23数学归纳法(上课用).ppt

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1、第二章第三节第二章第三节第二章第三节第二章第三节罗田一中罗田一中罗田一中罗田一中 王国舟王国舟王国舟王国舟罗田一中罗田一中罗田一中罗田一中 王国舟王国舟王国舟王国舟新课标人教新课标人教新课标人教新课标人教A A A A版选修版选修版选修版选修2-22-22-22-2新课标人教新课标人教新课标人教新课标人教A A A A版选修版选修版选修版选修2-22-22-22-2创设情境，启动思维创设情境，启动思维师生互动，探究问题师生互动，探究问题借助史料借助史料,引申思辨引申思辨实例再现，激发兴趣实例再现，激发兴趣类比联想，形成概念类比联想，形成概念讨论交流，深化认识讨论交流，深化认识2.3 2.3 数

2、学归纳法数学归纳法反馈练习反馈练习,巩固提高巩固提高总结归纳，加深理解总结归纳，加深理解2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出创设情境，启动思维创设情境，启动思维笑话：财主的儿子学写字笑话：财主的儿子学写字情境一：情境一：1、这里有一袋球共、这里有一袋球共12个，我们要判断这一袋球是白球，个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么判断？还是黑球，请问怎么判断？2、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断、如果想象袋子有足够大容量，球也无限多？要判断这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？这一袋球是白球，还是黑球，上述方法可行吗？情境二：情境二：华罗庚的华罗庚的“摸球实验摸球实

3、验”2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出借助史料借助史料,引申思辨引申思辨 费马费马（Fermat）是）是17世世纪纪法国著名的数学家，他曾法国著名的数学家，他曾认为认为，当当nN时时，一定都是一定都是质质数，数，这这是他是他对对n=0，1，2，3，4作了作了验证验证后得到的后得到的 后来，后来，18世世纪伟纪伟大的瑞士科学家欧拉（大的瑞士科学家欧拉（Euler）却）却证证明了明了 =4 294 967 297=6 700 417641，从而否定了，从而否定了费马费马的推的推测测没想到当没想到当n=5这这一一结论结论便不成立便不成立费马费马猜想猜想情境三：情境三：2.3 2.3 数学归

4、纳法数学归纳法返回退出实例再现，激发兴趣实例再现，激发兴趣1.视频视频：多米诺骨牌游戏多米诺骨牌游戏2.思考：思考：多米诺骨牌全部依次倒下的条件：多米诺骨牌全部依次倒下的条件：第一块要倒下第一块要倒下;当前面一块倒下时，后面一块必须倒下当前面一块倒下时，后面一块必须倒下;3.思考：你思考：你认为认为条件条件(2)的作用是什么？的作用是什么？条件条件 事实上给出了一个递推关系：事实上给出了一个递推关系：当第当第k块倒下时，相邻的第块倒下时，相邻的第k+1块也要倒下块也要倒下.2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出类比联想，形成概念类比联想，形成概念类比多米诺骨牌游戏类比多米诺骨牌游戏,证明

5、等差数列通项公式：证明等差数列通项公式：an=a1+(n-1)d.证明：证明：(1)当当n1时，左边时，左边=a1，右边，右边=a1，等式成立；等式成立；(2)假设当假设当nk(k N+)时等式成立时等式成立,即即 ak=a1+(k-1)d,那么，那么，ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d,即即nk1时等式也成立时等式也成立根据根据(1)和和(2)，可知等式对任何，可知等式对任何n N+都成立都成立2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出类比联想，形成概念类比联想，形成概念证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值 n0(n0 N+)时命题成

6、立；（2）（归纳递推）假设n=k(kn0，且kN+)时命题成立；证明当n=k+1时命题也成立.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法数学归纳法的本质：数学归纳法的本质：无穷的归纳无穷的归纳有限的演绎（递推关系）有限的演绎（递推关系）归纳假设归纳证明2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出讨论交流，深化认识讨论交流，深化认识例例 数列数列an中中,a1=1,(n N*),an通通项项公式公式是什么？你是怎么得到的？是什么？你是怎么得到的？思路一：观察数列思路一：观察数列an特点，变形解出特点，变形解出.思路二：先计算思路二：先计算a2，a3，

7、a4的值，再猜想通项的值，再猜想通项an的的公式公式,最后用数学归纳法证明结论最后用数学归纳法证明结论2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出反馈练习反馈练习,巩固提高巩固提高1、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：135(2n1)=n22、用数学归纳法证明：、用数学归纳法证明：2+4+6+2n=n2+n+1时，下列时，下列推证是否正确，说出理由？推证是否正确，说出理由？证明：假设当证明：假设当n=k(kN+)时，等式成立，即时，等式成立，即 2+4+6+2k=k2+k+1成立成立那么那么 2+4+6+2k+2(k+1)=k2+k+1+2(k+1)=k2+3k+3 =(k+1)2+(k+

8、1)+1即当即当n=k+1时等式成立，时等式成立，根据根据(1)和和(2)，可知等式对任何，可知等式对任何n N+都成立都成立.第一步是基础，没第一步是基础，没有第一步，只有第有第一步，只有第二步就如空中楼阁，二步就如空中楼阁，是不可靠的；是不可靠的；2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出反馈练习反馈练习,巩固提高巩固提高3、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正、判断下列推证是否正确，若是不对，如何改正.用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：证明证明：(1)当当n=1时，左边时，左边=，右边，右边=，等式成立，等式成立.(2)假假设当设当n=k(kN+)时等式成立，即时等式成立，即 那

9、么，那么，即当即当n=k+1时，等式成立时，等式成立.根据根据(1)(2)可知，等式对任何可知，等式对任何nN+都成立都成立.第二步的第二步的证明必须证明必须利用归纳利用归纳假设，假设，2.3 2.3 数学归纳法数学归纳法返回退出总结归纳，加深理解总结归纳，加深理解1、数学归纳法属于完全归纳法，主要用于研究与正整数有关、数学归纳法属于完全归纳法，主要用于研究与正整数有关的数学问题；的数学问题；2、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推、数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推(递归递归)思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可思想，使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；3、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证思想分类思想、归纳思想、辩证思想本节课到此结束！本节课到此结束！谢谢各位！谢谢各位！