第五节条件分布与条件期望优秀课件.ppt

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1、第五节条件分布与条件期望第1页，本讲稿共22页 设设(X X,Y Y)是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量,其分布律为其分布律为 P PX X=x xi i,Y Y=y yj j=p pijij,i,j=1,2,.,i,j=1,2,.(X X,Y Y)关于关于X X和关于和关于Y Y的边缘分布律分别为的边缘分布律分别为 PX=PX=x xi i=p pii i=1,2,.i=1,2,.PY=PY=y yj j=p pjj j=1,2,.j=1,2,.设设p pii0,0,p pjj00，考虑在事件，考虑在事件Y=Y=y yj j 已发生的条件下事件已发生的条件下事件X=X=x xi i 发

2、生的概率发生的概率,即即 X=X=x xi i|Y=|Y=y yj j,i i=1,2,.=1,2,.的概率的概率,由条件概率公式由条件概率公式,一、离散型随机变量的条件分布律第2页，本讲稿共22页 显然，上述条件概率具有分布律的特性显然，上述条件概率具有分布律的特性(1).PX=(1).PX=x xi i|Y=|Y=y yj j00；1定义 设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定 的j，若PY=yj0，则称 为在Y=yj条件下随机变量X的条件分布律。第3页，本讲稿共22页 同理，对于固定的同理，对于固定的i i，若，若PX=PX=x xi i00，则称，则称 为在X=xi条件下随机变量Y

3、的条件分布律。2.条件分布函数 第4页，本讲稿共22页同理：同理：例 二维离散型随机变量(X,Y)的分布律如表 XYX1=-1 X2=1 X3=2 Y=0 1/12 0 3/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 Y=2 3/12 1/12 0求条件分布律PX=xi|Y=2.第5页，本讲稿共22页解：解：X X与与Y Y的边缘分布如表：的边缘分布如表：XYX1=-1 X2=1 X3=2 p.j Y=0 1/12 0 3/12 4/12 Y=3/2 2/12 1/12 1/12 4/12 Y=2 3/12 1/12 0 4/12 pi.6/12 2/12 2/12 4/12 PX=-1|

4、Y=2=p13/p.3=3/4；PX=1|Y=2=p23/p.3=1/4；PX=2|Y=2=p33/p.3=0；又如：PX=1|Y=0=p21/p.1=0等；第6页，本讲稿共22页设设(X,Y)(X,Y)是二维连续型随机变量是二维连续型随机变量,这时由于对任意这时由于对任意x,yx,y有有PX=PX=x x=0,=0,PY=PY=y y=0,=0,因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数因此不能直接用条件概率公式引入条件分布函数PXPXx x|Y|Yy y.下面我们用极限的方法来处理下面我们用极限的方法来处理.给定给定y y,设对于任意固定的正数设对于任意固定的正数,P,Py y-YYy y

5、+0 ,+0 ,于是对于于是对于任意任意x有有 上式给出了在任意上式给出了在任意y-YYy+下下X X的条件分布函的条件分布函数数,现在我们引入以下的定义现在我们引入以下的定义.二、连续型随机变量条件分布的定义 第7页，本讲稿共22页1.1.条件分布函数的定义：条件分布函数的定义：给定给定y,设对于任意实数设对于任意实数x,若极限若极限 存在存在,则称此极限为则称此极限为在条件在条件Y Y=y下下X X的条件分布函数的条件分布函数,记为记为PXPXx|Y=|Y=y 或记为或记为F FX|YX|Y(x|y).).2公式：设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，概率密度为p(x,y).若在点(x,y

6、)处p(x,y)连续,且pY(y)0,则有 第8页，本讲稿共22页第9页，本讲稿共22页3.3.条件概率密度条件概率密度 定义定义同理，称为在Y=y条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。称为在X=x条件下X的条件概率密度，且满足概率密度的两个性质。第10页，本讲稿共22页例例:设设(X,Y)(X,Y)服从二维正态分布服从二维正态分布 N(N(1 1,2 2,1 12 2,2 22 2,),),求在求在X=X=x x的的条件下条件下,Y,Y的条件密度函数的条件密度函数p pY|XY|X(y|x).).解解:(X,Y):(X,Y)的密度函数为的密度函数为由以前的例子知道 所以X=x条件

7、下Y的条件概率密度为 第11页，本讲稿共22页这正是正态分布 例:设数X在区间(0,1)上随机地取值,当观察到X=x(0 x1)时,数Y在区间(x,1)上随机取值.求Y的概率密度pY(y).第12页，本讲稿共22页解解:按题意按题意X X具有概率密度具有概率密度 对于任意的x(0 x1),在X=x的条件下,Y的条件概率密度 于是得关于Y的边缘概率密度为 第13页，本讲稿共22页三、连续场合的全概率公式和贝叶斯公式由条件概率密度定义知,故全概率公式的密度函数形式代入条件概率密度定义式,即得贝叶斯公式的密度函数形式第14页，本讲稿共22页例设X在X=x的条件下求Y的概率密度解根据题意,有故按x 配

8、方积分第15页，本讲稿共22页即 Y仍服从正态分布 .第16页，本讲稿共22页二、条件数学期望1 定义:X在Y=y的条件下的条件分布的数学期望(若存在)称为X在Y=y的条件下的条件期望.具体定义式:(1)当(X,Y)为离散随机向量时,(2)当(X,Y)为连续随机向量时,同样地可定义Y在X=x的条件下的条件期望.第17页，本讲稿共22页若记可以看出,X在Y=y的条件下的条件期望是y的函数,它是一个变量.这不同于无条件期望E(X).Y取确定值y的条件下Y取值随机的条件下则作为随机变量Y的函数,我们可称之为在给定Y的条件下X的条件期望,它是随机变量.第18页，本讲稿共22页2.重期望公式定理:设(X

9、,Y)为二维随机向量,且E(X)存在,则证明:略.特殊的情形(1)Y离散情形下(2)Y连续情形下给定Y=y时算X的条件期望,然后按Y=y的可能性大小进行加权平均第19页，本讲稿共22页条件期望的应用设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能设在一个指定的时间内供给一水电公司的电能是一个随机是一个随机变量变量,且且 在在10,30上服从均匀分布上服从均匀分布.该公司对于电能的需要该公司对于电能的需要量量也是一个随机变量也是一个随机变量,且且 在在10,20 上服从均匀分布上服从均匀分布.对于对于所供给的电能所供给的电能,公司取得每千瓦公司取得每千瓦0.03元利润元利润,如果需要量超过如果需要量超过

10、所能供给的电能所能供给的电能,公司就从另外的来源取得附加的电能加以公司就从另外的来源取得附加的电能加以补充补充,并取得每千瓦并取得每千瓦0.01元利润元利润,问在所考虑的指定时间内问在所考虑的指定时间内,公公司所获得的利润的期望值是多少司所获得的利润的期望值是多少?例解:设 T 是公司所获得的利润,则 当 时,第20页，本讲稿共22页当 时,由全概率公式,得(随即个随机变量和的数学期望)例设为一列独立同分布的随机变量,N是只取正整数的随机变量正整数的随机变量,且且N与与Xn,n=1,2,相互独立相互独立.则有则有第21页，本讲稿共22页证明：=E(N)该结果的应用:见P197第22页，本讲稿共22页