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1、线性代数及其应用刘剑平教材教材:线性代数及其应用线性代数及其应用 主编主编 刘剑平刘剑平 华东理工大学出版社华东理工大学出版社参考教材参考教材:线性代数精析与精练线性代数精析与精练主编主编 刘剑平刘剑平 华东理工大学出版社华东理工大学出版社代数由费马和笛卡尔的工作产生于代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪世纪关孝和或莱布尼兹引入行列式关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展雅可比和范德蒙发展詹姆斯或凯莱引入矩阵詹姆斯或凯莱引入矩阵克莱姆克莱姆,高斯高斯,若当引入方程组若当引入方程组我国九章算术中有一章方程我国九章算术中有一章方程历史背景历史背景1859(清朝清朝)李善兰翻译成李善兰翻译

2、成“代数学代数学”线性代数课程在高等工业线性代数课程在高等工业学校的教学计划中是一门重要学校的教学计划中是一门重要的基础理论课，也是考研究生的基础理论课，也是考研究生的必考课程，尤其在计算机高的必考课程，尤其在计算机高速发展的今天，更显示出其重速发展的今天，更显示出其重要性和应用性。要性和应用性。矩矩 阵阵线性方程组线性方程组行列式行列式向量组向量组一一一一对对应应一一 一一 对对 应应特征问题与二次型特征问题与二次型线性方程组线性方程组求解为核心求解为核心矩阵运算矩阵运算为主线为主线核心核心第一节第一节 矩阵矩阵第一章第一章 矩阵矩阵1.线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于系数系数常数项

3、常数项一、矩阵概念的引入一、矩阵概念的引入对线性方程组的对线性方程组的研究可转化为对研究可转化为对这张表的研究这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性变换线性变换对应对应这是一个以原点为中心这是一个以原点为中心旋转旋转 角的角的旋转变换旋转变换.二、矩阵的定义二、矩阵的定义 由由 个数个数排成的排成的 行行 列的元数表列的元数表称为称为 维维矩阵矩阵.简称简称 矩阵矩阵.记作记作简记为简记为元素是实数的矩阵称为元素是实数的矩阵称为实矩阵实矩阵,元素是复数的矩阵称为元素是复数的矩阵称为复矩阵复矩阵.例如例如是一个是一个 实矩阵实矩阵,是一个是

4、一个 复矩阵复矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵,是一个是一个 矩阵矩阵.例如例如是一个是一个3 阶方阵阶方阵.几种特殊矩阵几种特殊矩阵(2)(2)只有一行元素的矩阵只有一行元素的矩阵称为称为行矩阵行矩阵(或或行向量行向量).方阵方阵.也可记作也可记作主主对角线对角线副副(反反)对角线对角线只有一列元素的矩阵只有一列元素的矩阵称为称为列矩阵列矩阵(或或列向量列向量).).全为零的方阵称为全为零的方阵称为上三角矩阵上三角矩阵。称为称为对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵(或或对角阵对角阵对角阵对角阵）.（4）形形如如 的的方方阵阵,全为零的方阵称为全为零的方阵称为下三角矩阵下三角矩

5、阵。记作记作(5)数数(纯纯)量矩阵（标量矩阵）量矩阵（标量矩阵）称为称为单位矩阵单位矩阵（或（或单位阵单位阵）.有时也记作有时也记作E E.全为全为1为为数量矩阵数量矩阵或或标量阵标量阵。当当 时，记作时，记作 （6）元素全为零的矩阵称为元素全为零的矩阵称为零矩阵零矩阵，零零矩阵记作矩阵记作 或或 .注意注意不同阶数的零矩阵是不不同阶数的零矩阵是不“相等相等”的的.例如例如 2.2.两个矩阵两个矩阵 为为同维矩阵同维矩阵,并并且对应元素相等且对应元素相等,即即则称则称矩阵矩阵 相等相等,记作记作例如例如为为同维矩阵同维矩阵.同维矩阵同维矩阵与与矩阵相等矩阵相等的概念的概念 1.1.两个矩阵的

6、行数相等两个矩阵的行数相等,列数相等时列数相等时,称为称为同同维矩阵维矩阵.例例1 设设解解三、小结三、小结(1)(1)矩阵的概念矩阵的概念(2)特殊矩阵特殊矩阵方阵方阵上（下）三角阵上（下）三角阵单位矩阵单位矩阵;对角矩阵对角矩阵对角矩阵对角矩阵;零矩阵零矩阵.行矩阵与列矩阵行矩阵与列矩阵;思考题思考题思考题解答思考题解答矩阵矩阵 是对角阵。是对角阵。答答:错错.矩阵棣属关系矩阵棣属关系:单位阵单位阵数量阵数量阵对角阵对角阵三角阵三角阵方阵方阵矩阵。矩阵。答答:对对.第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算第一章第一章 矩阵矩阵、定义、定义一、矩阵的加法一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那

7、末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为规定为说明说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如2 2、矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律1 1、定义、定义二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的统称为矩阵的线性运算线性运算.（设（设 为为 矩阵，矩阵，为数）为数）注：注：三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘商品名商品名代理商代理商、定义、定义并把此乘积记作并把此乘积记作设设 是一个是一个 矩阵，矩阵，是一个是一个 矩阵，那么规

8、定矩阵矩阵，那么规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中例例2设设例例3 3故故解解注意注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘的行数时，两个矩阵才能相乘.例如例如不不存在存在.而而、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律（其中其中 为数）为数）;若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 注意注意矩阵一般不满足交换律，即：矩阵一般不满足交换律，即：例例4 设设则则但也有例外，比如设但也有例外，比如设则有则有注意注意矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：矩阵乘法一般不满足消去律

9、，亦即：例例5 5 计算下列乘积：计算下列乘积：解解解解=(）解解例例6 6由此归纳出由此归纳出用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，所以对于任意的所以对于任意的 都有都有定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 .例例、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的转置运算四、矩阵的转置运算转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质例例7 7 已知已知解法解法1解法解法22、对称阵与反对称阵对称阵、对称阵与反对称阵对称阵定义定义 设设 为为 阶方阵，如果满足阶方

10、阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。说明说明例例8 设列矩阵设列矩阵 满足满足 证明证明例例9 证明任一证明任一 阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.证明证明 为对称矩阵为对称矩阵.为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.五、小结五、小结矩矩阵阵运运算算加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与反对称阵对称阵与反对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才

11、能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足交换律不满足交换律,消去律消去律.（1）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能）只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加减，法运算进行加减，法运算.注意注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素一个元素.思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?思考题解答思考题解答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为矩阵矩阵A、B可交换。即可交换。即答答思考题思考题思考题解答思考题解答答答 例例.已知，已知，求求 第三节第三节 逆矩阵逆矩阵第一章第一章 矩阵矩阵则矩阵则矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆

12、矩阵或逆阵或逆阵.一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，当数当数 时，时，有有其中其中 为为 的倒数，的倒数，（或称（或称 的逆）；的逆）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质 定义定义 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵 是是可逆可逆的，并把矩阵的，并把矩阵 称为称为 的的逆矩阵逆矩阵.使得使得例例 设设说明说明 若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的

13、逆矩阵是的逆矩阵是唯一唯一的的.若设若设 和和 是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即例如例如 设设解解则则逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质证明证明证明证明例例1 1三、逆矩阵的求法三、逆矩阵的求法例例2 2 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则利用待定系数法利用待定系数法又又因为因为所以所以解解例例3 3四、小结四、小结1、逆矩阵的概念及运算性质、逆矩阵的概念及运算性质.2、逆矩阵的计算方法：、逆矩阵的计算方法：思考题思考题思考题解答思考题解答答答思考题思考题思考题解答思考题解答第四节第四节 分块矩阵分块矩阵第一章第一章 矩阵矩阵

14、一、矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.例例即即即即二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则例例1 设设解解则则又又于是于是例例2 2 设设解解例例3 3 设设例例4(4(性质性质)设设三、小结三

15、、小结 在矩阵理论的研究中在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最矩阵的分块是一种最基本基本,最重要的计算技巧与方法最重要的计算技巧与方法.(1)加法加法(2)数乘数乘(3)乘法乘法 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4)转置转置(5)分块对角阵的逆阵分块对角阵的逆阵思考题思考题思考题解答思考题解答证证第五节第五节 初等变换和初等矩阵初等变换和初等矩阵第一章第一章 矩阵矩阵引例引例一、初等变换的引入一、初等变换的引入-方程组方程组 的同解变换的同解变换求解求解线性方程组线性方程组我们来分析用消元法解下列方程组的过

16、程我们来分析用消元法解下列方程组的过程小结：小结：1上述解方程组的方法称为上述解方程组的方法称为Gauss消元法消元法 2（1）交换两个方程的次序；）交换两个方程的次序；（3）一个方程加上另一个方程的常数）一个方程加上另一个方程的常数k倍倍（与与 相互替换）相互替换）（以替换）（以替换）（2）以不等于的常数）以不等于的常数 乘上某个方程；乘上某个方程；（以替换）（以替换）3上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是变换是同解变换同解变换因为

17、在上述变换过程中，仅仅只对方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 (方方程组（程组（I）的增广矩阵）的变换的增广矩阵）的变换定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵

18、的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价关系具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两例如，两个个线性方程组同解，线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价就称这两个线性方程组等价定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过经过一次一次初等变换得到的方初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵.矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.三、初等矩阵的概

19、念三、初等矩阵的概念第第 i 列列 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵.初等变换初等变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用特点特点：例如，例如，标准形标准形 定理定理3 3 A A为可逆方阵的充分必要条件是存在为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵有限个初等方阵（应用一）（应用一）利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：解解例例 2 2初等行变换初等行变换例例 3 3解解列变换列变换行变换行变换1.1.初等行初等行(列列)变换变换初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同且变换类型相同3.3.矩阵等价具有的性质矩阵等价具有的性质2.2.初等变换初等变换五、小结五、小结4.4.单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵.一次初等变换一次初等变换5.利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是:思考题思考题 1思考题思考题1解答解答解解思考题思考题2思考题思考题2解答解答注：可逆矩阵。注：可逆矩阵。