第八章矩阵特征值优秀课件.ppt

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1、第八章矩阵特征值第1页，本讲稿共62页2.幂法和反幂法.一、幂法 求矩阵的按模最大的特征值与相应的特征向量。它是通过迭代产生向量序列，由此计算特征值和特征向量。第2页，本讲稿共62页第3页，本讲稿共62页第4页，本讲稿共62页第5页，本讲稿共62页第6页，本讲稿共62页第7页，本讲稿共62页两种特殊情况第8页，本讲稿共62页第9页，本讲稿共62页幂法小结第10页，本讲稿共62页二、幂法的加速 因为幂法的收敛速度是线性的，而且依赖于比值 ，当比值接近于1时，幂法收敛很慢。幂法加速有多种，介绍 两种。第11页，本讲稿共62页第12页，本讲稿共62页第13页，本讲稿共62页第14页，本讲稿共62页第

2、15页，本讲稿共62页第16页，本讲稿共62页（三）、瑞利商加速定义：设A为n阶实对称矩阵，对于任一非零向量x，称为对应向量x的瑞利（Rayleigh)商。（P298）定理定理14：设：设为对称矩阵，特征值得满足对应的特征向量满足 ，应用幂法计算A的主特征值 ，则规范化向量的瑞利商给出的较好近似（P307）第17页，本讲稿共62页三、反幂法 反幂法是计算矩阵按模最小的特征值及特征向量的方 法，也是修正特征值、求相应特征向量的最有效的方法。第18页，本讲稿共62页第19页，本讲稿共62页反幂法的一个应用第20页，本讲稿共62页第21页，本讲稿共62页第22页，本讲稿共62页3.Jacobi方法第

3、23页，本讲稿共62页一、矩阵的旋转变换（Givens变换）第24页，本讲稿共62页也称Givens变换。第25页，本讲稿共62页第26页，本讲稿共62页二、Jacobi方法第27页，本讲稿共62页第28页，本讲稿共62页第29页，本讲稿共62页第30页，本讲稿共62页第31页，本讲稿共62页第32页，本讲稿共62页第33页，本讲稿共62页第34页，本讲稿共62页第35页，本讲稿共62页4.QR方法一、基本QR方法 60年代出现的QR算法是目前计算中小型矩阵的全部特征值与特征向量的最有效方法。理论依据：任一非奇异实矩阵都可分解成一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，而且当R的对角元符号取定时

4、，分解是唯一的。与A相似 k=1,2,第36页，本讲稿共62页 可证，在一定条件下，基本QR方法产生的矩阵序列A(k)“基本”收敛于一个上三角阵（或分块上三角阵）。即主对角线（或主对角线子块）及其以下元素均收敛，主对角线（或主对角线子块）以上元素可以不收敛。特别的，如果A是实对称阵，则A(k)“基本”收敛于对角矩阵。因为上三角阵的主对角元（或分块上三角阵中，主对角线子块的特征值）即为该矩阵的特征值，故当k充分大时，A(k)的主对角元（或主对角线子块的特征值）就可以作为A的特征值的近似。基本的QR方法的主要运算是对矩阵QR分解，分解的方法有多种。介绍一种Schmit正交化方法为例。第37页，本讲

5、稿共62页第38页，本讲稿共62页第39页，本讲稿共62页 基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解与矩阵乘法，计算量大，而且收敛速度慢。因此实际使用的QR方法是先用一系列相似变换将A化成拟上三角矩阵（称为上Hessenberg矩阵），然后对此矩阵用基本QR方法。因为拟上三角矩阵具有较多零元素，故可减少运算量。化A为相似的拟上三角阵的方法有多种。第40页，本讲稿共62页第41页，本讲稿共62页第42页，本讲稿共62页二、豪斯豪尔德(Householder)变换第43页，本讲稿共62页第44页，本讲稿共62页三、化一般矩阵为拟上三角阵 (P313)第45页，本讲稿共62页第46页，本讲稿共62页第47页，本讲稿共62页第48页，本讲稿共62页第49页，本讲稿共62页第50页，本讲稿共62页四、拟上三角矩阵的QR分解第51页，本讲稿共62页第52页，本讲稿共62页第53页，本讲稿共62页第54页，本讲稿共62页第55页，本讲稿共62页第56页，本讲稿共62页第57页，本讲稿共62页第58页，本讲稿共62页第59页，本讲稿共62页第60页，本讲稿共62页五、带原点移位的QR方法 (p322)第61页，本讲稿共62页第62页，本讲稿共62页