第六章非线性方程求根优秀课件.ppt

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1、第六章非线性方程求根第1页，本讲稿共62页 公元前1700年的古巴比伦人就已有关于一、二次方程的解法。九章算术(公元前50100年)其中“方程术”有联立一次方程组的一般解法。1535年意大利数学家尼柯洛 冯塔纳冯塔纳找到了一元三次方程一般形式的求根方法。这个成就，使他在几次公开的数学较量中大获全胜，从此名扬欧洲。但是冯塔纳不愿意将他的这个重要发现公之于世.第2页，本讲稿共62页 当时的另一位意大利数学家兼医生卡尔丹诺，对冯塔纳的发现非常感兴趣。他几次诚恳地登门请教，希望获得冯塔纳的求根公式。后来，冯塔纳终于用一种隐晦得如同咒语般隐晦得如同咒语般的语言，把三次方程的解法“透露”给了卡尔丹诺。冯塔

2、纳认为卡尔丹诺很难破解他的“咒语”，可是卡尔丹诺通过解三次方程的对比实践，很快就彻底破译了冯塔纳的秘密。第3页，本讲稿共62页卡尔丹诺把冯塔纳的三次方程求根公式，写进了自己的学术著作大法大法中，但并未提到冯塔纳的名字。由于第一个发表三次方程求根公式的人确实是卡尔丹诺，因此后人就把这种求解方法称为“卡尔丹诺公式”。第4页，本讲稿共62页 后来，卡尔丹诺的学生弗瑞里(Ferrari)又提出了四次方程的解法。但对于五次方程求根，求索工作始终没有成效，导致人们对高次代数方程解的存在性产生了怀疑。1828年17岁的法国数学家伽罗华(EGalois 1811-1832)写出了划时代的论文“关于五次方程的代

3、数解法问题”，指出即使在公式中容许用n次方根，并用类似算法求五次或更高次代数方程的根是不可能的第5页，本讲稿共62页文章呈交法兰西科学院后，因辈份太低遭到冷遇，且文稿丢失。1830年伽罗华再进科学院递稿，得到泊松院士的判词“完全不能理解完全不能理解”。后来伽罗华命运不佳，投考名校巴黎工科大学落榜，屈就高等师院，并卷入政事两次入狱，被开除学籍，又决斗受伤，死于1832年。决斗前，他把关于五次代数求解的研究成果写成长信，留了下来。第6页，本讲稿共62页 十四年后，法国数学家刘维尔(JLiouville)整理并发表了伽罗华的遗作，人们才意识到这项近代数学发展史上的重要成果的宝贵。38年后，即1870

4、年，法国数学家若当(CJordan)在专著论置换与代数方程中阐发了伽罗华的思想，一门现代数学的分支 群论群论诞生了。在前几个世纪中，曾开发出一些求解代数方程的有效算法，它们构成了数值分析中的古典算法。至于超越方程则不存在一般的求根方式。第7页，本讲稿共62页求根问题包括下面三个问题：求根问题包括下面三个问题：根的存在性：即根的存在性：即f(x)=0有没有根？若有，有有没有根？若有，有 几个根？几个根？哪儿有根？确定有根区间哪儿有根？确定有根区间 根的精确化：已知一个根的近似值后，能否根的精确化：已知一个根的近似值后，能否 将它精确到足够精度？将它精确到足够精度？本章假设本章假设 f Ca,b，

5、且，且 f(a)f(b)0，则，则 f 在在(a,b)上至少有上至少有一根，一根，(a,b)即为有根区间。问题即为有根区间。问题1、2得到解决。得到解决。第8页，本讲稿共62页(1)图解法（利用作图软件如图解法（利用作图软件如 Matlab)(2)扫描法（逐步搜索法）扫描法（逐步搜索法）(3)二分法二分法*2 根的搜索根的搜索第9页，本讲稿共62页 （1）(描描)做图法做图法 画出画出 y=f(x)的草图的草图,由由f(x)与横轴交点的大概位置来与横轴交点的大概位置来确定确定隔根区间隔根区间;或者利用导函数或者利用导函数f(x)的正、负与函数的正、负与函数f(x)的单的单调性的关系确定根的大概

6、位置调性的关系确定根的大概位置.若若f(x)比较复杂比较复杂,还可将方程还可将方程f(x)=0化为一个等价方程化为一个等价方程(x)=(x),则曲线则曲线y=(x)与与y=(x)之之交点交点A(x*,y*)的的横坐标横坐标 x*即为原方程之根即为原方程之根,据此也可通过作图求得据此也可通过作图求得x*的的隔根区间隔根区间.第10页，本讲稿共62页如求解方程如求解方程 的近似根的近似根 方法方法1:将方程同解变换成将方程同解变换成 然后画两条曲线然后画两条曲线 第11页，本讲稿共62页023yx这两条曲线的交点的横座标大致为这两条曲线的交点的横座标大致为x=2.5第12页，本讲稿共62页1.逐步

7、搜索法逐步搜索法2 根的搜索根的搜索 2.逐步搜索法逐步搜索法设设f(a)0，有根区间为，有根区间为(a,b)，从，从x0=a出发，出发，按某个预定步长按某个预定步长(例如例如h=(b-a)/N)一步一步向右跨，一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即每跨一步进行一次根的搜索，即判别判别f(xk)=f(a+kh)的符号，若的符号，若f(xk)0(而而f(xk-1)0),则有根区间缩小则有根区间缩小为为xk-1,xk(若若f(xk)=0，xk即为所求即为所求根根),然后从然后从xk-1出发，把搜索步长出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：足精度：|x

8、k-xk-1|为止，此时为止，此时取取x*(xk+xk-1)/2作为近似根。作为近似根。无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 计算量大，收敛慢计算量大，收敛慢 简单简单;对对f(x)要求不高要求不高 (只要连续即可只要连续即可).x0=abxk-1xkx*第13页，本讲稿共62页2.Bisection Method 3.二分法二分法 /*Bisection Method*/(逐步搜索法的改进逐步搜索法的改进)设设f(x)的有根区间为的有根区间为a,b=a0,b0,f(a)0.将将a0,b0,对分，中点对分，中点x0=(a0+b0)/2),计算计算f(x0),若若f(x0)=0,x*=x0 0,

9、有根区间有根区间:a1,b1=a,x0对对a1,b1对分，如此反复进行，得到一系列有根区间：对分，如此反复进行，得到一系列有根区间：f(ak)0,f(bk)0,f(x*)=lim f(ak)=lim f(bk)abx1x2x*第14页，本讲稿共62页When to stop?取xk=(ak+bk)/2 (ak,bk的中点)，显然有 limxk=x*.算法和收敛性说明算法和收敛性说明。或或不能保证不能保证 xk的精度的精度abx1x2x*2xkx*2.Bisection Method第15页，本讲稿共62页第第1步产生的步产生的有误差有误差第第 k 步产生的步产生的 xk 有误差有误差对于给定的

10、精度对于给定的精度 ,可估计二分法所需的步数可估计二分法所需的步数 k：简单，总收敛简单，总收敛;对对f(x)要求不高要求不高(只要连续即可只要连续即可).无法求复根及偶重根无法求复根及偶重根 收敛慢收敛慢 注：注：注：注：用二分法求根，最好先给出用二分法求根，最好先给出 f(x)草图以确定根的大概草图以确定根的大概位置。或用搜索程序，将位置。或用搜索程序，将a,b分为若干小区间，对每一个分为若干小区间，对每一个满足满足 f(ak)f(bk)0 的区间调用二分法程序，可找出区间的区间调用二分法程序，可找出区间a,b内的多个根，且不必要求内的多个根，且不必要求 f(a)f(b)0。误差分析误差分

11、析2.Bisection Method第16页，本讲稿共62页Fixed-Point Iterationf(x)=0 x=(x)，e.g.,(x)=f(x)+x等价变换等价变换f(x)=0 的根的根 (x)的不动点的不动点一、迭代算法的原理一、迭代算法的原理f(x*)=0 x*=(x*)被这个函数映射到其自身一个点！被这个函数映射到其自身一个点！第17页，本讲稿共62页二、迭代算法的思路二、迭代算法的思路 从一个初值从一个初值 x0 出发，计算出发，计算 x1=(x0),x2=(x1),xk+1=(xk),若若 收敛，即存在收敛，即存在 x*使得使得 ，x*是是(x)的不动点，也就是的不动点，

12、也就是f(x)=0 的根。的根。xk+1=(xk)(x*)x*(x)连续连续=迭代函数迭代函数迭代格式迭代格式第18页，本讲稿共62页注意注意 x*为为的解，即这两个函数图象交点的横坐标。的解，即这两个函数图象交点的横坐标。迭代法迭代法三、迭代算法的几何意义三、迭代算法的几何意义第19页，本讲稿共62页xyy=xxyy=xxyy=xxyy=xx*x*x*x*y=g(x)y=g(x)y=g(x)y=g(x)x0p0 x1p1 x0p0 x1p1 x0p0 x1p1x0p0 x1p13.Fixed-Point Iteration第20页，本讲稿共62页例例2 2 用不动点迭代法求方程用不动点迭代法

13、求方程 x4+2x2-x-3=0在在1,1.2内的实根，取内的实根，取x0=1,精确到小数点后面精确到小数点后面6 6位位。解解迭代格式迭代格式 发散发散法一法一第21页，本讲稿共62页解解 法二法二 迭代格式迭代格式 收敛收敛第22页，本讲稿共62页迭代格式迭代格式 收敛快收敛快解解 法三法三 第23页，本讲稿共62页四、结论四、结论 可见，可见，f(x)=0的迭代函数的迭代函数（1 1）不唯一；）不唯一；（2 2）发散发散或者收敛；或者收敛；（3 3）收敛速度有快慢之分。）收敛速度有快慢之分。五、问题五、问题（1 1）迭代函数收敛的条件是什么？）迭代函数收敛的条件是什么？（2 2）收敛速度

14、如何评价？）收敛速度如何评价？第24页，本讲稿共62页定理定理1(迭代收敛条件迭代收敛条件)考虑方程考虑方程 x=g(x),g(x)Ca,b,若若(I)x a,b，g(x)a,b；(II)0 L 1,s.t.x a,b,|g(x)|L.(k=1,2,)且存在极限且存在极限k事后误差估计事先误差估计3.Fixed-Point Iteration则任取初值则任取初值 x0 a,b，由，由 xk+1=g(xk)得到的序列得到的序列 收敛于收敛于g(x)在在a,b上的唯一不动点，并且有误差估计式：上的唯一不动点，并且有误差估计式：第25页，本讲稿共62页3 Fixed-Point Iteration证

15、明证明：g(x)在在a,b上存在不动点？上存在不动点？令令有根有根 不动点唯一？不动点唯一？反证：若不然，设还有反证：若不然，设还有 ，则，则在在和和之间。之间。而而 当当k 时，时，xk 收敛到收敛到 x*？第26页，本讲稿共62页 可用可用 来控来控制收敛精度制收敛精度L 越越 收敛越快收敛越快小小注注注注：定理条件非必要条件，可将定理条件非必要条件，可将a,b缩小，定义缩小，定义局部收敛性局部收敛性3.Fixed-Point IterationDef1.If there exists a neighborhood of x*,e.g.,B =x|x x*|，s.t.x0 B ,xk+1=

16、g(xk)converges,then we say the iteration converges locally around x*.第27页，本讲稿共62页证明:注注注注：由于事先由于事先x*未知，所以无法检验条件未知，所以无法检验条件|g(x*)|1.只能只能用搜索法初步确定用搜索法初步确定x*所在区间，验证该区间内任一点所在区间，验证该区间内任一点是否有是否有|g(x*)|1.所以所以Th2实际上没什么应用价值，实际上没什么应用价值，但在理论上是对但在理论上是对g(x)的一个改进。的一个改进。3.Fixed-Point IterationTh2.若在若在 x*的某的某 领域领域 B

17、=x|x x*|有有 g C1a,b 且且|g(x*)|1，则由则由 x0 B 开始的迭代收敛。即开始的迭代收敛。即调整初值可得到调整初值可得到收敛的结果。收敛的结果。注：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，注：局部收敛性定理对迭代函数的要求较弱，但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确但对初始点要求较高，即初始点必须选在精确解的附近解的附近第28页，本讲稿共62页 Algorithm:Fixed-Point IterationFind a solution to x=g(x)given an initial approximation x0.Input:initial approximati

18、on x0;tolerance TOL;maximum number of iterations Nmax.Output:approximate solution x or message of failure.Step 1 Set i=1;Step 2 While(i Nmax)do steps 3-6Step 3 Set x=g(x0);/*compute xi*/Step 4 If|x x0|1)阶收敛，阶收敛，导数连续，则埃特金法为导数连续，则埃特金法为 2p1 阶收敛阶收敛.的的 p 阶阶若若第34页，本讲稿共62页 例题例题 求方程求方程 x=e x 在在 x=0.5 附近的根附近

19、的根.解解 取取 x0=0.5,迭代格式迭代格式x25=x26=0.5671433 若对此格式用埃特金法若对此格式用埃特金法,则则 得得第35页，本讲稿共62页仍取仍取 x0=0.5,得得由此可见由此可见,埃特金法加速收敛效果是相当显著的埃特金法加速收敛效果是相当显著的.第36页，本讲稿共62页3 Fixed-Point Iterationxyy=xy=g(x)x*x0P(x0,x1)x1x2P(x1,x2)Generally,we have比比 收敛得略快。收敛得略快。3.3.Steffensen 加速加速：Atkins method from another point of viewx*

20、x*第37页，本讲稿共62页 4.4.待定参数法待定参数法：若若|g(x)|1，则将则将 x=g(x)等价地改造为等价地改造为求求K，使得，使得例例：求求 在在(1,2)的实根。的实根。如果用如果用 进行迭代，则在进行迭代，则在(1,2)中有中有现令现令希望希望，即，即在在 (1,2)上可取任意上可取任意 ，例如，例如K=0.5，则对则对应应 即产生收敛序列。即产生收敛序列。第38页，本讲稿共62页4 牛顿迭代法牛顿迭代法 /*Newton-Raphson Method*/Newtons method from the point of view of accelerationpredictu

21、pdateM=L-1f(x)简单牛顿公式Newtons method第39页，本讲稿共62页牛顿法牛顿法是解非线性方程（组）的一种常用迭代方法，基本思想是将非线是解非线性方程（组）的一种常用迭代方法，基本思想是将非线性方程（组）转化为易于求解的线性方程（组）来求解。性方程（组）转化为易于求解的线性方程（组）来求解。Taylor 展开展开/*Taylors expansion*/设设x*有近似解有近似解xk x*，将将 f(x)在在 xk 做一阶做一阶Taylor展开，将展开，将 x=x*代入，有代入，有，在在 x*和和 xk 之间。之间。linear equation只要只要 f C1，每一步

22、迭代都有，每一步迭代都有f(xk)0，而且而且 ，则则 x*就是就是 f 的根。的根。截取线性项，得截取线性项，得xyx*xkTangent methodNewtons method from the point of view of linearization第40页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method定理定理 （牛顿法收敛的充分条件牛顿法收敛的充分条件）设）设 f C2a,b，若，若(1)f(a)f(b)0；则则Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到f(x)在在 a,b 的唯一根。的唯一根。有根有根只有单根，根唯只有单根，根唯一一产生

23、的序列单调有界，产生的序列单调有界，保证收敛。保证收敛。定理定理 （局部收敛性局部收敛性）设）设 f C2a,b，若，若 x*为为 f(x)在在a,b上的根，且上的根，且 f(x*)0，则存在，则存在 x*的邻域的邻域 使得任取初使得任取初值值 ，Newtons Method产生的序列产生的序列 xk 收敛到收敛到x*，且满足且满足第41页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method证明：证明：Newtons Method 事实上是一种特殊的不动点迭代事实上是一种特殊的不动点迭代 其中其中 ，则，则收敛收敛由由 Taylor 展开：展开：在在单根单根/*simple root

24、*/附近附近收敛快（平方收敛）收敛快（平方收敛）第42页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method注：注：注：注：Newtons Method 收敛性依赖于收敛性依赖于x0 的选取。的选取。x*x0 x0 x0第43页，本讲稿共62页牛顿法应用举例牛顿法应用举例 第44页，本讲稿共62页第45页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method改进与推广改进与推广/*improvement and generalization*/重根重根 /*multiple root*/加速收敛法：加速收敛法：Q1:若若 ，Newtons Method 是否仍收敛？是否仍收敛

25、？设设 x*是是 f 的的 n 重根，则：重根，则：且且对于牛顿法，对于牛顿法，A1:有局部收敛性有局部收敛性,但重数但重数n越高越高,g(x*)越接近于越接近于1,收敛越慢。收敛越慢。Q2:如何加速重根的收敛？如何加速重根的收敛？A2:将求将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。的重根转化为求另一函数的单根。令，则令，则 f 的重根的重根 =的单根。的单根。重重根根的的处处理理见见矩矩阵阵计计算算与与方方程程求求根根曹曹志志洁洁等等；P.208对对f(x)求求1,2阶导阶导代入即得代入即得第46页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method 正割法正割法 /*Secant

26、Method*/：Newtons Method 一步要计算一步要计算 f 和和 f，相当于，相当于2个函数值，比较个函数值，比较费时。现用费时。现用 f 的值近似的值近似 f ，可少算一个函数值。，可少算一个函数值。x0 x1切线切线/*tangent line*/割线割线/*secant line*/切线斜率切线斜率 割线斜率割线斜率需要需要2个初值个初值 x0 和和 x1。收敛比收敛比Newtons Method 慢，慢，且对初值要求同样高。且对初值要求同样高。第47页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method 下山法下山法 /*Descent Method*/Newt

27、ons Method 局部微调：局部微调：原理原理 若由若由 xk 得到的得到的 xk+1 不能使不能使|f|减小，则在减小，则在 xk 和和 xk+1 之间找一个更好的点之间找一个更好的点 ，使得，使得 。xkxk+1注：注：注：注：=1 时就是时就是Newtons Method 公式。公式。当当 =1 代入效果不好时，将代入效果不好时，将 减半计算。减半计算。第48页，本讲稿共62页 抛物线法抛物线法 /*Parabola Method*/利用插值将非线性方程转化为低次多项式求根x0 x1切线切线/*tangent line*/割线割线/*secant line*/x2x3第49页，本讲稿

28、共62页4 Newton-Raphson Method Algorithm:Newtons Descent MethodFind a solution to f(x)=0 given an initial approximation x0.Input:initial approximation x0;f(x)and f(x);minimum step size of xmin;tolerance TOL1 for x;tolerance TOL2 for ;maximum number of iterations Nmax.Output:approximate solution x or me

29、ssage of failure.Step 1 Set k=1;Step 2 While(k Nmax)do steps 3-10Step 3 Set =1;Step 4 Set ;/*compute xk*/Step 5 If|x x0|TOL2 then GOTO Step 4;/*compute a better xi*/Step 9 Set x0=x0+xmin;/*move forward anyway to avoid deadlock*/Step 10 Set k+;Step 11 Output(Method failed after Nmax iterations);STOP.

30、/*unsuccessful*/计算量未见得减小计算量未见得减小第50页，本讲稿共62页4 Newton-Raphson Method 求复根求复根 /*Finding Complex Roots*/Newton 公式中的自变量可以是复数公式中的自变量可以是复数记记 z=x+i y,z0 为初值，同样有为初值，同样有设设代入公式，令实、虚部对应相等代入公式，令实、虚部对应相等，可得，可得第51页，本讲稿共62页5 迭代法的收敛阶迭代法的收敛阶 /*Order of Convergence*/设迭代设迭代 xk+1=g(xk)收敛到收敛到g(x)的不动点的不动点 x*。设设 ek=xk x*，若

31、，则称该迭代为若，则称该迭代为p 阶收敛阶收敛，其中其中 C 称为称为渐进误差常数渐进误差常数。/*xk converges to x*of order p,with asymptotic error constant C 0*/p=1-线性收敛，线性收敛，p 1-超线性收敛，超线性收敛，p=2-平方收敛。平方收敛。一种迭代法有效一种迭代法有效在接近收敛的过程中迭代误差的下降速度。在接近收敛的过程中迭代误差的下降速度。Strict definition is given in def2.如何刻如何刻画这种关系画这种关系第52页，本讲稿共62页 一般一般 Fixed-Point Iteratio

32、n 有有 ，称为，称为线线 性收敛性收敛/*linear convergence*/，这时，这时 p=1，0 C 1。例如例如 xn=1/nn 超线性收敛到超线性收敛到0，但对任何，但对任何 p 1 都没有都没有 p 阶收敛。阶收敛。Aitken 加速有加速有 。称为称为超线性收敛超线性收敛 /*superlinear convergence*/。第53页，本讲稿共62页5 Order of Convergence Steffensen 加速加速有有 p=2，条件是，条件是 ，称为，称为平方收敛平方收敛 /*quadratic convergence*/。Newtons Method 有有 ，

33、只要，只要 ，就有就有 p 2。重根是线性收敛的。重根是线性收敛的。Q:如何实际确定收敛阶和如何实际确定收敛阶和渐进误差常数渐进误差常数？定理定理 设设 x*为为x=g(x)的不动点的不动点，若，若 ，p 2；，且，且 ，则，则 xk+1=g(xk)在在 内内 p 阶收敛。阶收敛。证明：证明：x*k CThis is a one line proof.if we start sufficiently far to the left.第54页，本讲稿共62页Th3(relation between the convergence rate and the iteration function)f

34、or the iteration process xk+1=g(xk),if g(p)(x)is continuous around the root x*,and g(l)(x*)=0,l=1,2,p,g(p)(x*)0,then the iteration is p-convergent around x*.Note:1.Th3说明说明,收敛速度完全取决于迭代函数收敛速度完全取决于迭代函数2.若若xa,b,g(x)0,迭代只可能是线性迭代只可能是线性收敛。收敛。3.对牛顿公式，对牛顿公式，若若x*是单根是单根,则则f(x*)=0,f(x*)0 g(x*)=0 在在x*附近平方收敛附近平方收

35、敛 4.对简单牛顿公式对简单牛顿公式,当当 f(x*)时，时，g(x*)=0，在，在x*附近附近平方收敛平方收敛.一般地，当一般地，当简单牛顿法收敛，但收敛阶较低简单牛顿法收敛，但收敛阶较低 第55页，本讲稿共62页乘法次数n(n+1)/26 6 代数多项式的根代数多项式的根 多项式求值的秦九韶算法多项式求值的秦九韶算法 (Horners Rule)前前面面讨讨论论的的算算法法都都要要用用到到f(x)在在某某点点之之值值f(x0),甚甚至至导导数数值值f(x0).对对于于多多项项式式当当然然可可以以直直接接求求,但用宋秦九韶算法计算多项式值和导数值但用宋秦九韶算法计算多项式值和导数值,计算量少

36、计算量少,结构紧凑。结构紧凑。多项式值多项式值f(x0)n次乘法,结构紧凑，程序通用第56页，本讲稿共62页 多项式导数值多项式导数值f(x0)f(x)is a polynomial of order n第57页，本讲稿共62页从从 f(x)中分离出一个中分离出一个2 次因子。即：次因子。即：通过通过 可解出一对共轭复根。可解出一对共轭复根。思思路路从一对初值从一对初值(u,v)出发，则有出发，则有其中其中(r,s)取决于取决于u 和和 v，可以看作是，可以看作是(u,v)的函数，即的函数，即 r=r(u,v)，s=s(u,v)。目标：目标：r=r(u*,v*)=0，s=s(u*,v*)=0。

37、多项式求根的多项式求根的劈因子法劈因子法/*Splitting Method*/第58页，本讲稿共62页6 Splitting Method将将r 和和 s 在初值点在初值点(u,v)做一阶做一阶Taylor展开，并代入展开，并代入(u*,v*)：从中解出从中解出，以，以 更新更新u 和和 v 再迭代，直到再迭代，直到 r 和和 s 充分接近充分接近0。每步迭代须计算每步迭代须计算第59页，本讲稿共62页6 Splitting Method 计算计算 r 和和 s：可记为可记为 bn 1若令若令 ，则，则第60页，本讲稿共62页6 Splitting Method 计算计算 ：n 2 阶多项式阶多项式n 4 阶多项式阶多项式与前一步同理，可导出和与前一步同理，可导出和 的公式。的公式。第61页，本讲稿共62页6 Splitting Method 计算计算 ：而前一步得到而前一步得到可见可见第62页，本讲稿共62页