学案7离散型随机变量的均值与方差、正态分布.ppt

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1、学案学案7 离散型随机变量的均离散型随机变量的均 值与方差、正态分布值与方差、正态分布名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 离散型随离散型随机变量的机变量的均值与方均值与方差、正态差、正态分布分布(1)(1)理解取有限个值的离散型随机变量的均理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念，会求简单离散型随机变量值、方差的概念，会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能利用离

2、散型随机变量的的均值、方差，并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单问题均值、方差概念解决一些简单问题.(2)(2)借助直观直方图认识正态分布曲线的特借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义点及曲线所表示的意义.返回目录返回目录 名师伴你行考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及求随机变量的期望与方差，这部分知识综合性强，涉及排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背排列、组合和概率，仍会以解答题出现，以应用题为背景命题是近几年高考的一个热点景命题是近几年高考的一个热点.名师伴你行返回目录返回目录

3、1.离散型随机变量的均值 一般地一般地,若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布列为：的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pi pn名师伴你行返回目录返回目录 则称则称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量为随机变量X的均值或数学期望的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量它反映了离散型随机变量 .（1）E（aX+b）=.（2）若）若X服从两点分布，则服从两点分布，则EX=.（3）若）若XB（n,p），则），则EX=.2.离散型随机变量的方差 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布列为：的分布列为：Xx1x2xixnPp1p2pi pn取值的取值的 平均水平平均水平 aE

4、X+b P np 则（则（xi-EX）2描述了描述了xi(i=1,2,n)相对于均值相对于均值EX的偏离程度的偏离程度.而而DX=为这些偏离程为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值与其均值EX的平均的平均偏离程度偏离程度.我们称我们称DX为随机变量为随机变量X的方差，其算术平的方差，其算术平方根方根 为随机变量为随机变量X的标准差，记作的标准差，记作X.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 .方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度程度 .（1）D（aX+b）=.

5、（2）若）若X服从两点分布，则服从两点分布，则DX=.（3）若）若XB(n,p)，则，则DX=.返回目录返回目录 取值偏离于均值的平均程度取值偏离于均值的平均程度 越小越小 a2DXp(1-p)np(1-p)名师伴你行 3.正态分布 函数函数,(x)=x(-,+)，其中实，其中实数数和和（0）为参数）为参数.我们称我们称,(x)的图象为正态分的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线布密度曲线，简称正态曲线.一般地一般地,如果对于任何实数如果对于任何实数ab，随机变量，随机变量X满足满足 P（aq)，且不，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立同课程是否取得优秀成绩相互独立.记记为该生取得优秀为该生取

6、得优秀成绩的课程数，其分布列为成绩的课程数，其分布列为名师伴你行返回目录返回目录（1）求该生至少有）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；门课程取得优秀成绩的概率；（2）求）求p,q的值；的值；（3）求数学期望）求数学期望E().0123Pab名师伴你行返回目录返回目录【分析分析】第第(1)问考查对立事件问考查对立事件,第第(2)问可通过列方程组问可通过列方程组求出求出,第第(3)问由公式问由公式E()=x1P1+x2P2+xnPn求出期望求出期望.【解析解析】事件事件Ai表示表示“该生第该生第i门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩”，i=1,2,3.由题意知由题意知P(A1)=,P(A2)

7、=p,P(A3)=q.(1)由于事件由于事件“该生至少有该生至少有1门课程取得优秀成绩门课程取得优秀成绩”与事与事件件“=0”是对立的，所以该生至少有是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀门课程取得优秀成绩的概率是成绩的概率是1-P(=0)=1-=.(2)由题意知由题意知P(=0)=P(A1A2A3)=(1-p)(1-q)=,名师伴你行返回目录返回目录 P(=3)=P(A1A2A3)=pq=.整理得整理得pq=,p+q=1.由由pq，可得，可得p=,q=.(3)由题意知由题意知a=P(=1)=P(A1A2A3）+P（A1A2A3）+P（A1A2A3）=（1-p)(1-q)+p(1-q)+(1

8、-p)q=,b=P(=2)=1-P(=0)-P(=1)-P(=3)=.所以所以E()=0P(=0)+1P(=1)+2P(=2)+3P(=3)=.名师伴你行返回目录返回目录 求期望的关键是写出分布列求期望的关键是写出分布列.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考山东卷年高考山东卷某学校举行知识竞赛，第一轮选拔某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有共设有A,B,C,D四个问题，规则如下：四个问题，规则如下：每位参加者计分器的初始分均为每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分，答对问题A,B,C,D分别加分别加1分、分、2分、分、3分、分、6分，答错任一题减分，答错任一题减2分分.每回答一题

9、，计分器显示累计分数，当累计分数小于每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局分时，答题结束，淘汰出局.每位参加者按问题每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束顺序作答，直至答题结束.名师伴你行返回目录返回目录 假设甲同学对问题假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为回答正确的概率依次为 ，且各题回答正确与否相互之间没，且各题回答正确与否

10、相互之间没有影响有影响.（1）求甲同学能进入下一轮的概率；）求甲同学能进入下一轮的概率；（2）用）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学期望的分布列和数学期望E().【解析解析】设设A,B,C,D分别表示甲同学正确回答第一、分别表示甲同学正确回答第一、二、三、四个问题，二、三、四个问题，A，B，C，D分别表示甲同学第分别表示甲同学第一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，一、二、三、四个问题回答错误，它们是对立事件，由题意得由题意得名师伴你行返回目录返回目录 P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(A)=,P(B)=,P(

11、C)=,P(D)=.(1)记记“甲同学能进入下一轮甲同学能进入下一轮”为事件为事件Q，则则Q=ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD.每题结果相互独立，每题结果相互独立，P(Q)=P(ABC+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD)=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C)P(D)名师伴你行返回目录返回目录(2)由题意知，随机变量由题意知，随机变量的可能取值为：的可能取值为：2，3，4,则则P(=2)=P(A B)=,P(=3)=P(ABC+ABC)=,P(=4)=1-P(=

12、2)-P(=3)=1-=.因此因此的分布列为的分布列为234P名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 期望和方差的应用期望和方差的应用期望和方差的应用期望和方差的应用甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量随机变量与与，且，且，的分布列为：的分布列为：计算计算,的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术优劣.10109 98 87 76 65 50 0P P0.5 0.2 0.1 0.10.050.05010109 98 87 76 65 50 0P P0.1 0.1 0.1 0.1

13、0.2 0.2 0.2名师伴你行 【解析解析解析解析】依题意，有依题意，有E=100.5+90.2+80.1+70.1+60.05+50.05+00=8.85（环）（环）.E=100.1+90.1+80.1+70.1+60.2+50.2+00.2=5.6（环）（环）.D=(10-8.85)20.5+(9-8.85)20.2+(8-8.85)20.1+(5-8.85)20.05+(0-8.85)20=2.227 5,D=(10-5.6)20.1+(9-5.6)20.1+(8-5.6)20.1+(5-5.6)20.2+(0-5.6)20.2=10.24,返回目录返回目录 【分析分析分析分析】利用利

14、用,的分布列，用期望、方差公式计算的分布列，用期望、方差公式计算出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析出它们的值，再根据期望、方差的实际意义作出分析.名师伴你行返回目录返回目录 所以所以EE，说明甲的平均水平比乙高，又因为，说明甲的平均水平比乙高，又因为D2)=0.023,则则P(-22)=.【解析解析】由由N(0,2),且且P(2)=0.023,知知P(-22)=1-2P(2)=1-0.046=0.954.名师伴你行返回目录返回目录 1.1.离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变离散型随机变量的数学期望与方差是对随机变离散型随机变量的数学期望

15、与方差是对随机变量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概量的最简明的描写，期望表示在随机试验中取值的概率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的率的平均值；方差表示随机变量所取的值相对于它的期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性期望值的集中与离散的程度，即取值的稳定性.2.2.在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在利用期望、方差解应用题时，通常先求期望，在期望相等的情况下再求方差在期望相等的情况下再求方差在期望相等的情况下再求方差在期望相等的情况下再求方差.3.3.对于正态分布关键是记住对于正态分布关键是记住对于正态分布关键是记住对于正态分布关键是记住33原则原则原则原则.名师伴你行