态矩阵G：nm维，输入矩阵维，输入矩阵/驱动矩阵驱动矩阵C：pn维，输出矩阵维，输出矩阵D：pm维，直传矩阵维，直传矩阵/传输矩阵传输矩阵第37页，本讲稿共83页5.3

11、.1 由差分方程导出离散状态空间表达式单输入-单输出离散系统的n阶差分方程1 m=1.即控制变量（差分方程的输入函数）不包含差分项（1）选择状态变量第38页，本讲稿共83页状态方程第39页，本讲稿共83页输出方程简写成第40页，本讲稿共83页2 m0，即控制变量包含高于一阶的差分，即控制变量包含高于一阶的差分选择状态变量第41页，本讲稿共83页其中待定系数状态方程第42页，本讲稿共83页可以求得 .于是得到状态方程和输出输出方程例5.2-1 设线性定常差分方程为试写出状态方程和输出方程。【解】由已知条件知第43页，本讲稿共83页方程分别为!由于状态变量的选择不是唯一的，因此状态 方程也不是唯一

12、的。第44页，本讲稿共83页5.3.2 由Z传递函数建立离散状态空间表达式1 直接程序法G(z)可写成令第45页，本讲稿共83页选择状态变量状态方程第46页，本讲稿共83页（1）G(z)具有不同的极点 .输出方程2 分式展开法式中第47页，本讲稿共83页令则有及第48页，本讲稿共83页设 为 r 重极点.（2）G(z)具有多重极点式中状态方程与输出方程分别为第49页，本讲稿共83页第50页，本讲稿共83页初始条件 .5.4 线性定常连续系统的状态方程分析5.4.1 线性定常齐次状态方程的解先用逐次逼近法求解纯量齐次微分方程用逐次逼近法可求得可以验证级数（5.4-2）是齐次方程（5.4-1）的解

13、，（5.4-1）（5.4-2）第51页，本讲稿共83页对式（5.4-2）求导方程（5.4-2）右端级数是一致收敛的，所以方程（5.4-3）成立，级数（5.4-2）是方程（5.4-1）的解.而由微分方程理论已知，满足初始条件的方程（5.4-1）的解为（5.4-3）第52页，本讲稿共83页1 向量微分方程逐次逼近求解法（5.4-4）式中：式中：X为为n维列向量；维列向量；A为为nn维定常矩阵维定常矩阵.参照纯量方程的解（5.4-2）可以得到齐次方程（5.4-4）的解（5.4-5）可以证明式（5.4-5）右端的矩阵级数对任意A和 t是一致收敛的，所以它是方程（5.4-4）的解.第53页，本讲稿共83

14、页比较式（5.4-2）和（5.4-5）括号内的两个级数，它在形式上完全一样，因此后者可以认为收敛为矩阵指数函数 .定义无穷级数矩阵称为矩阵指数，可以证明此级数对于任何实数矩阵A都是绝对收敛的。第54页，本讲稿共83页定理 状态方程（5.4-4）满足初始条件的解为2 拉氏变换求解法对方程（5.4-4）两边做拉氏变换式中（5.4-6）（5.4-7）第55页，本讲稿共83页后，利用 可求得任意时刻的状态。因此 包含 称为状态转移矩阵。当系统的初始条件 已知对式（5.4-7）两边取拉氏反变换，得到状态方程的解根据线性定常微分方程截的唯一性，可知了系统的自由运动的全部信息。第56页，本讲稿共83页5.4

15、.2 线性定常非齐次方程的解状态方程初始条件（5.4-8）1 方程（5.4-8）移项后两端左乘 ，经推导得到非齐次方程的解（5.4-9）同样（5.4-10）初始状态的转移项控制作用下的受控项第57页，本讲稿共83页2 利用拉氏变换求解对式（5.4-8）两端取拉普拉斯变换对上式两端取拉氏反变换零输入分量：初态对各状态的影响零状态分量：各状态对输入的响应（5.4-11）（5.4-12）第58页，本讲稿共83页系统的输出方程对上式两边取拉氏变换（5.4-12）（5.4-13）将式（5.4-11）代入上式（5.4-14）3 传递函数与状态空间方程的关系零初始条件下，即方程（5.4-8）的初态时，就是单

16、输入-单输出系统的传递函数，第59页，本讲稿共83页由式（5.4-14）可得则4 传递函数矩阵多输入-多输出系统，设有m个输入，n个输出，（5.4-15）第60页，本讲稿共83页则可用传递函数矩阵将输出量Y(s)与输入量U(s)联系起来，即G(s)是是nm维矩阵。维矩阵。是系统的特征方程是系统的特征方程，反，反映系统的动态特性。（5.4-16）第61页，本讲稿共83页5.4.3 矩阵指数与状态转移矩阵1 矩阵指数的定义关于关于nn的方阵的方阵A，定义矩阵指数函数，定义矩阵指数函数 如下：如下：这里规定 。可以证明上式的右端级数对于任何（5.4-17）A和 t 都是收敛的。2 矩阵指数的性质（略

17、）第62页，本讲稿共83页 称为系统的状态转移矩阵。而且，是非奇异矩的初始状态向量。矩阵 可以表明，在没有外作用下，从时刻 0 到 t 的状态演化（变换），因此，把3 状态转移矩阵在没有输入即 u(t)=0 的情形下，齐次状态方程的解就是系统的自由运动。X(t)为系统在时刻 t 的状态向量，X(0)为系统在 t=0阵。这种是线性变换，也是可逆变换。第63页，本讲稿共83页 状态转移矩阵的一般定义状态转移矩阵的一般定义设时变系统为定义一个定义一个 nn 阶矩阵阶矩阵（5.4-18）其中第 k 列是方程（5.4-18）在初始条件为第64页，本讲稿共83页的解，称 是系统（5.4-18）的状态转移矩

18、阵。状态转移矩阵的一般性质状态转移矩阵的一般性质（1）状态转移矩阵 满足微分方程第65页，本讲稿共83页 把把 写成写成 n 个列向量个列向量（2）（3）并设初值 为第66页，本讲稿共83页 。称作状态转移矩阵，即 作用于系统时，矩阵 的各列 构成函数列向量 的向量空则上式表明，齐次状态方程在任意初始条件下的解 ，总是各个列向量 的线性组合。即间的一组基。就把系统 时刻的状态 转移到 t 时刻的状态 第67页，本讲稿共83页5.5 用线性离散状态方程分析系统 线性离散状态方程的解法线性离散状态方程的解法 Z传递矩阵传递矩阵 Z特征方程特征方程5.5.1 线性离散状态方程的求解线性离散状态方程就

19、是由高阶的差分方程转化过来的一阶差分方程组。迭代法迭代法 Z变换法变换法第68页，本讲稿共83页1 迭代法设线性系统的离散状态空间表达式为状态量和输入的初始值分别为X(0)、u(0)。（k=0,1,2,）以以k=0,1,2,代入式（代入式（5.5-1）可推得）可推得（5.5-1）（5.5-2）第69页，本讲稿共83页方程（5.5-2）给出了离散方程状态方程的通解，代入方程（5.5-1）便可得到输出y(kT).从方程（5.5-2）还可以看出系统的状态转移矩阵为它描述了当 u(kT)=0 时，系统由 t=0 的初始状态X(0)向任意时刻 t=kT 的状态X(kT)转移的特性。！用迭代法接状态方程得

20、不到闭合解析式（5.5-3）（5.5-4）第70页，本讲稿共83页例5.5-1 试用Z变换法求如下状态方程的解设【解解】令令k=0,1,2,用迭代式，可得状态方程的解用迭代式，可得状态方程的解第71页，本讲稿共83页可见，用迭代法求得上述的解，只能得到数值解，而不能写成闭合形式。若要写成闭式解，可以先求出状态转移矩阵 ，然后求得闭式解。第72页，本讲稿共83页2 Z变换法对式（5.5-1）两边作Z变换，可推得（5.5-5）对式（5.5-3）作Z反变换，可得（5.5-6）比较式（5.5-6）和（5.5-3），有（5.5-7）第73页，本讲稿共83页例5.5-2 试用Z变换法求解例5.5-1.【解

21、】于是可算出第74页，本讲稿共83页解得 为第75页，本讲稿共83页5.5.2 线性离散系统的Z传递矩阵 设线性离散系统的状态空间表达式为对上式作Z变换式中：式中：X(kT)n1 维状态向量维状态向量U(kT)m1 维输入向量维输入向量Y(kT)p1 维输出向量维输出向量第76页，本讲稿共83页当初始条件为零，即 X(0)=0 时，有其中（5.5-9）称称 为线性离散系统的为线性离散系统的Z传递矩阵传递矩阵（pm维矩维矩阵）。它反映了在初态静止的条件下，输出量和输入量的Z变换即Y(z)与U(z)之间的关系。第77页，本讲稿共83页5.5.3 线性离散系统的Z特征方程状态方程对上式作Z变换，可得

22、仿照线性连续系统，令矩阵 行列式（5.5-10）称上式为离散系统的Z特征方程，它的根是矩阵F的特征值，就是线性离散系统的极点。第78页，本讲稿共83页当 时，是否收敛决定系统是否稳定。5.5.4 用离散状态空间法分析系统的稳定性状态方程当输入量 u(kT)=0 时，可知其解为系统稳定的充要条件是：系统特征方程的所有特征根 满足（5.5-12）（5.5-13）（5.5-11）第79页，本讲稿共83页说明如下：设设F是具有不同的特征值是具有不同的特征值 的的nn维矩维矩阵，则由西尔维斯特（Sylvester）定理，将 可以 展开成级数式中：为 的结构矩阵，即（5.5-14）（5.5-15）它与 k

23、 无关。将式（5.5-14）代入（5.5-11），可得到状态向量的解第80页，本讲稿共83页及常数向量。若当 时，向量 ，必须因 均与 k 无关，即与时间无关，是常数矩阵全部 满足（5.5-16）（5.5-17）可见当且仅当 时，式（5.5-17）才收敛。第81页，本讲稿共83页5.6 线性连续系统的离散化采样系统将连续时间系统化为离散系统。基本假定：（1）离散方式是普通的周期采样。采样是等间隔进行的，采样周期为T；采样脉冲宽度远小于采样周期，因而可以忽略不计；（2）采样周期T的选择满足香农（Shannon）采样定理即离散函数可以不失真地恢复为原连续函数；（3）保持器为零阶保持器。第82页，本讲稿共83页 定常连续系统的状态方程变换为离散状态方程定理 设线性定常系统状态空间表达式为满足上述基本假定，则离散化状态空间表达式为式中F、G、C、D为常数矩阵（5.6-1）（5.6-2）第83页，本讲稿共83页