简单相关分析与简单线性回归分析优秀课件.ppt

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1、简单相关分析与简单线性回归分析第1页，本讲稿共85页學習目標學習目標1.1.瞭解簡單相關分析的意義。瞭解簡單相關分析的意義。2.2.使用相關分析的時機。使用相關分析的時機。3.3.瞭解共變異數的計算與意義。瞭解共變異數的計算與意義。4.4.瞭解相關係數的計算與檢定程序。瞭解相關係數的計算與檢定程序。5.5.瞭解簡單迴歸分析的意義。瞭解簡單迴歸分析的意義。6.6.學習估計與檢定迴歸係數。學習估計與檢定迴歸係數。7.7.利用估計的迴歸方程式作預測。利用估計的迴歸方程式作預測。8.8.檢定迴歸方程式的適合性。檢定迴歸方程式的適合性。第2页，本讲稿共85页本章架構本章架構 14.1 14.1 簡單相關

2、分析簡單相關分析 14.2 14.2 簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析 14.3 14.3 簡單線性迴歸方程式的估計簡單線性迴歸方程式的估計最小平方法最小平方法 14.4 14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度 14.5 14.5 迴歸方程式的檢定迴歸方程式的檢定 14.6 14.6 利用估計線性迴歸方程式進行預測利用估計線性迴歸方程式進行預測 14.7 14.7 殘差分析殘差分析第3页，本讲稿共85页14.1 簡單相關分析簡單相關分析 14.1.1 14.1.1 共變異數的意義共變異數的意義 14.1.2 14.1.2 相關係數的意義相關係數的意義 14.1.3 14.1.3 相關係

3、數的估計相關係數的估計 14.1.4 14.1.4 相關係數的檢定相關係數的檢定第4页，本讲稿共85页14.1 簡單相關分析簡單相關分析(續續)相關分析相關分析(correlation analysis)(correlation analysis)探討數值變數間線性關係的程度與方向的方法，共變異數探討數值變數間線性關係的程度與方向的方法，共變異數(covariance)(covariance)與相關係數是用來瞭解兩變數間線性關係的與相關係數是用來瞭解兩變數間線性關係的工具。工具。如果變數間無法區分出所謂的依變數如果變數間無法區分出所謂的依變數(dependent variable)(depen

4、dent variable)與自變數與自變數(或獨立變數或獨立變數)(independent variable)(independent variable)時，則使用相時，則使用相關分析來探討變數間的線性關係；如果變數是可以區分的話，關分析來探討變數間的線性關係；如果變數是可以區分的話，則使用線性迴歸分析來探討變數間的線性關係。則使用線性迴歸分析來探討變數間的線性關係。第5页，本讲稿共85页14.1.1 共變異數的意義共變異數的意義 共變異數共變異數(covariance)(covariance)測量兩個數值變數間的線性關係。測量兩個數值變數間的線性關係。線性關係線性關係 當一個變數變動時，另

5、一變數則呈同方向或相反方向變當一個變數變動時，另一變數則呈同方向或相反方向變動。動。第6页，本讲稿共85页14.1.1共變異數的意義共變異數的意義(續續)母體共變異數母體共變異數 其中其中N N代表母體總數。代表母體總數。樣本共變異數樣本共變異數 其中其中n n代表樣本數。代表樣本數。第7页，本讲稿共85页14.1.1共變異數的意義共變異數的意義(續續1)共變異數的性質共變異數的性質 1.1.共變異數的值介於共變異數的值介於-到到 之間。之間。2.2.X X與與Y Y的共變的共變異數大於零異數大於零，表示，表示X X與與Y Y同方向變動同方向變動。3.3.X X與與Y Y的共變的共變異數小於零

6、異數小於零，表示，表示X X與與Y Y反方向變動。反方向變動。4.4.X X與與Y Y的共變的共變異數等於零異數等於零，表示兩變數間沒有線性，表示兩變數間沒有線性關係，但並不表示兩者之間沒有其他關係存在關係，但並不表示兩者之間沒有其他關係存在。第8页，本讲稿共85页14.1.1共變異數的意義共變異數的意義(續續3)當兩變數與的共變異數大於零時，可以看出與大部分落當兩變數與的共變異數大於零時，可以看出與大部分落於第一與第三象限，也就是兩者移動的方向是一致的，於第一與第三象限，也就是兩者移動的方向是一致的，亦即正的線性關係。亦即正的線性關係。(如如圖圖14.114.1之左上圖之左上圖)當兩變數與的

7、共變異數小於零時，可以看出與大部分落當兩變數與的共變異數小於零時，可以看出與大部分落於第二與第四象限，也就是兩者移動的方向是相反的，於第二與第四象限，也就是兩者移動的方向是相反的，亦即負的線性關係。亦即負的線性關係。(如如圖圖14.114.1之右上圖之右上圖)當兩變數與的共變異數等於零時，可以看出與均勻落於所有當兩變數與的共變異數等於零時，可以看出與均勻落於所有四個象限，而看不出兩者間線性移動的關係，但卻可能存在四個象限，而看不出兩者間線性移動的關係，但卻可能存在其他非線性關係。其他非線性關係。(如圖如圖14.114.1之下方二圖之下方二圖)第9页，本讲稿共85页14.1.1共變異數的意義共變

8、異數的意義(續續2)圖圖14.114.1：不同共變異數值情況下：不同共變異數值情況下X X與與Y Y的散佈圖的散佈圖第10页，本讲稿共85页例例14.1 停留時間與消費額的關係停留時間與消費額的關係 某遊樂區經理想了解遊客停留時間與消費額的關係，於是蒐集某遊樂區經理想了解遊客停留時間與消費額的關係，於是蒐集了了1010位遊客的資料如表位遊客的資料如表14.1 14.1 表表14.1 1014.1 10位遊客的停留時間與消費額位遊客的停留時間與消費額 第11页，本讲稿共85页續例續例14.1 由表由表14.114.1可知可知第12页，本讲稿共85页14.1.2 相關係數的意義相關係數的意義 相關

9、係數（相關係數（correlation coefficient)correlation coefficient)乃是指皮爾生相關係數乃是指皮爾生相關係數（Pearson correlation coefficient)Pearson correlation coefficient)，其用途在於測量兩個，其用途在於測量兩個數值變數間的線性關係。數值變數間的線性關係。當兩變數有相關存在，並不代表兩者一定存在因果關係，當兩變數有相關存在，並不代表兩者一定存在因果關係，但是當相關程度高的時候，彼此的預測能力也高。但是當相關程度高的時候，彼此的預測能力也高。第13页，本讲稿共85页相關係數應用實例一相關

10、係數應用實例一歐亞股市與美股連動性歐亞股市與美股連動性計算至計算至計算至計算至2003/3/24 2003/3/24 資料來源：資料來源：資料來源：資料來源：Bloomberg Bloomberg 整理：怡富投顧整理：怡富投顧整理：怡富投顧整理：怡富投顧 第14页，本讲稿共85页相關係數應用實例二相關係數應用實例二 我國在漸邁入高齡化社會的同時我國在漸邁入高齡化社會的同時，整體社會每年平均花在醫療保健上的整體社會每年平均花在醫療保健上的費用費用，將益為提高。由此可看出將益為提高。由此可看出 ：年齡是影響個人每年花在醫年齡是影響個人每年花在醫療保健費用多寡的原因之一。療保健費用多寡的原因之一。個

11、人每年花在醫療保健費用和個人總財富累積這兩個因素個人每年花在醫療保健費用和個人總財富累積這兩個因素，同時同時受年齡的影響受年齡的影響，才使得醫療保健費用和個人總財富累積兩個變數間才使得醫療保健費用和個人總財富累積兩個變數間間接地具高度線性相關，而其實醫療保健費用和個人總財富累積兩個間接地具高度線性相關，而其實醫療保健費用和個人總財富累積兩個變數間並不具有因果關係。但是變數間並不具有因果關係。但是，如果醫療保健費用和總財富累積兩如果醫療保健費用和總財富累積兩個變數個變數，都去除掉年齡的影響後都去除掉年齡的影響後，將發現這兩個因素呈低度線將發現這兩個因素呈低度線性相關。也就是說性相關。也就是說，去

12、除掉年齡的影響後去除掉年齡的影響後，醫療保健費用和總醫療保健費用和總財富累積的偏相關係數變得很接近財富累積的偏相關係數變得很接近 0 0。“只要常看病只要常看病,口袋裏口袋裏的孫中山就會愈多的孫中山就會愈多”的奇怪推論的奇怪推論,在去除幕後的藏鏡人在去除幕後的藏鏡人年齡年齡之後之後，自可迎刃而解。自可迎刃而解。(資料來源資料來源易得太資訊易得太資訊(統計桃統計桃花源花源)第15页，本讲稿共85页14.1.2 相關係數的意義相關係數的意義(續續)母體相關係數母體相關係數 其中其中 X X，X X為隨機變數為隨機變數X X的平均數與標準差；的平均數與標準差；Y Y，Y Y為隨機變數為隨機變數Y Y

13、的平均數與標準差；的平均數與標準差；XYXY為隨機變數為隨機變數X X與與Y Y之共變異數。之共變異數。第16页，本讲稿共85页14.1.2 相關係數的意義相關係數的意義(續續1)若若X X與與Y Y為成對資料則母體相關係數可表為為成對資料則母體相關係數可表為第17页，本讲稿共85页14.1.2 相關係數的意義相關係數的意義(續續2)相關係數的性質相關係數的性質:1.相關係數的值介於相關係數的值介於 1 1 與與 1 1 之間。之間。2.當當 XYXY=1=1，表示，表示X X與與Y Y為完全正相關，亦即當為完全正相關，亦即當X X變變動時，動時，Y Y亦以相同方向變動；反之，亦然。亦以相同方

14、向變動；反之，亦然。3.當當 XYXY=1=1，表示，表示X X與與Y Y為完全負相關，亦即當為完全負相關，亦即當X X變動時，變動時，Y Y亦以相反方向來變動；反之，亦然。亦以相反方向來變動；反之，亦然。4.當當 XYXY=0=0，代表，代表X X與與Y Y完全沒有線性關係，不過完全沒有線性關係，不過並不代表兩者之間沒有其他型態關係並不代表兩者之間沒有其他型態關係(如拋物線如拋物線關係關係)存在。存在。第18页，本讲稿共85页14.1.3 相關係數的估計相關係數的估計 我們必須假設之母體為一二維常態分配我們必須假設之母體為一二維常態分配(Bivariate normal(Bivariate

15、normal distribution)distribution)，然後抽出樣本資料，然後抽出樣本資料 ，來計算樣本相，來計算樣本相關係數，而其定義如下：關係數，而其定義如下：其中其中第19页，本讲稿共85页例例14.2 續例續例14.1 若試問停留時間與消費額之相關係數為何，可利用若試問停留時間與消費額之相關係數為何，可利用ExcelExcel來計算相關係數，來計算相關係數，步驟如下：步驟如下：1.輸入表輸入表14.114.1的資料。的資料。2.點選工具、資料分析、相關係數點選工具、資料分析、相關係數 。3.輸入資料範圍輸入資料範圍$A$1:$B$10$A$1:$B$10，並按確定。，並按確

16、定。4.結果可得結果可得r rXYXY=0.425265=0.425265。第20页，本讲稿共85页14.1.3 相關係數的估計（續）相關係數的估計（續）圖圖14.2 14.2 不同的不同的 XYXY時，時，X X與與Y Y的散布圖的散布圖第21页，本讲稿共85页14.1.4 相關係數的檢定相關係數的檢定 XYXY=0=0的檢定的檢定 1.1.假設假設 H H0 0：XYXY=0=0 H H1 1：XYXY 0 02.2.檢定統計量檢定統計量 當當 XYXY=0=0且且(x,y)(x,y)來自二元常態分配時，來自二元常態分配時，檢定統計量檢定統計量 t*t*為一自由度為一自由度為為 n n2

17、2 的的 t t 分配。分配。第22页，本讲稿共85页例例14.3 續例續例14.2 在例在例14.114.1中，試在中，試在=0.05=0.05的水準下，檢定停留時間與消費額是否有關係的水準下，檢定停留時間與消費額是否有關係存在。可設定虛無與對立假設為存在。可設定虛無與對立假設為 H H0 0：XY XY=0=0 H H1 1：XYXY 0 01.1.檢定統計量檢定統計量:2.2.拒絕域拒絕域:第23页，本讲稿共85页例例14.3 續例續例14.2（續（續)3.3.相關係數相關係數:4.4.檢定統計量之值檢定統計量之值:5.5.所以不拒絕所以不拒絕H H0 0，亦即無充分證據顯示停留時間與消

18、費，亦即無充分證據顯示停留時間與消費額間有相關存在。額間有相關存在。第24页，本讲稿共85页14.1.4相關係數的檢定相關係數的檢定(續續)XY=0的檢定 1.假設假設 H H0 0：XYXY=0 0 H H1 1：XY XY 0 02.檢定統計量採用檢定統計量採用FisherFisher轉換轉換 Zr Zr第25页，本讲稿共85页14.1.4 相關係數的檢定相關係數的檢定(續續1)XYXY=0 0的檢定的檢定 當當n n 30 30時，時，Z Zr r近似於常態分配，即近似於常態分配，即 ，其中，其中 所以可以透過所以可以透過Z Z檢定來完成，亦即檢定來完成，亦即第26页，本讲稿共85页例例

19、14.4 廣告費用與銷售量廣告費用與銷售量 某公司想瞭解廣告費用與銷售量之間的相關，於是蒐集了過某公司想瞭解廣告費用與銷售量之間的相關，於是蒐集了過去去3636個月的資料，並計算得相關係數為個月的資料，並計算得相關係數為0.680.68，試在，試在0.050.05的的顯著水準下，檢定下列的假設顯著水準下，檢定下列的假設:H H0 0：XYXY=0.75 =0.75 H H1 1：XYXY 0.75 0.75先求先求第27页，本讲稿共85页例例14.4 廣告費用與銷售量（續）廣告費用與銷售量（續）再求檢定統計量值再求檢定統計量值 ，所以不拒絕，所以不拒絕H H0 0 ，亦即無充分證據，亦即無充分

20、證據顯示廣告費用與銷售量之間的相關係數不為顯示廣告費用與銷售量之間的相關係數不為0.75 0.75。第28页，本讲稿共85页14.2 簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析 14.2.1 14.2.1 簡單線性迴歸模型與假設條件簡單線性迴歸模型與假設條件 14.2.2 14.2.2 線性迴歸方程式線性迴歸方程式第29页，本讲稿共85页14.2 簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析(續續)簡單線性迴歸分析簡單線性迴歸分析(simple regression analysis):(simple regression analysis):利用一個變數來預測利用一個變數來預測(或解釋或解釋)另一個變數，找出兩個

21、變數另一個變數，找出兩個變數間的關係模式的方法。間的關係模式的方法。散布圖散布圖(scatter diagram)(scatter diagram)之功能之功能:為確定自變數為確定自變數 X X 與依變數與依變數 Y Y 之間之間，是否適合用簡單線性，是否適合用簡單線性迴歸分析（如果散布圖呈現出線性關係，則迴歸分析（如果散布圖呈現出線性關係，則 X X 與與 Y Y 應是適應是適合利用簡單線性迴合利用簡單線性迴歸分析來瞭解其間的關係）。歸分析來瞭解其間的關係）。第30页，本讲稿共85页自變數與依變數自變數與依變數 迴歸分析適用在研究者可以掌握因果關係，以後採用的相關性分析。迴歸分析適用在研究者

22、可以掌握因果關係，以後採用的相關性分析。自變數即是獨立變數，在因果關係中，它是獨立的，因其並不依賴其自變數即是獨立變數，在因果關係中，它是獨立的，因其並不依賴其他變數。依變數，即是在此因果關係中人們關切的變數。他變數。依變數，即是在此因果關係中人們關切的變數。被假設變數的因與果之間，必須有著某種理論的聯繫，須符被假設變數的因與果之間，必須有著某種理論的聯繫，須符合以下五條件：合以下五條件：1.1.一個變數之變化必須聯繫於另一個變數的變化。一個變數之變化必須聯繫於另一個變數的變化。2.2.原因之變數在時間上必須早於或居先於另一變數。原因之變數在時間上必須早於或居先於另一變數。3.3.因與果之關係

23、必須大致可信。因與果之關係必須大致可信。4.4.所主張之關係必須與其他證據一致。所主張之關係必須與其他證據一致。5.5.所指認的因素必須是最重要的因素。所指認的因素必須是最重要的因素。(資料來源資料來源石之瑜石之瑜迴歸方法作為社會科學方法的省思迴歸方法作為社會科學方法的省思)第31页，本讲稿共85页練習思考題練習思考題 若要分析豬肉的需求與其價格的關係時，若要分析豬肉的需求與其價格的關係時，1.請問如何利用迴歸分析來分析之？請問如何利用迴歸分析來分析之？2.承承1 1，若以相關分析來分析，則有何異同？，若以相關分析來分析，則有何異同？第32页，本讲稿共85页例例14.5 廣告支出與營業額廣告支

24、出與營業額 ABCABC公司的行銷經理想了解公司廣告支出公司的行銷經理想了解公司廣告支出(X X)與營業額與營業額(Y Y)之間的關係於是蒐集了過去之間的關係於是蒐集了過去1010年的廣告支出與營業年的廣告支出與營業額的資料如表額的資料如表14.314.3，試問他，試問他(她她)是否適合利用簡單線性迴是否適合利用簡單線性迴歸分析來了解廣告支出與營業額的關係歸分析來了解廣告支出與營業額的關係?第33页，本讲稿共85页例例14.5 廣告支出與營業額廣告支出與營業額(續續)表表14.3 1014.3 10年的廣告支出與營業額資料年的廣告支出與營業額資料(單位：萬元單位：萬元)第34页，本讲稿共85页

25、例例14.5 廣告支出與營業額廣告支出與營業額(續續1)將表將表14.314.3的數據繪製成圖的數據繪製成圖14.314.3，由圖，由圖14.314.3中可看出，廣告中可看出，廣告支出與營業額間似乎存在著線性關係，因此簡單線性支出與營業額間似乎存在著線性關係，因此簡單線性迴歸分析應是適合用來分析廣告支出與營業額間的關迴歸分析應是適合用來分析廣告支出與營業額間的關係。係。圖圖14.3 14.3 廣告支出與營業額的散布圖廣告支出與營業額的散布圖 第35页，本讲稿共85页14.2.1 簡單線性迴歸模型與假設條件簡單線性迴歸模型與假設條件 簡單線性迴歸模型簡單線性迴歸模型(simple regress

26、ion model)(simple regression model)：Y Y=+X X+在在 X X=x xi i的情況下，若的情況下，若y yi i為為X X=x xi i下的觀測值，則下的觀測值，則 其中其中 i i是是X X=x xi i下的誤差項。下的誤差項。第36页，本讲稿共85页14.2.1 簡單線性迴歸模型與假設條件簡單線性迴歸模型與假設條件(續續)假設條件假設條件1.Y Y為依變數，是需要被預測為依變數，是需要被預測(或或)解釋的變數解釋的變數 。2.X X為自變數，是用來預測的變數，沒有誤差。為自變數，是用來預測的變數，沒有誤差。3.、為未知常數。為未知常數。4.N N(0

27、,(0,2 2)。5.Cov(Cov(i i,j j)=0)=0；i i j j。第37页，本讲稿共85页14.2.2 線性迴歸方程式線性迴歸方程式 簡單線性迴歸方程式簡單線性迴歸方程式(simple linear regression equation)(simple linear regression equation)或簡或簡單線性迴歸線單線性迴歸線(simple linear regression line)(simple linear regression line)因此在因此在 X X=x xi i的情況下，若的情況下，若y yi i為為X X=x xi i下的觀測值，那麼下的觀測

28、值，那麼 第38页，本讲稿共85页14.2.2 線性迴歸方程式（續線性迴歸方程式（續)在實務上，在實務上，E(E(Y Y)的意義為當的意義為當X X給定時情況下給定時情況下Y Y的期望值的期望值(平均數平均數)。的意義則為當的意義則為當X X=0=0時，時，E(E(Y Y)的值。的值。的意義則為當的意義則為當X X增加一個單位，增加一個單位，E(E(Y Y)的平均變化量。的平均變化量。另外，由於假設條件中自變數另外，由於假設條件中自變數X X沒有誤差，因此依變數沒有誤差，因此依變數Y Y因為隨機誤項的緣故，也是一個隨機變數。因為隨機誤項的緣故，也是一個隨機變數。而簡單線性迴歸方程式，可以視為通

29、過不同值下之平而簡單線性迴歸方程式，可以視為通過不同值下之平均數的直線。此可由均數的直線。此可由圖圖14.414.4中更清楚看出。中更清楚看出。第39页，本讲稿共85页14.2.2 線性迴歸方程式線性迴歸方程式(續續1)圖圖14.4 14.4 迴歸方程式與迴歸方程式與Y Y的分配關係的分配關係第40页，本讲稿共85页14.3 簡單線性迴歸方程式的估計簡單線性迴歸方程式的估計最小平方法最小平方法 如果如果a a與與b b，分別代表，分別代表 與與 的估計統計量，的估計統計量，代表代表Y Y的估計值，則估計線的估計值，則估計線性迴歸方程式性迴歸方程式(estimated linear regres

30、sion equation)(estimated linear regression equation)：在在X X=x xi i的情況下，則估計線性迴歸方程式：的情況下，則估計線性迴歸方程式：第41页，本讲稿共85页14.3 簡單線性迴歸方程式的估計簡單線性迴歸方程式的估計最小平方法最小平方法(續續)最小平方法最小平方法(least square method)(least square method)若若 Q Q 代表所有代表所有 與與 間之差的平方和間之差的平方和，則最小平方法，則最小平方法的原理便是在的原理便是在 Q Q 為最小的情況下，所找出的為最小的情況下，所找出的 a a 與與

31、b b ，即，即為為 與與 的估計式的估計式。第42页，本讲稿共85页14.3 簡單線性迴歸方程式的估計簡單線性迴歸方程式的估計最小平方法最小平方法(續續1)微積分的原理 第43页，本讲稿共85页14.3 簡單線性迴歸方程式的估計簡單線性迴歸方程式的估計最小平方法最小平方法(續續2)迴歸係數的其他計算公式迴歸係數的其他計算公式:其中，其中，為為X X的變異數，的變異數，為為X X與與Y Y的樣本共變異數。的樣本共變異數。第44页，本讲稿共85页最小平方法的重要性最小平方法的重要性統計學史家思泰格拉（Stigler）“最小平方法是十九世紀統計學的主題曲。從許多方面來看，它之於統計學就相當於十八世

32、紀的微積分之於數學。”第45页，本讲稿共85页例例14.6 續例續例14.5 試由表試由表14.314.3的資料計算出廣告支出與營業額間的估計線的資料計算出廣告支出與營業額間的估計線性迴歸方程式。性迴歸方程式。由表由表14.314.3我們整理得表我們整理得表14.414.4以方便計算以方便計算a a與與b b。第46页，本讲稿共85页例例14.6 續例續例14.5(續續)表表14.4 ABC14.4 ABC公司的估計線性迴歸方程式之計算公司的估計線性迴歸方程式之計算第47页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度 究竟估計迴歸方程式配適的好不好？它又可以用來解釋多少究竟估

33、計迴歸方程式配適的好不好？它又可以用來解釋多少比例的呢？要回答這些問題，就得考慮迴歸方程式的適合度比例的呢？要回答這些問題，就得考慮迴歸方程式的適合度(goodness of fit)(goodness of fit)。在簡單線性迴歸分析中，我們用判定係數在簡單線性迴歸分析中，我們用判定係數(coefficient of(coefficient of determination)determination)值的大小來決定迴歸方程式的適合度，然而值的大小來決定迴歸方程式的適合度，然而在介紹判定係數之前，我們必須先找出測量依變數在介紹判定係數之前，我們必須先找出測量依變數Y Y變異變異的成份出來。

34、的成份出來。第48页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度(續續)迴歸模型之變異分解迴歸模型之變異分解 第49页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度(續續1)變異的分解變異的分解:第50页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度(續續2)變異的計算公式變異的計算公式:第51页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度迴歸方程式的適合度(續續3)判定係數判定係數(coefficient of determination(coefficient of determination；R2R2)1.R R2 2 之值介於之值介於0

35、 0與與1 1之間。之間。2.R R2 2 愈高愈高，代表估計線性迴歸方程式的配適度愈，代表估計線性迴歸方程式的配適度愈好。好。3.若將判定係數以百分比表示時，則若將判定係數以百分比表示時，則R R2 2 可視為總可視為總變異可用估計迴歸方程式解釋的程度，也就是變異可用估計迴歸方程式解釋的程度，也就是Y Y可以被可以被X X解釋的程度解釋的程度 。第52页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度（續迴歸方程式的適合度（續4）判定係數的計算公式判定係數的計算公式:第53页，本讲稿共85页14.4 迴歸方程式的適合度（續迴歸方程式的適合度（續5）上述之判定係數，並沒有考慮到上述之判定係數，並沒

36、有考慮到SSTSST與與SSESSE的自由度，如果的自由度，如果再將這個觀念加入，那麼我們就定義另一個新的判定係數，再將這個觀念加入，那麼我們就定義另一個新的判定係數，稱之為調整判定係數稱之為調整判定係數(adjusted coefficient of determination)(adjusted coefficient of determination)，一般以一般以 表示之，而表示之，而 一般而言一般而言 會比會比R R2 2小，在不同判定係數值的比較時，由於小，在不同判定係數值的比較時，由於多考慮了自由度，因此以來作比較會客觀些。多考慮了自由度，因此以來作比較會客觀些。第54页，本讲稿

37、共85页例例14.7 續例續例14.6 如何求例如何求例14.614.6之估計迴歸方程式的判定係數，可由表之估計迴歸方程式的判定係數，可由表14.414.4算出算出 第55页，本讲稿共85页例例14.7 續例續例14.6(續續)判定係數為判定係數為 以以ABCABC公司的例子而言，我們可說公司的例子而言，我們可說85.07%85.07%的總變異可由的總變異可由估計的迴歸方程式解釋，或是營業額可以被廣告支出解估計的迴歸方程式解釋，或是營業額可以被廣告支出解釋的部份是釋的部份是85.07%85.07%。調整判定係數為調整判定係數為第56页，本讲稿共85页14.5 迴歸方程式的檢定迴歸方程式的檢定

38、14.5.1 14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定 14.5.2 14.5.2 迴歸方程式的迴歸方程式的F F檢定檢定第57页，本讲稿共85页14.5 迴歸方程式的檢定迴歸方程式的檢定(續續)由於由於 與與 的估計式的估計式a a與與b b都是依變數都是依變數Y Y的函數，而的函數，而Y Y的變異數的變異數亦是隨機誤差項亦是隨機誤差項 的變異數的變異數 2 2 ，因此就需求出，因此就需求出 2 2的估計式。的估計式。估計隨機誤差項估計隨機誤差項 的變異數的變異數 2 2:SSE SSE的均方誤差的均方誤差(mean square error)MSE(mean square error)

39、MSE可以經數學證明可以經數學證明作為作為 2 2的不偏估計式，故的不偏估計式，故 ，其中，其中 第58页，本讲稿共85页14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定 因為因為Y Y為一常態分配，所以為一常態分配，所以a a與與b b的抽樣分配亦為常態分的抽樣分配亦為常態分配，配，其中其中 第59页，本讲稿共85页14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定(續續)有關有關 的檢定的檢定 1.1.假設假設：H H0 0：=0 vs.=0 vs.H H1 1：0 02.2.檢定統計量：檢定統計量：3.3.決策法則：決策法則：或或 時，拒絕時，拒絕H H0 0。註註:1.1.當樣本數大於等於當樣本

40、數大於等於3030時時，則可使用，則可使用z z檢定，其檢定統檢定，其檢定統計量不變。計量不變。2.2.當然亦可針對當然亦可針對 作單尾檢定。作單尾檢定。第60页，本讲稿共85页14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定(續續1)的(1)%信賴區間:第61页，本讲稿共85页例例14.8 續例續例14.7 試在顯著水準為試在顯著水準為0.050.05的情況下，檢定廣告支出是否對營的情況下，檢定廣告支出是否對營業額有影響。業額有影響。1.虛無與對立假設為：虛無與對立假設為：H H0 0：=0 vs.=0 vs.H H1 1：0 0 2.檢定統計量之值檢定統計量之值：其中其中第62页，本讲稿共85

41、页例例14.8 續例續例14.7(續續)3.因為因為 ，所以拒絕，所以拒絕 H H0 0，亦即資料顯示廣告支出對營業額有影響。，亦即資料顯示廣告支出對營業額有影響。4.在在ABCABC公司的例子而言，公司的例子而言，的的95%95%區間估計如下：區間估計如下：第63页，本讲稿共85页14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定(續續2）有關有關 的檢定的檢定1.1.假設假設：H H0 0：=0 vs.=0 vs.H H1 1：0 02.2.檢定統計量：檢定統計量：3.3.決策法則：決策法則：或或 時，拒絕時，拒絕H H0 0。註註：當樣本數大於當樣本數大於等於等於3030時時，則可使用，則可使

42、用z z檢定，其檢定統計量不變。檢定，其檢定統計量不變。第64页，本讲稿共85页14.5.1 與與 的顯著性檢定的顯著性檢定(續續3）的的(1(1)%)%的信賴區間的信賴區間 第65页，本讲稿共85页14.5.2 迴歸方程式的迴歸方程式的 F 檢定檢定 有關迴歸方程式解釋能力檢定有關迴歸方程式解釋能力檢定1.虛無與對立假設虛無與對立假設 H H0 0：迴歸方程式不具解釋能力：迴歸方程式不具解釋能力(=0)=0)H H1 1：迴歸方程式具解釋能力：迴歸方程式具解釋能力(0)0)2.檢定統計量：檢定統計量：2.決策法則：決策法則：，時拒絕，時拒絕H H0 0。第66页，本讲稿共85页14.5.2

43、迴歸方程式的迴歸方程式的 F 檢定（續）檢定（續）表表14.5 14.5 變異數分析表變異數分析表第67页，本讲稿共85页例例14.9 續例續例14.6 試用試用F F檢定來決定廣告支出是否對營業額有影響，可由例檢定來決定廣告支出是否對營業額有影響，可由例14.614.6的估的估計迴歸方程式，我們整理得到表計迴歸方程式，我們整理得到表14.6 14.6 表表14.6 ABC14.6 ABC公司變異數分析表公司變異數分析表 因此拒絕因此拒絕H H0 0，亦即資料顯示線性迴歸方程式具解釋能力。，亦即資料顯示線性迴歸方程式具解釋能力。第68页，本讲稿共85页14.6 利用估計線性迴歸方程式進行預測利

44、用估計線性迴歸方程式進行預測 在求得估計迴歸方程式後，如果它的配適度很高，亦即在求得估計迴歸方程式後，如果它的配適度很高，亦即判定係數判定係數R R2 2很高，那麼我們就可以利用它來估計在某一特很高，那麼我們就可以利用它來估計在某一特定值下，依變數的值為何定值下，依變數的值為何?在在 下，對依變數的估計可分為兩種，第一種是估計下，對依變數的估計可分為兩種，第一種是估計全部可能值的平均數，以全部可能值的平均數，以 表之，另一種則是估計個別的表之，另一種則是估計個別的值，以值，以 表之。表之。第69页，本讲稿共85页14.6 利用估計線性迴歸方程式利用估計線性迴歸方程式進行預測進行預測(續續)X

45、X=x x0 0下估計下估計1.1.點估計值點估計值 ，2.2.的的(1-(1-)%)%區間估計區間估計註：當大樣本時，註：當大樣本時，t tn-2,n-2,/2/2以以z z/2/2代之。代之。第70页，本讲稿共85页例例14.10 續例續例14.6 若該行銷經理想預測當廣告支出為若該行銷經理想預測當廣告支出為2525仟元時，營業額的仟元時，營業額的平均值為何？又其平均值為何？又其95%95%的信賴區間為何？的信賴區間為何？估計迴歸方程式為估計迴歸方程式為 在廣告支出為在廣告支出為2525仟元時，平均營業額的預測為仟元時，平均營業額的預測為99.0799.07仟元。仟元。第71页，本讲稿共8

46、5页例例14.10 續例續例14.6(續續)平均營業額的平均營業額的95%95%區間估計為區間估計為 亦即，在廣告支出為亦即，在廣告支出為2525仟元，仟元，95%95%的信賴區間水準下，的信賴區間水準下，平均營業額的信賴區間為平均營業額的信賴區間為96.9796.97仟元到仟元到101.17101.17仟元之間。仟元之間。第72页，本讲稿共85页14.6 利用估計線性迴歸方程式利用估計線性迴歸方程式 進行預測進行預測(續續1)X X=x x0 0下估計下估計 其中其中 第73页，本讲稿共85页14.614.6利用估計線性迴歸方程式利用估計線性迴歸方程式 進行預測（續進行預測（續2）的的(1-

47、(1-)%)%區間估計區間估計 註：當大樣本時，註：當大樣本時，t tn-2n-2,/2/2以以z z/2/2代之。代之。第74页，本讲稿共85页例例14.11 續例續例14.6 廣告支出為廣告支出為2525仟元時的營業額預測值為何？又仟元時的營業額預測值為何？又95%95%的信的信賴區間為何？賴區間為何？當廣告支出為當廣告支出為2525仟元時的營業額預測值為仟元時的營業額預測值為99.0799.07千元。千元。第75页，本讲稿共85页例例14.11 續例續例14.6(續續)95%95%信賴區間為信賴區間為 在廣告支出為在廣告支出為2525仟元，仟元，95%95%的信賴水準下，營業額的信的信賴

48、水準下，營業額的信賴區間為賴區間為92.1992.19仟元到仟元到105.95105.95仟元之間。仟元之間。第76页，本讲稿共85页14.6 利用估計線性迴歸方程式進行預測（續利用估計線性迴歸方程式進行預測（續 3）與與 比較比較1.的信賴區間較的信賴區間較 窄。窄。2.當當 愈靠近愈靠近 ，則，則 與與 愈小，因此愈小，因此信賴區間就愈窄。信賴區間就愈窄。3.愈大，信賴區間亦愈寬。愈大，信賴區間亦愈寬。4.自變數自變數 X X 的變異愈大，則的變異愈大，則 與與 愈小，因此愈小，因此信賴區間就愈窄。信賴區間就愈窄。第77页，本讲稿共85页14.7 殘差分析殘差分析簡單線性迴歸模型的假設條件

49、 1.隨機誤差項隨機誤差項 之分配為常態分配之分配為常態分配。2.隨機誤差項隨機誤差項 之變異數均等之變異數均等。3.隨機誤差項隨機誤差項 彼此獨立彼此獨立。4.迴歸模型為線性模型。迴歸模型為線性模型。第78页，本讲稿共85页14.7 殘差分析殘差分析(續續)一般而言，殘差分析包括對迴歸模型進行下列三個性質的檢查：一般而言，殘差分析包括對迴歸模型進行下列三個性質的檢查：1.1.常態性常態性:觀察殘差項是否遵循常態分配，而非有某特定機率分配可依循。觀察殘差項是否遵循常態分配，而非有某特定機率分配可依循。2.2.齊質性齊質性:齊質性若成立，則殘差變異數並不會隨著齊質性若成立，則殘差變異數並不會隨著

50、x x的改變而改變，故的改變而改變，故殘差圖呈帶狀分佈時，符合齊質性。殘差圖呈帶狀分佈時，符合齊質性。3.3.獨立性獨立性:獨立性若成立，則接連兩個樣本之殘差值不應存在正相關或負獨立性若成立，則接連兩個樣本之殘差值不應存在正相關或負相關，四個變數不存在任何正相關或負相關關係，彼此間屬相關，四個變數不存在任何正相關或負相關關係，彼此間屬於橫斷面的資料，所以符合獨立性。於橫斷面的資料，所以符合獨立性。第79页，本讲稿共85页14.7 殘差分析（續殘差分析（續1）殘差分析殘差分析(residual analysis)(residual analysis)由殘差與自變數由殘差與自變數 X X 的散布圖