高考数学专题复习精课件—06函数的解析式.ppt

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1、函数解析式2021/8/11 星期三1 在给定条件下求函数的解析式在给定条件下求函数的解析式 f(x),是高中数学中经常涉是高中数学中经常涉及的内容及的内容,形式多样形式多样,没有一定的程序可循没有一定的程序可循,综合性强综合性强,解解起来有相当的难度起来有相当的难度,但是只要认真仔细去探索但是只要认真仔细去探索,还是有一些常还是有一些常用之法用之法.下面谈谈求函数解析式下面谈谈求函数解析式 f(x)的方法的方法.一、配凑法一、配凑法例例1 已知已知 f()=+,求求 f(x).xx+1x2x2+1x1f(x)=x2-x+1(x1).解解:f()=+xx+1x2x2+1x1=1+x21x1=(

2、+1)2-(+1)+1 x1x1并且并且 1,xx+1=()2-()+1 xx+1xx+1评评注注:若在若在给给出的函数关系式中出的函数关系式中 与与 的关系的关系不明不明显时显时,要通要通过过恒等恒等变变形形寻寻找二者的关系找二者的关系.+x2x2+1x1xx+12021/8/11 星期三2二、换元法二、换元法 所以所以 f(x)=2lnx-3(x0).评评注注:通通过换过换元元,用用“新元新元”代替原表达式中的代替原表达式中的“旧元旧元”,从从而求得而求得 f(x).又如又如:已知已知 f(cosx-1)=cos2x.求求 f(x).例例2 已知已知 f(ex)=2x-3,求求 f(x).

3、解解:设设 t=ex,则则 x=lnt 且且 t0,有有:f(t)=2lnt-3(t0).f(x)=2x2+4x+1(-2x0)三、解方程组法三、解方程组法例例3 已知已知 f(x)+f()=1+x(x0,1),求求 f(x).xx-1解解:记题记题中式子中式子为为式式,用用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:xx-1f()+f()=,xx-11-x1x2x-1再用再用 代替代替中的中的 x,整理得整理得:1-x1f()+f(x)=,1-x11-x2-x解由解由,组组成的方程成的方程组组,得得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.2021/8/11 星期三3 评评注注:把把 f(x),f

4、(),f()都看作都看作“未知数未知数”,把已知条件把已知条件化化为为方程方程组组的形式解得的形式解得 f(x).又如又如:已知已知 af(x)+bf()=cx,其中其中,|a|b|,求求 f(x).xx-1 1-x 1 1xf(x)=(ax-).a2-b2cbx四、递推求和法四、递推求和法 例例4 已知已知 f(n)-f(n-1)=an,n 为为不小于不小于 2 的自然数的自然数,a0 且且f(2)=8,求求 f(n)的解析式的解析式.解解:由已知由已知,f(3)-f(2)=a3,f(4)-f(3)=a4,f(n)-f(n-1)=an,将将这这(n-2)个式子相加个式子相加,得得:评评注注:

5、这这是运用数列中是运用数列中递递推公式的思想推公式的思想.f(n)-f(2)=a3+a4+an=n-2 (a=1 时时);a3(1-an-2)(1-a)-1 (a1 时时).f(n)=n+6 (a=1 时时);8+(a3-an+1)(1-a)-1 (a1 时时).f(2)=8,2021/8/11 星期三4五、待定系数法五、待定系数法例例5 设设 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求求 f(x).解解:由原式可知由原式可知 fg(x)中的中的 g(x)一个是一个是 2x,另一个是另一个是 3x+1,都是一次式都是一次式.而右端是二次式，故而右端是二次式，故 f(x)是一个二次式是一

6、个二次式,则则可可设设:f(x)=ax2+bx+c,从而有从而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比比较较系数得系数得:a=1,b=0,c=-1.从而有从而有:f(x)=x2-1.评评注注:先分析出先分析出 f(x)的基本形式的基本形式,再用待定系数法再用待定系数法,求出各求出各系数系数.又由已知又由已知 f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)与与 13x2+6x-1 表示同一个式子表示同一个式子,即即 13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)13x2+6x-1.2021/8/11 星期三

7、5例例6 已知已知 fff(x)=27x+13,且且 f(x)是一次式是一次式,求求 f(x).解解:由已知可由已知可设设 f(x)=ax+b,则则:六、迭代法六、迭代法ff(x)=a2x+ab+b.fff(x)=a3x+a2b+ab+b.由由题题意知意知:a3x+a2b+ab+b27x+13.比比较较系数得系数得:a=3,b=1.故故 f(x)=3x+1.评评注注:本本题题的解法除了用迭代法的解法除了用迭代法,还还用了待定系数法用了待定系数法.2021/8/11 星期三6七、数学归纳法七、数学归纳法例例7 已知已知 f(n+1)=2+f(n)(nN+),且且 f(1)=a,求求 f(n).1

8、2解解:f(1)=a f(2)=2+a 12=4-21+2-1a,故猜想故猜想:f(n)=4-23-n+21-na,用数学用数学归纳归纳法法证证明如下明如下:f(5)=2+f(4)12f(3)=2+f(2)=3+a 1214=4-20+2-2a,f(4)=2+f(3)=+a 127218=4-2-1+2-3a,=4-2-2+2-4a,=4-22+20a,证证明从略明从略.故故 f(n)=4-23-n+21-na.评注评注:先用不完全归纳法摸索出规律先用不完全归纳法摸索出规律,再用数学归纳法证再用数学归纳法证明明,适用于自然数集上的函数适用于自然数集上的函数.2021/8/11 星期三7课堂练习

9、课堂练习1.已知已知 f(x)是一次函数是一次函数,且且 ff(x)=4x-1,求求 f(x)的解析式的解析式.5.若若 3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求求 f(x).2.已知已知 f(4x+1)=,求求 f(x)的解析式的解析式.4x+616x2+14.已知已知 2f(x)+f(-x)=10 x,求求 f(x).6.已知已知 f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求求 f(x).7.已知已知 f(x)是是 R 上的偶函数上的偶函数,且且 f(x+4)=f(-x),当当 x(-2,2)时时,f(x)=-x2+1,求当求当 x(-6,-2)时时 f(x)的解析式的解析

10、式.f(x)=-2x+1 或或 2x-13x+5 x2-2x+2 f(x)=f(x)=x2-1(x1)f(x)=10 x-10-x 1323f(x)=2x+25f(x)=x2+x+1 f(x)=-x2-8x-158.已知函数已知函数 f(x)=求求 f(x+1).x2,x 0,+),x(-(-,0),1xf(x+1)=(x+1)2,x-1,+).,x(-(-,-1),x+1 1 3.已知已知 f(x+1)=x+2 x,求求 f(x).2021/8/11 星期三8 9.已知已知 F(x)=f(x)-g(x),其中其中 f(x)=loga(x-b),当且仅当点当且仅当点(x0,y0)在在 f(x)

11、的图象上时的图象上时,点点(2x0,2y0)在在 y=g(x)的图象上的图象上(b1,a0 且且a1),(1)求求 y=g(x)的解析式的解析式;(2)当当 F(x)0 时时,求求 x 的的范围范围.解解:(1)由已知由已知 y0=loga(x0-b),2y0=g(2x0)g(x)=2loga(-b).x2(2)由由(1)知知:F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga(-b).x2故由故由 F(x)0 可得可得:loga(x-b)2loga(-b).x2当当 a1 时时,x-b(-b)2,x2-b0,x2解得解得:2bx2b+2+2 b+1.解得解得:x2b+2+2 b+1.当当 0a0,x2综上所述综上所述:当当 a1 时时,2bx2b+2+2 b+1;当当 0a1 时时,x2b+2+2 b+1.2021/8/11 星期三9