（课标专用）天津市高考数学二轮复习 专题四 数列 4.2 数列的通项与求和课件.pptx

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1、4.2数列的通项与求和12021/8/11 星期三-2-突破点一突破点二突破点三由数列的递推关系求通项【例1】根据下列条件,确定数列an的通项公式:(1)数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n;(3)a1=1,ax+1=3an+2.分析推理(1)根据式子结构特征,把(2n-1)an看作一个整体,则该问题就看作已知和Sn求通项的问题,根据项与和的关系式求解即可;(2)根据递推关系以及对数运算,可以利用累加法求其通项;(3)因为递推关系中两项的系数不同,所以应该通过变形构造等比数列求解通项.2021/8/11 星期三-3-突破点一突破点二突破点三2021/8/11 星期三-4-突破点一突

2、破点二突破点三又a1=2适合上式,故an=2+ln n(nN*).2021/8/11 星期三-5-突破点一突破点二突破点三(3)方法一(直接变形)由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1).a1=1,知a1+1=2,an+10,数列an+1是以2为首项,以3为公比的等比数列.则an+1=23n-1,故an=23n-1-1.方法二(待定系数法)由已知,设an+1+t=3(an+t),则整理得an+1=3an+2t.由已知可得2t=2,解得t=1.an+1+1=3(an+1).下同方法一.2021/8/11 星期三-6-突破点一突破点二突破点三【例1】(3)中,若已知an+1=3an+

3、2n-1呢?解法一(直接变形)由an+1=3an+2n-1,得an+1+(n+1)=3(an+n).令bn=an+n,则有bn+1=3bn.2021/8/11 星期三-7-突破点一突破点二突破点三解法二(待定系数法)因为an+1与an的系数不相等,故可构造等比数列.设an+1+k(n+1)+t=3(an+kn+t),整理得an+1=3an+2kn+2t-k.由已知an+1=3an+2n-1,所以an+1+(n+1)=3(an+n).下同解法一.2021/8/11 星期三-8-突破点一突破点二突破点三规律方法1.由递推关系求数列的通项的基本思想是转化,常用的方法:(1)an+1-an=f(n)型

4、,采用迭加法;(3)an+1=pan+q(p0,p1)型,转化为等比数列解决;(4)an+1=(an0,p,q为非零常数)型,可用倒数法转化为等差数列解决.2.已知Sn求an的三个步骤:(1)先利用a1=S1求出a1;(2)用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-(n2)便可求出当n2时an的表达式;(3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n2的表达式合并.2021/8/11 星期三-9-突破点一突破点二突破点三即时巩固1根据下列条件,确定数列an的通项公式:(3)Sn=2an+n.2021/8/11 星期三-10-突破点一突破点二突破点三(3)Sn=2an+n,当n=1时,a

5、1=S1=2a1+1,即a1=-1;当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an+n)-2an-1+(n-1)=2an-2an-1+1,即an=2an-1-1,数列an-1为首项a1-1=-2,公比q=2的等比数列,an-1=-22n-1,即an=1-2n.2021/8/11 星期三-11-突破点一突破点二突破点三裂项求和法(1)求an的通项公式;分析推理(1)首先令n=1,求出首项,然后根据Sn与an的关系,将已知转化为数列的项之间的关系,化简后判断数列的性质,进而求其通项;(2)根据第(1)问所求,写出bn的表达式,然后将其裂成两项之差,利用裂项相消法求和.2021/8/11 星期三-12-突

6、破点一突破点二突破点三所以an是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.2021/8/11 星期三-13-突破点一突破点二突破点三规律方法裂项相消法的基本思想就是把通项an分拆成an=bn+k-bn(kN*)的形式,从而达到在求和时绝大多数项相消的目的,在解题时要善于根据这个基本思想变换数列an的通项公式,使之符合裂项相消的条件.2021/8/11 星期三-14-突破点一突破点二突破点三即时巩固2(2019湖南岳阳二模)已知数列an,a1=3,且nan+1-an=nan,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,求数列 的前n项和Tn.得an=3n,

7、所以数列an的通项公式为an=3n,nN*.2021/8/11 星期三-15-突破点一突破点二突破点三2021/8/11 星期三-16-突破点一突破点二突破点三错位相减法求和【例3】已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).分析推理(1)等比数列bn已知首项,故可直接利用已知“b2+b3=12”列出公比所满足的方程求解,即可得到其通项公式;然后代入已知列出方程组求出等差数列an的首项与公差,进而求其通项.(2)首先根

8、据第(1)问写出数列a2nb2n-1的通项公式,根据等差、等比数列的性质可知,a2n为等差数列,b2n-1为等比数列,故应利用错位相减法求和.2021/8/11 星期三-17-突破点一突破点二突破点三解:(1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.20

9、21/8/11 星期三-18-突破点一突破点二突破点三(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+12021/8/11 星期三-19-突破点一突破点二突破点三规律方法错位相减法适用于求数列anbn的前n项和,其中an为等差数列,bn为等比数列;所谓“错位”,就是要找“同类项”相减.要注意的是相减后得到部分等比数列的和,此

10、时一定要查清其项数.2021/8/11 星期三-20-突破点一突破点二突破点三即时巩固3(2019江西上饶二模)设数列an的前n项和为Sn.已知a1=1,an+1=3Sn+1,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)记Tn为数列nan的前n项和,求Tn.解:(1)由题意,an+1=3Sn+1,则当n2时,an=3Sn-1+1.两式相减,得an+1=4an(n2).所以数列an是以首项为1,公比为4的等比数列,所以数列an的通项公式是an=4n-1(nN*).2021/8/11 星期三-21-突破点一突破点二突破点三(2)因为Tn=a1+2a2+3a3+nan=1+24+342+n4n-1,所

11、以4Tn=41+242+343+(n-1)4n-1+n4n,2021/8/11 星期三-22-核心归纳预测演练2021/8/11 星期三-23-核心归纳预测演练1.(2019山东泰安上学期期末)已知数列an中,a1=1,an+1=2an+1(nN*),Sn为其前n项和,则S5的值为()A.57B.61 C.62D.63A解析:由条件可得,a1=1,a2=2a1+1=3,a3=2a2+1=7,a4=2a3+1=15,a5=2a4+1=31,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+7+15+31=57,故选A.2021/8/11 星期三-24-核心归纳预测演练an的通项公式为()A.an=

12、n B.an=n2B an=n2,nN*.故选B.2021/8/11 星期三-25-核心归纳预测演练3.已知数列an的各项都是正数,其前n项和Sn满足2Sn=an+,nN*,则数列an的通项公式为.解析:因为数列an的各项都是正数,其前n项和Sn满足 2021/8/11 星期三-26-核心归纳预测演练4.(2019山东淄博实验中学、淄博五中一诊)已知等差数列an的公差d0,其前n项和为Sn,且S5=20,a3,a5,a8成等比数列.(1)求数列an的通项公式;所以(a1+4d)2=(a1+2d)(a1+7d),化简得a1=2d.联立和得,a1=2,d=1,所以an=n+1.2021/8/11

13、星期三-27-核心归纳预测演练2021/8/11 星期三-28-核心归纳预测演练5.(2019江西上饶二模)已知首项为1的等比数列an满足a2+a4=3(a1+a3),等差数列bn满足b1=a2,b4=a3,数列bn的前n项和为Sn.(1)求数列an,bn的通项公式;解:(1)设an的通项公式为an=a1qn-1,a1q+a1q3=3(a1+a1q2),q=3.a1=1,an=3n-1.a2=3,a3=9,b1=3,b4=9.bn=2n+1.2021/8/11 星期三-29-核心归纳预测演练综上可知,cn=(2n+1)3n-1,nN*.Tn=330+531+(2n+1)3n-1,3Tn=331+532+(2n+1)3n,两式相减,得-2Tn=3-(2n+1)3n+231+232+23n-1,Tn=n3n.2021/8/11 星期三-30-2021/8/11 星期三