复变函数课件精.ppt

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1、复变函数课件第1页，本讲稿共39页w 研究对象：解析函数研究对象：解析函数w 应用背景：数域扩张、欧拉恒等式、绘图、应用背景：数域扩张、欧拉恒等式、绘图、数学分支、物理学等方面的应用数学分支、物理学等方面的应用w 预备知识：微积分预备知识：微积分准备工作准备工作下页下页返回返回上页上页第2页，本讲稿共39页第一节第一节 复数复数1、复数域、复数域2、复平面、复平面3、复数的模与辐角、复数的模与辐角第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数4、复数的乘幂和方根、复数的乘幂和方根5、共轭复数、共轭复数6、复数在几何上的应用举例、复数在几何上的应用举例第4页，本讲稿共39页5虚数单位虚数单位:对虚数

2、单位的规定对虚数单位的规定:1 复数复数:下页下页返回返回上页上页第5页，本讲稿共39页6虚数单位的特性虚数单位的特性:下页下页返回返回上页上页第6页，本讲稿共39页复数复数:具有具有z=x+iy形状的数。形状的数。其中：其中：i是虚数单位是虚数单位(-1的平方根的平方根)；（；（j）x和和y是实数，分别为是实数，分别为z的实部和虚部；的实部和虚部；如果如果Imz=0，则，则z可以看成一个实数；可以看成一个实数；如果如果Imz0，则，则z为一个虚数；为一个虚数；如果如果Imz0，而而Rez=0，则，则z为一个纯虚数。为一个纯虚数。下页下页返回返回上页上页第7页，本讲稿共39页8例例1 1解解令

3、令下页下页返回返回上页上页第8页，本讲稿共39页复数的四则运算复数的四则运算:复复数数在在四四则则运运算算这这个个代代数数结结构构下下，构构成成一一个个复复数数域域(对对加加、减减、乘乘、除除运运算算封封闭闭），记记为为C，复数域可以看成实数域的扩张。复数域可以看成实数域的扩张。下页下页返回返回上页上页第9页，本讲稿共39页2 复平面复平面:复复数数域域C也也可可以以理理解解成成平平面面RR，我我们们称称C为复平面。作映射：为复平面。作映射：则复数域则复数域C与平面与平面RR建立了建立了1-1对应（双射）。对应（双射）。RR平面上：横坐标轴称为实轴；平面上：横坐标轴称为实轴；纵坐标轴称为虚轴；

4、纵坐标轴称为虚轴；一般称为复平面，一般称为复平面，z-平面，平面，C等。等。下页下页返回返回上页上页第10页，本讲稿共39页复复 数数 与与 平平面面中中的的向向量量一一一一对对应。应。实实轴轴正正向向到到非非零零复复数数对对应应向向量量间间的的夹夹角角称称为为复复数数的的辐辐角，为：角，为：向量的长度称为复数的模，为：向量的长度称为复数的模，为：3 模和辐角模和辐角:0 xyxyqz=x+iy|z|=r下页下页返回返回上页上页第11页，本讲稿共39页12辐角主值的定义辐角主值的定义:当当z=0时时,|z|=0,而幅角不确定而幅角不确定.下页下页返回返回上页上页第12页，本讲稿共39页 两个复

5、数的加减法运算与相应的向量的加两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致减法运算一致.复数加、减法的几何表示如下图：复数加、减法的几何表示如下图：下页下页返回返回上页上页第13页，本讲稿共39页基本不等式基本不等式:关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：关于两个复数的和与差的模，有以下不等式：下页下页返回返回上页上页第14页，本讲稿共39页复数的三角表示复数的三角表示:非零复数的三角表示定义为：非零复数的三角表示定义为：利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数的指数表示式复数的指数表示式下页下页返回返回上页上页第15页，本讲稿共39页例例2

6、2将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为下页下页返回返回上页上页第16页，本讲稿共39页17故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为下页下页返回返回上页上页第17页，本讲稿共39页三角表示的乘法：三角表示的乘法：利利用用复复数数的的三三角角表表示示可可以以更更简简单单的的表表示示复复数数的的乘法与除法乘法与除法，设，设则有则有下页下页返回返回上页上页第18页，本讲稿共39页复数乘法的几复数乘法的几何表示如下：何表示如下：几何上几何上z1z2相相当于将当于将z2的模的模扩大扩大|z1|倍并旋倍

7、并旋转一个角度转一个角度Argz1.01下页下页返回返回上页上页第19页，本讲稿共39页三角表示的除法：三角表示的除法：同理，对除法，也有：同理，对除法，也有：下页下页返回返回上页上页第20页，本讲稿共39页21n次幂次幂:4 复数的乘幂与方根：复数的乘幂与方根：下页下页返回返回上页上页第21页，本讲稿共39页22棣莫佛公式棣莫佛公式推导过程如下推导过程如下:棣莫佛公式棣莫佛公式下页下页返回返回上页上页第22页，本讲稿共39页23根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式,下页下页返回返回上页上页第23页，本讲稿共39页故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为例例3 3将下列复数化为三角表示式与

8、指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:下页下页返回返回上页上页第24页，本讲稿共39页例例4、求所有值、求所有值：解：由于解：由于所以有四个根所以有四个根下页下页返回返回上页上页第25页，本讲稿共39页26 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数复数称为共轭复数.例例5 5解解5 共轭复数：共轭复数：下页下页返回返回上页上页第26页，本讲稿共39页27共轭复数的性质共轭复数的性质:下页下页返回返回上页上页第27页，本讲稿共39页下页下页返回返回上页上页第28页，本讲稿共39页下页下页返回返回上页上页第29页，本讲稿共39页P17例

9、例1.10下页下页返回返回上页上页第30页，本讲稿共39页31（1 1）曲线的复数方程曲线的复数方程6 复数在几何上的应用举例复数在几何上的应用举例（2 2）应用复数证明几何问题应用复数证明几何问题下页下页返回返回上页上页第31页，本讲稿共39页解：利用解：利用下页下页返回返回上页上页第32页，本讲稿共39页例例9、作出过复平面、作出过复平面C上不同两点上不同两点a,b的直线及过的直线及过不共线三点不共线三点a,b,c的圆的表示式。的圆的表示式。解：解：下页下页返回返回上页上页第33页，本讲稿共39页 a,c,b,z构成一个构成一个圆内结四边形圆内结四边形 或在同一侧或在同一侧下页下页返回返回

10、上页上页第34页，本讲稿共39页35例例1010证证下页下页返回返回上页上页第35页，本讲稿共39页36两边平方两边平方,并化简得并化简得上面例子表明上面例子表明,很多平面图形能用复数形式很多平面图形能用复数形式的方程的方程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的复数形也可以由给定的复数形式的方程式的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形来确定它所表示的平面图形.下页下页返回返回上页上页第36页，本讲稿共39页37小结与思考小结与思考1、本课学习了复数的有关概念、性质及其运、本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算.重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算.2、学习了复数的模、辐

11、角、学习了复数的模、辐角;复数的各种表示法及复数的各种表示法及简单的复数几何应用简单的复数几何应用.并且介绍了复平面并且介绍了复平面.应熟练掌握复数乘积与商的运算应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便形式中以三角形式、指数形式最为方便:棣莫佛棣莫佛(deMoivre)公式公式下页下页返回返回上页上页第37页，本讲稿共39页38思考题一思考题一复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？思考题二思考题二是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?下页下页返回返回上页上页第38页，本讲稿共39页作业:第42页 2,3,4 第45页 2,3,6 下页下页返回返回上页上页第39页，本讲稿共39页