第十五章分析动力学基础优秀课件.ppt

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1、第十五章分析动力学基础第1页，本讲稿共31页 引引 言言 动力学普遍方程动力学普遍方程 讨讨 论论 拉格朗日方程拉格朗日方程第第15章章 分析动力学基础分析动力学基础第2页，本讲稿共31页拓宽研究领域拓宽研究领域矢量动力学矢量动力学矢量动力学矢量动力学又称为又称为又称为又称为牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学牛顿欧拉动力学 引引 言言经典动力学发展的两个方面：经典动力学发展的两个方面：寻求新的表达形式寻求新的表达形式将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学将虚位移原理和达朗贝尔原理结合应用于动力学 建

2、立建立建立建立分析力学分析力学分析力学分析力学的新体系。该体系组成之一即的新体系。该体系组成之一即的新体系。该体系组成之一即的新体系。该体系组成之一即拉格朗日力学拉格朗日力学拉格朗日力学拉格朗日力学牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律牛顿运动定律 由单个自由质点由单个自由质点由单个自由质点由单个自由质点 受约束质点和质点系。受约束质点和质点系。受约束质点和质点系。受约束质点和质点系。欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律欧拉将牛顿运动定律 刚体和理想流。刚体和理想流。刚体和理想流。刚体和理想流。第3页，本讲稿共31页 动力学普遍方程动力学普遍方程 动力学普遍方程动力学普遍方程

3、应用举例应用举例 第4页，本讲稿共31页 考察由考察由考察由考察由n n个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有个质点的、具有理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有主动力主动力主动力主动力约束力约束力约束力约束力惯性力惯性力惯性力惯性力 令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移令系统有任意一组虚位移系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为系统的总虚功为 动力学普遍方程动力学普遍方程利用理想约束条件利用理想约束条件利用理想约束条件利用理想约束条件得到得到得到得到

4、 动力学普遍方程（动力学普遍方程（动力学普遍方程（动力学普遍方程（达朗贝尔拉格朗日方程）达朗贝尔拉格朗日方程）达朗贝尔拉格朗日方程）达朗贝尔拉格朗日方程）任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在任意瞬时作用于具有理想、双面约束的系统上的主动力与惯性力在系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称系统的任意虚位移上的元功之和等于零。称 达朗贝尔拉格朗日原达朗贝尔拉格朗日原达朗贝尔拉格朗日原达朗贝

5、尔拉格朗日原理理理理(dAlembert Lagrange principle)(dAlembert Lagrange principle)。第5页，本讲稿共31页动力学普遍方程的动力学普遍方程的动力学普遍方程的动力学普遍方程的直角坐标形式直角坐标形式直角坐标形式直角坐标形式动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程动力学普遍方程 动力学普遍方程动力学普遍方程适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有

6、完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。动力学普遍方程：动力学普遍方程：动力学普遍方程：动力学普遍方程：适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；第6页，本讲稿共31页 达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解达朗贝尔拉格朗日方程主要应用于求解动力学第二类问动力学第

7、二类问动力学第二类问动力学第二类问题题题题，即：已知主动力求系统的运动规律。，即：已知主动力求系统的运动规律。，即：已知主动力求系统的运动规律。，即：已知主动力求系统的运动规律。应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要应用达朗贝尔拉格朗日方程求解系统运动规律时，重要的是正确的是正确的是正确的是正确分析运动分析运动分析运动分析运动，并在系统上，并在系统上，并在系统上，并在系统上施加惯性力施加惯性力施加惯性力施加惯性力。应用举例应用举例 由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不由于达朗贝

8、尔拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不由于达朗贝尔拉格朗日方程中不包含约束力，因此，不需要解除约束，也不需要将系统拆开。需要解除约束，也不需要将系统拆开。需要解除约束，也不需要将系统拆开。需要解除约束，也不需要将系统拆开。应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确应用达朗贝尔拉格朗日方程时，需要正确分析分析分析分析主动力主动力主动力主动力和惯性力作用点的和惯性力作用点的和惯性力作用点的和惯性力作用点的虚位移虚位移虚位移虚位移，并正确，并正确，并正确，并正确计算计算计算计算相应的相应

9、的相应的相应的虚功虚功虚功虚功。第7页，本讲稿共31页例例 题题 1 B BA AC Cl ll ll ll l O O1 1x x1 1y y1 1离心调速器离心调速器离心调速器离心调速器已知：已知：已知：已知：m m1 1球球球球A A、B B 的质量；的质量；的质量；的质量；m m2 2重锤重锤重锤重锤C C 的质量；的质量；的质量；的质量；l l杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；杆件的长度；O O1 1 y y1 1轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。轴的旋转角速度。求：求：求：求：的关系。的关系。的关系。的关系。应用举例应用举例 第8页，本讲稿共31页 C Cl ll

10、ll ll l O O1 1x xy yA AB B 解：解：解：解：不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有不考虑摩擦力，这一系统的约束为理想约束；系统具有一个自由度。一个自由度。一个自由度。一个自由度。取广义坐标取广义坐标取广义坐标取广义坐标 q q=1 1、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力、分析运动、确定惯性力 球球球球A A、B B绕绕绕绕 y y轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。轴等速转动；重锤静止不动。球

11、球球球A A、B B的惯性力为的惯性力为的惯性力为的惯性力为F FI IB BF FI IA Am m1 1 g gm m1 1 g gm m2 2 g g2 2、给、给、给、给系统有一系统有一系统有一系统有一虚位移虚位移虚位移虚位移 。A A、B B、C C 三三三三处的虚位移分别为处的虚位移分别为处的虚位移分别为处的虚位移分别为 r rA A、r rB B、r rC C r rB B r rA A r rC C 3 3、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程第9页，本讲稿共31页 C Cl ll ll ll l O O1 1x

12、 xy yA AB Bm m1 1 g gm m1 1 g gm m2 2 g g r rB B r rA A r rC C 根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有根据几何关系，有F FI IB BF FI IA A第10页，本讲稿共31页例例 题题 2x xO Oy yC C2 2D D 质量为质量为质量为质量为m m1 1的三棱柱的三棱柱的三棱柱的三棱柱ABCABC通过滚轮搁置在光滑的水平通过滚轮搁置在光滑的水平通过滚轮搁置在光滑的水平通过滚轮搁置在光滑的水平面上。质量为面上。质量为面上。质量为面上。质量为m m2 2、半径为、半径为、半径为、半径为R R的均质圆轮沿三棱柱的斜面

13、的均质圆轮沿三棱柱的斜面的均质圆轮沿三棱柱的斜面的均质圆轮沿三棱柱的斜面ABAB无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。无滑动地滚下。求：求：求：求：1 1、三棱柱后退的加、三棱柱后退的加、三棱柱后退的加、三棱柱后退的加速度速度速度速度a a1 1；2 2、圆轮质心、圆轮质心、圆轮质心、圆轮质心C C2 2相对于三相对于三相对于三相对于三棱柱加速度棱柱加速度棱柱加速度棱柱加速度a ar r。C C1 1A AC CB B 应用举例应用举例 第11页，本讲稿共31页x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B 解：解：解：解：1 1、分析运动、分析运动、分析运动、分析运动

14、三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为三棱柱作平动，加速度为 a a1 1。a a1 1 圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连圆轮作平面运动，质心的牵连加速度为加速度为加速度为加速度为a ae e=a a1 1 ；质心的相对加质心的相对加质心的相对加质心的相对加速度为速度为速度为速度为a ar r；圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为圆轮的角加速度为 2 2。a ae ea ar r 2 22 2、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力、施加惯性力m m1 1g gm m2 2 g gF FI1I1F FI 2 eI

15、 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I23 3、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移、确定虚位移x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2 g gF FI1I1F FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2 x x 考察三棱柱和圆盘组成的系统，考察三棱柱和圆盘组成的系统，考察三棱柱和圆盘组成的系统，考察三棱柱和圆盘组成的系统，系统具有两个自由度系统具有两个自由度系统具有两个自由度系统具有两个自由度第12页，本讲稿共31页x xO Oy yC C2 2D DC C1 1A AC CB B m m1 1g gm m2 2

16、 g gF FI1I1F FI 2 eI 2 eF FI 2 rI 2 rMMI2I2 x x 4 4、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程、应用达朗贝尔拉格朗日方程求解联立方程，得：求解联立方程，得：求解联立方程，得：求解联立方程，得：第13页，本讲稿共31页 拉格朗日方程拉格朗日方程 拉格朗日关系式拉格朗日关系式 拉格朗日方程拉格朗日方程 拉格朗日方程的有势力形式拉格朗日方程的有势力形式 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用第14页，本讲稿共31页 考察由考察由考察由考察由n n个质点组成的系统，系统具有个质点组成的系统，系统具有个质点组成的系统，系

17、统具有个质点组成的系统，系统具有s s个理想的、且为个理想的、且为个理想的、且为个理想的、且为完整的约束，系统的广义坐标数为完整的约束，系统的广义坐标数为完整的约束，系统的广义坐标数为完整的约束，系统的广义坐标数为 N N=3 3n n-s s 。第。第。第。第i i个质点的个质点的个质点的个质点的位矢为位矢为位矢为位矢为 拉格朗日关系式拉格朗日关系式第15页，本讲稿共31页对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标对任意一个广义坐标q qa a求偏导数求偏导数求偏导数求偏导数 如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个广义坐标如果将位矢对任意一个

18、广义坐标q qa a求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求求偏导数，再对时间求导数，则得到导数，则得到导数，则得到导数，则得到 拉格朗日关系式拉格朗日关系式比较上两式：比较上两式：第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式第二个拉格朗日关系式 位矢位矢位矢位矢 r ri i对对对对q qj j的偏导数与位矢的偏导数与位矢的偏导数与位矢的偏导数与位矢r ri i对时间对时间对时间对时间 t t的全导数运算可以互的全导数运算可以互的全导数运算可以互的全导数运算可以互换换换换(微分记号互换微分记号互换微分记号互换微分记号互换)第16页，本讲稿共31页由达朗贝尔

19、拉格朗日方程由达朗贝尔拉格朗日方程由达朗贝尔拉格朗日方程由达朗贝尔拉格朗日方程 拉格朗日关系式拉格朗日关系式广义主动力广义主动力广义主动力广义主动力F FQ Qj j广义惯性力广义惯性力广义惯性力广义惯性力F FI Ij j第17页，本讲稿共31页广义主动力广义主动力广义主动力广义主动力F FQ Qj j广义惯性力广义惯性力广义惯性力广义惯性力F FI Ij j引入动能函数引入动能函数引入动能函数引入动能函数达朗贝尔拉格朗日方程达朗贝尔拉格朗日方程达朗贝尔拉格朗日方程达朗贝尔拉格朗日方程的广义坐标形式的广义坐标形式的广义坐标形式的广义坐标形式对于只具有完整约束的系统，由于对于只具有完整约束的系

20、统，由于对于只具有完整约束的系统，由于对于只具有完整约束的系统，由于 q qj j 的独立性，的独立性，的独立性，的独立性，q qj j (j=j=1,2,1,2,N N)得到得到得到得到此即此即此即此即拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程，或称为，或称为，或称为，或称为第二类拉格朗日方第二类拉格朗日方第二类拉格朗日方第二类拉格朗日方程程程程Lagrange equation(of the second kind)Lagrange equation(of the second kind)。第18页，本讲稿共31页 如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统

21、上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主如果作用在系统上的主动力都是有势力，根据有势力的广义主动力动力动力动力 拉格朗日方程的有势力形式拉格朗日方程的有势力形式引入引入引入引入拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数L LT TV V得到得到得到得到主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程主动力为有势力的拉格朗日方程第19页，本讲稿共31页 对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为对于只具有完整约束、自由度为N N的系统，可以得到的系统，可以得到

22、的系统，可以得到的系统，可以得到由由由由N N个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。个拉格朗日方程组成的方程组。应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下应用拉格朗日方程，一般应遵循以下步骤：步骤：步骤：步骤：首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，首先，要判断约束性质是否完整、主动力是否有势，决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定采用哪一种形式的拉格朗日方程。决定

23、采用哪一种形式的拉格朗日方程。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广义力。义力。义力。义力。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日

24、方程。拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用第20页，本讲稿共31页例例 题题 3 x xO Ox xl l0 0A AB B 质量为质量为质量为质量为m m、长度为、长度为、长度为、长度为l l的均质杆的均质杆的均质杆的均质杆ABAB可以绕可以绕可以绕可以绕A A端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。端的铰链在平面内转动。A A端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为端的小圆轮与刚度系数为k k的弹的弹的弹的弹簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。簧相连，并可在滑槽内上下滑动。弹簧的原长为

25、弹簧的原长为弹簧的原长为弹簧的原长为l l0 0。求求求求：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程C Ck k 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用第21页，本讲稿共31页x xO O x xl l0 0A AB BC Ck k 解：解：解：解：1 1、系统的约束为完整约束，主动力为、系统的约束为完整约束，主动力为、系统的约束为完整约束，主动力为、系统的约束为完整约束，主动力为有势力。有势力。有势力。有势力。2 2、系统具有两个自由度，广义坐标选择为、系统具有两个自由度，广义坐标选择为、系统具有两个自由度，广义坐标选择为、系统具有两个自由度，广义坐标选择

26、为q q=(x x,),x x坐标的原点取在弹簧原长的下方。坐标的原点取在弹簧原长的下方。坐标的原点取在弹簧原长的下方。坐标的原点取在弹簧原长的下方。3 3、计算系统的动能：不计弹簧的质量，、计算系统的动能：不计弹簧的质量，、计算系统的动能：不计弹簧的质量，、计算系统的动能：不计弹簧的质量，系统的动能即为系统的动能即为系统的动能即为系统的动能即为ABAB杆的动能杆的动能杆的动能杆的动能速度速度速度速度v vC C的确定的确定的确定的确定第22页，本讲稿共31页x xO O x xl l0 0A AB BC Ck k 系统的势能由弹簧势能与重力势能所系统的势能由弹簧势能与重力势能所系统的势能由弹

27、簧势能与重力势能所系统的势能由弹簧势能与重力势能所组成，以组成，以组成，以组成，以O O点为共同的势能零点：点为共同的势能零点：点为共同的势能零点：点为共同的势能零点：拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数拉格朗日函数4 4、应用拉格朗日方程运动微分方程、应用拉格朗日方程运动微分方程、应用拉格朗日方程运动微分方程、应用拉格朗日方程运动微分方程第23页，本讲稿共31页第24页，本讲稿共31页B BA Ak k例例 题题 4O Or r0 0 均质杆均质杆均质杆均质杆OAOA，重量为，重量为，重量为，重量为WW，长度为，长度为，长度为，长度为l l绕绕绕绕O O作定轴转动。重量同为作定轴转动。重量同

28、为作定轴转动。重量同为作定轴转动。重量同为WW的滑的滑的滑的滑块块块块B B套在套在套在套在OAOA杆上，可在杆上，可在杆上，可在杆上，可在OBOB杆上滑杆上滑杆上滑杆上滑动。刚度系数为动。刚度系数为动。刚度系数为动。刚度系数为k k、不计质量的弹、不计质量的弹、不计质量的弹、不计质量的弹簧，两端分别与簧，两端分别与簧，两端分别与簧，两端分别与A A、B B相连。相连。相连。相连。弹簧未变形时，弹簧未变形时，弹簧未变形时，弹簧未变形时，OBOBr r0 0。求求求求：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程：系统的运动微分方程(摩擦摩擦摩擦摩擦忽略不计忽略不计忽略不计忽略不计

29、)拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用第25页，本讲稿共31页B BA Ak kr r0 0BBA Ar rO O 解：解：解：解：1 1、系统的约束为完整约束，且主动力有势。、系统的约束为完整约束，且主动力有势。、系统的约束为完整约束，且主动力有势。、系统的约束为完整约束，且主动力有势。2 2、系统的自由度、系统的自由度、系统的自由度、系统的自由度N N2 2。取广义坐标。取广义坐标。取广义坐标。取广义坐标 q q=(r r,)。3 3、确定系统的动能和势能：、确定系统的动能和势能：、确定系统的动能和势能：、确定系统的动能和势能：WWF FWWF F零势能取弹簧原长及水平线。零势能取弹簧原长

30、及水平线。零势能取弹簧原长及水平线。零势能取弹簧原长及水平线。应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程求解。第26页，本讲稿共31页例例 题题 5 拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用图示系统中，物块A与球B看成两个质点，质量分别为 ,用质量不计的长为 l 的杆相连。水平面光滑，求系统的运动微分方程。第27页，本讲稿共31页解：系统受理想约束，主动力(重力)有势。系统有二自由度，选 为广义坐标。代入拉氏方程代入拉氏方程系统运动微分方程系统运动微分方程 第28页，本讲

31、稿共31页适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有定常（或非定常）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有完整（或非完整）约束的系统；适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。适用于具有有势力（或无势力）的系统。动力学普遍方程：动力学普遍方程：动力学普遍方程：动力学普遍方程：适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；适用于

32、具有理想约束或双面约束的系统；适用于具有理想约束或双面约束的系统；讨讨 论论 第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗第一类拉格朗日方程，即达朗贝尔拉格朗日方程，又称为动力学普遍方程。日方程，又称为动力学普遍方程。日方程，又称为动力学普遍方程。日方程，又称为动力学普遍方程。第29页，本讲稿共31页 第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程第二类拉格朗日方程:仅用动能、势能以及广义主动力等少数仅用动能、势能以及广义主动力等少数仅用动能、势能以及广义主动力等少数仅用动能、势能以及广义主动力等少数几个标量便可描述复杂质

33、点系的运动。但只能用于具有完整约束的几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的几个标量便可描述复杂质点系的运动。但只能用于具有完整约束的系统。系统。系统。系统。基本形式基本形式基本形式基本形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式主动力有势形式主动力包含有势力和非有势力形式主动力包含有势力和非有势力形式主动力包含有势力和非有势力形式主动力包含有势力和非有势力形式(j j=1,2,=1,2,N N)(j j=1,2,=1,2,N N)(j j=1,2,=1,2,N N)讨讨 论论第30页，本讲稿共31页本章作业 范：范：17-3 17-517-7 17-817-10 17-1217-13 17-15哈：哈：18-4 18-518-7 18-1018-13 18-1418-18 18-2118-22 18-25第31页，本讲稿共31页