第三章 扭转（2周）.ppt

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1、1回顾上章的内容：回顾上章的内容：1 1 轴向拉压的轴向拉压的概念概念;2 2 轴力及轴力及轴力图轴力图;3 3 横截面上横截面上的的应力应力4 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 胡克定律胡克定律 5 5 拉压杆的拉压杆的弹性应变能弹性应变能6 6 拉压超静定问题及其处理方法（拉压超静定问题及其处理方法（增加变形协调条件增加变形协调条件）强度条件强度条件23.1 3.1 概念与实例概念与实例;3.2 3.2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图;3.3 3.3 薄壁圆筒薄壁圆筒的扭转的扭转;3.4 3.4 等直圆杆等直圆杆在扭转时的在扭转时的应力应力强度分析强度分析;3.5 3

2、.5 等直圆杆在扭转时的等直圆杆在扭转时的变形变形刚度条件刚度条件;3.6 3.6 等直圆杆的扭转等直圆杆的扭转超静定问题超静定问题。第三章第三章 扭扭 转转 3一、回顾一、回顾 已经学习了已经学习了拉拉、压压;目前剪切还是目前剪切还是近似计算近似计算（拟合公式（拟合公式误差较大误差较大），值得），值得 深入研究。深入研究。二、对剪切的二、对剪切的认识认识:剪切力剪切力:作用作用在在剪切面剪切面面上面上的力；的力；作用结果：作用结果：把截面剪断把截面剪断。注意注意:拉压与扭转的比较学习拉压与扭转的比较学习!4把一根火腿肠截为两段把一根火腿肠截为两段：A.A.用工具用工具:（1 1）刀切开）刀切

3、开或或剪子剪。剪子剪。B.B.用手用手:（2 2）掰（弯）掰（弯曲曲）；（）；（3 3）拉）拉（拉伸压缩）（拉伸压缩）；（4 4）扭）扭。分析分析：（1 1）刀切开刀切开：是动载（与：是动载（与时间同步时间同步），因研究），因研究静载静载，不讲；，不讲；（2 2）掰（弯）掰（弯）：属于：属于弯曲弯曲，以后讲；，以后讲；（3 3）拉断拉断：前面：前面拉、压一章拉、压一章已讲已讲述述；（4 4）扭：）扭：断开面两侧相互有角度的转动，断开面两侧相互有角度的转动，在截面内有力作用在截面内有力作用 剪力剪力：扭矩转化而来扭矩转化而来。5剪子剪剪子剪与与扭扭的的共同点共同点剪力作用剪力作用；不同点不同点：

4、剪子剪：剪切面剪子剪：剪切面相邻两侧平行错动（上下错动，无转动）相邻两侧平行错动（上下错动，无转动）；扭：剪切面相邻两侧扭：剪切面相邻两侧转动错动（有转动）转动错动（有转动）。可见可见扭转扭转现象同现象同剪切剪切相关，本章研究对象。相关，本章研究对象。6扭转：扭转：外力的合力为一力偶力偶，且力偶的作用面作用面为为横截面横截面（与直杆的轴线垂直），杆发生的变形为扭转变形扭转变形。作用效果是使截面转动转动、产生角位移、产生角位移！轴力是使截面移动、产生线位移位移。)3.1 3.1 概念与实例概念与实例 轴：轴：工程中以扭转扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。(拉压为主要变

5、形的构件为拉压为主要变形的构件为杆杆！弯曲为！弯曲为梁梁！)ABOMeMeOBA 力偶：力偶：两个两个大小相等，作用线不重合大小相等，作用线不重合的的反向平行力。反向平行力。7ABOMeMeOBA扭转角扭转角：轴上任意两截面两截面绕轴线转动而发生的角位移角位移之差（即：之差（即：错动的角度）错动的角度）。PS:PS:就就是是两个两个横截面的横截面的相对相对转角转角!【一个横截面没有【一个横截面没有】如果：如果：A A、B B之间的所有截面圆之间的所有截面圆绝对转角都相等，则绝对转角都相等，则 为零为零，就是就是旋转，而不是扭转！旋转，而不是扭转！A A、B B之间的所有截面圆之间的所有截面圆

6、都不相等都不相等！8工工 程程 实实 例例见课本图3.1、图3.2Meme常见扭转现象：扭水龙头；用钥匙扭转开门；汽车的方向盘工常见扭转现象：扭水龙头；用钥匙扭转开门；汽车的方向盘工 作；自行车的脚蹬工作；等等。作；自行车的脚蹬工作；等等。力偶的作用面作用面为横截面横截面！9MemeMe 雨篷板 雨篷梁建筑物实例：建筑物实例：建筑物中：存在扭矩，就存在扭转！建筑物中：存在扭矩，就存在扭转！103.2 3.2 传动轴的外力偶矩传动轴的外力偶矩扭矩及扭矩图扭矩及扭矩图 一、传动轴的外力偶矩（外力）：一、传动轴的外力偶矩（外力）：传动轴的传递功率传递功率、转速转速与外力偶矩外力偶矩的关系：如某传动轴

7、的传传递递功功率率为为，转转速速为为,求该轴上作用的外外力力偶偶矩矩Me？作用在轴上的外力偶矩Me在在每每秒秒钟钟内内完完成成的的功功应等于给给轴轴输输入的功入的功：P 功率，千瓦（功率，千瓦（kW）n 转速，转转速，转/分（分（rpm）=9550 P/n（Nm）力力偶偶矩矩Me所所做做的的功功为为Me乘于弧度！乘于弧度！11BA电动机轴转动1分钟力偶所作的功为：电动机每分钟所作的功为式中n 为转速（r/min），P 为功率（kW），Me为外力偶矩（Nm）。具体推导过程：具体推导过程：得：PS：能量守恒，忽略：能量守恒，忽略摩擦、发热等消耗！摩擦、发热等消耗！12截截：设想将杆件沿nn截面截成

8、两段，取取：取左段为脱离体。那么nn截面上必有一内力偶作用。平平：由静力平衡方程Mx=0，代代：得T=Me 二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图 1 1 扭矩扭矩(torque)：构件受扭时，横截面上的内力偶矩内力偶矩，记作T T。2 2 截面法截面法求扭矩求扭矩:MeMeMeTx截面四步法截面四步法133 3 扭矩的正负号规定：扭矩的正负号规定：右手螺旋右手螺旋法法则则：大拇指向外即为正！大拇指向外即为正！反之为反之为负。负。PS:PS:T T为为内力内力偶矩偶矩，不要，不要与与M Me e混淆！混淆！MeTx注意：注意：扭矩是矢量，既有大小，扭矩是矢量，既有大小，也有方向！也有方向！14xT4

9、 4 扭矩扭矩图图：表示各横截面上表示各横截面上扭矩沿杆件轴线变化扭矩沿杆件轴线变化的图线的图线。目目 的的扭矩变化规律变化规律；|T|max值及其截面位置截面位置 强度计算强度计算（危险截面）。例前轴的扭矩图如下：MeMeMeTxPSPS：同一外力偶矩区间，扭矩相等！：同一外力偶矩区间，扭矩相等！15例例1已知：一传动轴，n=300 r/min，主动轮主动轮输入 P1=500 kW，从动轮从动轮输出 P2=P3=150 kW，P4=200 kW，试绘制扭矩图。nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4解：解：计算外力偶矩计算外力偶矩PS：注意分清外力偶矩的方向！：注意分清外力偶矩的方向！

10、主动轮与从动轮外力偶矩主动轮与从动轮外力偶矩大大小相等、方向相反小相等、方向相反！16nA B C DMe2 Me3 Me1 Me4112233求扭矩求扭矩-内力内力（根据（根据轴的旋转方向轴的旋转方向判断扭矩的正负）判断扭矩的正负）PS:PS:同一外力偶矩区间同一外力偶矩区间,内力偶矩内力偶矩T T（扭矩）相等（扭矩）相等!PSPS：注意判断扭矩的正负！：注意判断扭矩的正负！17绘制扭矩图绘制扭矩图BC段为危险截面。段为危险截面。（因为是等直轴）（因为是等直轴）x T(kN.m)nA B C DMe2 Me3 Me1 Me44.789.566.37PSPS：注意判断：注意判断扭矩的正负！扭矩

11、的正负！18课堂作业课堂作业:课本第课本第10101 1页的页的3.1(C)3.1(C)题题。本次课本次课没有课外作业没有课外作业。19回顾上章的内容：回顾上章的内容：1.扭转的概念：扭转的概念：外力的合力为一对力偶力偶，且力偶的作用面作用面为横横截面截面，杆发生的变形为扭转变形扭转变形；2.扭转角（扭转角（）是是两侧横截面圆两侧横截面圆的的相对转角相对转角!轴线上所有截面轴线上所有截面圆圆扭转角都不相等，扭转角都不相等，但与轴向距离成但与轴向距离成线形关系线形关系，两端最大！两端最大！3.传动轴的传动轴的扭矩扭矩及及扭矩图扭矩图;2.4.截面四步法求扭矩截面四步法求扭矩;3.外力偶矩的求法外

12、力偶矩的求法:4.6.判断扭矩（内力偶矩）方向判断扭矩（内力偶矩）方向的方法。的方法。一个一个横截面圆横截面圆只有旋转角，没有扭转角！只有旋转角，没有扭转角！两两个个横截面圆横截面圆才有扭转角才有扭转角相对转角相对转角！20(1)纵向线（纵向线（纵向纤维纵向纤维)，(2)圆周线（圆周线（横截面横截面圆环圆环)。3.3 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚（r0：为平均半径平均半径）一、受扭转实验：一、受扭转实验：加载前的加载前的几何模型：几何模型：关键问题：关键问题：忽略半径对剪应力的影响！忽略半径对剪应力的影响！加载后的加载后的几何模型：几何模型：圆周线圆周线(环向环向)不

13、变（无轴不变（无轴 向偏移，仍为向偏移，仍为平面平面圆环）圆环）;纵向线纵向线(轴向轴向)变成变成斜直线斜直线。(仍为仍为直线直线，轻微倾斜，轻微倾斜,小变形小变形)薄壁圆桶的假设薄壁圆桶的假设213.结论：结论：圆筒表面的各圆周线圆周线的形状形状、半径、半径大小大小和间距间距均未改变未改变，只是绕轴线作了相对转动。相对转动。各纵向线纵向线均倾斜了同一微小角度同一微小角度 （切应变（切应变相同相同）。）。所有矩形网格均歪斜歪斜成同样大小的平行四边形平行四边形。2.整个圆筒内，具有整个圆筒内，具有相同切相同切应变，应变，相等切相等切应力！应力！1.没有拉长和缩短，即没有拉长和缩短，即无线无线应变

14、应变，无正应力！，无正应力！4.推推论：论：22推论推论:无正应力无正应力（拉压应力）（拉压应力）（6个面上个面上均无正应力均无正应力）；）；只有切应力切应力 （4个面上个面上有切应力，有切应力，另外另外2个面上个面上无切应力无切应力）。方向方向：与截面扭矩一致一致，圆环面圆环面上任何一点的切应力切应力都垂直于垂直于 该点的半径该点的半径；薄壁上薄壁上微小矩形单元体微小矩形单元体如图所示：如图所示：acddxbdy 特点特点：均匀分布均匀分布，沿周向、大小不变沿周向、大小不变（根据薄壁圆桶的假设）（根据薄壁圆桶的假设）。23斜面上是斜面上是存在正应力存在正应力的！的！如果没有正应力，以上结构如

15、果没有正应力，以上结构不能平衡不能平衡！24m横截面横截面无正应力无正应力；只有切应力切应力，方向方向：由横截面扭矩方向确定，垂直于半径，且平行于轴向平行于轴向；特点特点：均匀分布，沿轴向大小不变。薄壁圆桶薄壁圆桶纵截面纵截面切应力分析：切应力分析：mmnnm纵截面纵截面后段后段（请分析！）（请分析！）r0 oommnn后半段后半段前半段前半段254.与与 的关系：的关系：PS：特别注意：切应变特别注意：切应变是是 而而不是不是 ！26应变是反映应变是反映形变程度形变程度的量！的量！切应变应该反映切应变应该反映整根轴整根轴的剪切形变程度！的剪切形变程度！（1）假设两根长度分别为）假设两根长度分

16、别为10米和米和1厘米的轴，一端固定，另一厘米的轴，一端固定，另一 端都旋转端都旋转90o；（2）沿轴向每）沿轴向每1厘米分为厘米分为1个单元，这样，个单元，这样，10米的轴每个单元两米的轴每个单元两 侧相对错动侧相对错动90o/1000，而，而1厘米的轴只有一个单元，两侧厘米的轴只有一个单元，两侧 相对错动相对错动90o/1，转角都是，转角都是900，哪个变形更严重？哪个变形更严重？（3）显然，形变和相对转角有关，也和轴的长度有关！）显然，形变和相对转角有关，也和轴的长度有关！所以：所以：比比 更能够反映形变的程度，切应变更能够反映形变的程度，切应变是是 而而不是不是 ！为什么切应变为什么切

17、应变是是 而而不是不是？27物理图象：物理图象：剪切剪切应力应力均匀地分布均匀地分布在圆环形横截面上在圆环形横截面上！大小大小处处相等！处处相等！PS：下一节将讲到：在半径方向：下一节将讲到：在半径方向 在整个截面上在整个截面上处处不相等！如处处不相等！如右右图：图：扭转扭转拉压拉压28二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 大小：大小：A0：平均半径平均半径所作圆的面积。PS：T是是内力偶矩，是内力内力偶矩，是内力,而而 是是应力应力。PS：公式太多公式太多,死记硬背太困难死记硬背太困难,关键是要关键是要理解其原理理解其原理!课后自己再次完成推导！课后自己再次完成推导！应力是内力应力是内力的分

18、担者！的分担者！29三、切应力互等定理：三、切应力互等定理：上式称为切应力互等定理为切应力互等定理。(切记:无正应力无正应力!)在相互垂直的两个平面上，切应力必然在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，成对出现，且且大小相等，大小相等，两者都两者都垂直于垂直于两平面的交线，其方向则两平面的交线，其方向则共同指向共同指向或或共同背离共同背离该交该交线。线。PS:否则小立方体就会旋转否则小立方体就会旋转,不能成平衡体不能成平衡体！acddxbdy xyz30请思考：请思考：不是立方体切应力不是立方体切应力互等定理互等定理还有效吗还有效吗？PS:仍然成立！仍然成立！小单元小单元总是一个平衡体，与

19、如总是一个平衡体，与如何取的单元无关！何取的单元无关！acddxbdy acddxbdy =.=.=所以：仍有 )()(0dy2dxt2dxdytmz此切应力不能再考虑！此切应力不能再考虑！（已转化为内力）（已转化为内力）31课堂作业课堂作业:推导推导切应力互等定理切应力互等定理。acddxbdy xyz32切应力切应力与正应力的区别与正应力的区别？（1）正应力是）正应力是垂直于截面垂直于截面的力，而切应力是的力，而切应力是在截面之内在截面之内的力；的力；（2）正应力的效果是在力的方向产生）正应力的效果是在力的方向产生拉压形变拉压形变，切应力是在力，切应力是在力 的方向产生的方向产生角度的错动

20、角度的错动。acddxbdy 拉应力引拉应力引起的伸长起的伸长33四、剪切胡克定律：四、剪切胡克定律：与与T到底有什么关系？到底有什么关系？单元体的四个侧面上单元体的四个侧面上只有切应力只有切应力而无正应力作用，这而无正应力作用，这种情况称为种情况称为纯剪切。纯剪切。再次提醒：切应变再次提醒：切应变是是 (相当于相当于=L/L)而而不是不是 (相当于相当于L)！34 T=Me剪切胡克定律：剪切胡克定律：当切应力不超过材料的当切应力不超过材料的剪切比例极限剪切比例极限时（时（p)，切应力切应力与与切应变切应变成正比。即：成正比。即：PS：请与请与拉压胡克定律拉压胡克定律对照记忆！对照记忆！薄壁圆

21、桶纯剪切薄壁圆桶纯剪切实验证明：实验证明：G为斜率！为斜率！斜率为斜率为G35剪切胡克定律：剪切胡克定律：G是材料的一个弹性常数弹性常数，称为剪切弹性模量剪切弹性模量，因 无量纲无量纲，(1)G的量纲与 相同；(2)不同材料的G值不同，钢材的G值约为80 GPa。斜率为斜率为G斜率为斜率为EPS：与与拉应力拉应力和和拉压弹性模量拉压弹性模量E也也相同，相同，是压强的概念！是压强的概念！36 剪切弹性模量剪切弹性模量、弹性模量弹性模量和泊松比泊松比-材料弹性性质的三个常数。关系为：知道任意两个，可求出第三个量。剪切比例极限比例极限(弹性阶段弹性阶段)；剪切屈服极限屈服极限(塑性阶段塑性阶段)；剪

22、切强度极限强度极限(破坏阶段破坏阶段)。剪切胡克定律只是弹性阶段弹性阶段，做纯剪切实验可以得到：图 37 1.1.横截面变形后横截面变形后仍为平面仍为平面（截面无轴向（截面无轴向 突起，无轴向正应力）；突起，无轴向正应力）；2.2.轴向轴向无伸缩无伸缩（无轴向正应力）；（无轴向正应力）；3.3.纵向线变形后纵向线变形后仍为平行线仍为平行线（同一半径（同一半径 表面具有表面具有相同的应变相同的应变）。）。3.4 3.4 等直圆轴在扭转时的应力等直圆轴在扭转时的应力强度条件强度条件等直圆轴等直圆轴横截面切应力横截面切应力变形几何变形几何关系；关系；物理物理关系；关系；静力静力关系。关系。一、等直圆

23、轴扭转一、等直圆轴扭转实验观察实验观察：38二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：1.1.变形几何关系（应变变形几何关系（应变与位置的关系）与位置的关系）：距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的切应变切应变 与与 成正比成正比。（圆心处为（圆心处为0，半径处最大！），半径处最大！）切应变：切应变：扭转角 沿轴线的变化率。PS：同一横截面圆上同一横截面圆上不同半径处的不同半径处的 也相等，为固定值，也相等，为固定值，但应变但应变却不等却不等！392.2.物理关系（应力物理关系（应力与与应变应变的关系）：的关系）：剪切胡克定律剪切胡克定律：代入上式得：Ps：剪切应力：

24、剪切应力与半径与半径 成正比成正比!前面的薄壁圆桶前面的薄壁圆桶只是只是取近似！取近似！剪应力剪应力与与半径成正比！半径成正比！边缘处边缘处最大，最大，轴心轴心处为处为0 0！PS：应力应力等于等于模量模量乘于乘于应变应变！40 物理图象物理图象：注意：是截去的注意：是截去的前半部分前半部分对留下的对留下的后半部分后半部分的的作用力！作用力！o纵截面纵截面（留下的后半部分）（留下的后半部分）o横截面横截面左左右右41:横截面横截面对圆心圆心的极惯性矩极惯性矩。PS：应力应力和内力内力关系式中不出现模量不出现模量;应力应力和应变应变关系涉及到形变形变，才出现模量模量！3.3.静力学关系（应力静力

25、学关系（应力与与内力内力的关系）：的关系）：令由物理关系式物理关系式OdA（polar moment of inertia）42横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一点处任一点剪应力剪应力计算公式。计算公式。4.公式讨论：公式讨论：适用于等截面圆轴在线弹性线弹性范围内的范围内的小变形小变形；式中：式中：T横截面上的扭矩扭矩，由截面法截面法通过外力偶矩求得；该点到圆心的距离（该点（该点半径半径）；）；Ip极惯性矩极惯性矩，纯几何量纯几何量，无物理意义。单位：单位：长度长度4 同样适用于等直空心圆轴等直空心圆轴，也近似适用于截面沿轴线变化缓慢的小锥度圆轴小锥度圆轴。43对于实心实心圆截面：DdO

26、PS:请课后推算，并牢记！请课后推算，并牢记！对于空心空心圆截面：dDOd44应力分布：应力分布：（实心实心圆截面）（空心空心圆截面）Ps：轴心附近剪应力很小，工程上采用空心截面构件空心截面构件：节约材节约材 料料，减轻重量减轻重量，应用广泛。45显然，在最外表面r处 剪应力剪应力最大。最大。问题提出：问题提出：半径分别为半径分别为1米米和和10米米的两根实心圆轴在同一扭矩的两根实心圆轴在同一扭矩T作用下，作用下，谁的谁的最大剪应力大最大剪应力大？1米的轴米的轴！千万别忘记了千万别忘记了这个值的存在！这个值的存在！46课堂作业课堂作业:推导推导实心圆轴上横截面上距圆心为横截面上距圆心为 处任一

27、点处任一点剪应剪应力力计算公式计算公式 。47Wt 抗扭截面系数抗扭截面系数(几何参量),求最外最外边沿边沿的最最大剪应力大剪应力才出现！确定最大剪应力确定最大剪应力：由知：当对于实心圆实心圆截面：对于空心圆空心圆截面：不是 ，请课后推导请课后推导！单位：长度长度3。48 称为许用许用切应力。三、圆轴扭转时的强度计算：三、圆轴扭转时的强度计算：强度条件：强度条件：（1）对于对于等截面等截面圆轴：圆轴：r最大切应力在最大切应力在截面边缘截面边缘；（2 2）对）对变截面变截面圆轴圆轴:ABCmm相同扭矩作用下，相同扭矩作用下，直径最小的轴剪应直径最小的轴剪应力最大，最危险！力最大，最危险！49 例

28、例2 2 功率为150 kW，转速为924 转/分的电动机转子轴如图，许用切应力=30 M Pa,试校核其强度校核其强度。解：解：计算扭矩计算扭矩计算并校核切应力强度校核切应力强度，70 mm段最不安全最不安全，因为W Wt t最小最小！此轴满足强度要求满足强度要求。D3=135D2=75 D1=70ABCmm50强度计算强度计算三方面三方面：校核强度强度：设计截面尺寸截面尺寸：计算许可载荷许可载荷：51扭转的刚度（变形）问题扭转的刚度（变形）问题校核形变校核形变：单位长度的转角单位长度的转角问题。问题。3.5 3.5 等直圆轴扭转时的变形等直圆轴扭转时的变形刚度条件刚度条件对拉压：对拉压：扭

29、转的刚度（变形）问题怎么解决？通常要求的是：扭转的刚度（变形）问题怎么解决？通常要求的是：两侧的相对转角两侧的相对转角在许可范围内在许可范围内。因此：刚度的校核转化为因此：刚度的校核转化为需要通过需要通过应变应变求求转角，校核转角转角，校核转角！52一、扭转时的变形：一、扭转时的变形：长为长为l的一段轴两截面间相对扭转角的一段轴两截面间相对扭转角 为：又比较比较比较比较得：得：及及值不变）若 dT,(GIT Pl=dGIT d0pxll=*阶梯扭矩、阶梯截面阶梯扭矩、阶梯截面：radrad，而不，而不，而不，而不是角度！是角度！是角度！是角度！53二、单位长度扭转二、单位长度扭转 角（角（化为

30、单位长度上的扭转角（化为单位长度上的扭转角（rad/m)）：）：三、刚度条件三、刚度条件（单位扭转角（单位扭转角 的的最大值最大值许用值许用值！）！）：GIp反映了轴抵抗扭转变形抵抗扭转变形的能力，称为轴的抗扭刚度抗扭刚度。（Wt为抗扭截面系数抗扭截面系数。）“EA”称为杆的称为杆的抗拉（压）刚度抗拉（压）刚度。许用单位长度扭转角。许用单位长度扭转角。（工程习惯用的单位）（工程习惯用的单位）54刚度计算的三方面：刚度计算的三方面：校核刚度校核刚度：设计截面尺寸设计截面尺寸：计算许可载荷计算许可载荷：PS：三者相互关联，相互求证！：三者相互关联，相互求证！55 例例3 3 长为L=2 m的空心圆

31、轴受均布力偶m=20 N.m/m的作用，如图，若轴的内外径之比为=0.8，G=80 GPa，许用切应力=30 MPa，试设计轴的外径设计轴的外径；并求右端面转角求右端面转角。（分析：有有强度要求，而无刚度要求！强度要求，而无刚度要求！）解：解：设计轴的外径设计轴的外径：校核举例：校核举例：56代入数值得：D 0.0226 m，取D=23 mm，(不是唯一值不是唯一值)。40NmxT()取D=23 mm，算出Ip值，则右端面转角为：T()=40 20 Tmax=40 Nm57解解：（1）画轴的扭矩图，如左下图所示。可知，圆轴中的最大扭矩发生在AB和BC段，绝对值为4.5 kNm。例例4 4 装有

32、四轮的一根实心圆轴,已知；Me1=1.5 kNm，Me2=3 kNm，Me3=9 kNm，Me4=4.5 kNm；材料的切变模量G=80 GPa，许许用用切切应应力力=80 MPa，单单位位长长度度许许可可扭扭转转角角=0.005 rad/m。（1）设计轴的直径D；（2）若轴的直径D0=105 mm，试计算全轴的相对扭转角。（分析：既既有有强强度度要要求求，也也有有刚刚度度要求！要求！）4.5kNmT图1.5kNm4.5kNm+DCBAMe2Me1Me3Me40.8m1.0m1.2m58（2 2）设计轴的直径：）设计轴的直径：根据根据强度条件强度条件：可以得到轴的直径为可以得到轴的直径为根据根

33、据刚度条件刚度条件：可得轴的直径为：可得轴的直径为：该轴该轴既要满足既要满足强度条件，强度条件，又要满足又要满足刚度条件，所以轴直径应选刚度条件，所以轴直径应选D D=103 mm=103 mm。59（3 3）全轴的相对扭转角全轴的相对扭转角计算：计算：选用轴的直径选用轴的直径D D0 0=105 mm=105 mm，其，其极惯性矩极惯性矩为：为：全轴的相对扭转角为：全轴的相对扭转角为：DCBAMe2Me1Me3Me40.8m1.0m1.2m注意正负注意正负!60课外作业课外作业:课本课本100页页3.6，101页页3.2，3.3，3.8，共，共4题，下周题，下周四四上课前交。上课前交。课堂作

34、业课堂作业:课本第课本第100页的页的3.4(a)、(b)、(c)题。题。611.剪切胡克定律剪切胡克定律：3.截面任意一点的截面任意一点的剪应力剪应力：2.截面任意一点的截面任意一点的应变应变：4.截面上最大的截面上最大的剪应力剪应力：内容回顾：内容回顾：5.校核强度校核强度：6.6.两截面间相对扭转角两截面间相对扭转角：(radrad，而不是角度，而不是角度，而不是角度，而不是角度)GIT Pl=dGIT d0pxll=62500400P1P3P2ACB 例例55 某传动轴设计要求转速n=500 r/min,输入功率P1=368 kW,输出功率分别P2=148 kW及P3=220 kW,已

35、知：G=80 GPa,=70 M Pa(强度要求强度要求!)，=1/m(刚度要求刚度要求!),试确定：AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2？若全轴选同一直径全轴选同一直径，应为多少？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：扭矩如图，由强度条件强度条件得：x(kN.m)T 7.03 4.2()()63由刚度条件刚度条件得：AB段:BC段:64 综上：如果全轴选同一直径时全轴选同一直径时:BC段:AB段:取大值取大值!65主动轮与从动轮的合理安排：主动轮与从动轮的合理安排：轴上最大最大扭矩扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位成下图。换位后,轴的扭矩如图所示,此时,轴的最大直径才为 75 mm。

36、4.2Tx(kNm)2.8()()500400P2P3P1ACB663.6 3.6 等直圆轴的扭转超静定问题等直圆轴的扭转超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：外力平衡外力平衡方程；方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程物理方程；解由解由外力平衡外力平衡方程和方程和补充方程组成补充方程组成的方程组的方程组。67 例例66长为 L=2 m 的圆杆受均布力偶 m=20 Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为=0.8，外径 D=22.6 mm，G=80 GPa，试求固定端反力偶

37、固定端反力偶。解解：杆的受力图如图示，这是一次超静定一次超静定问题问题。外力外力平衡平衡方程为：几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程：68综合物理方程物理方程与几何方程几何方程，得补充方程补充方程：由外力平衡方程外力平衡方程得：另外另外:此题可由对称性直接求得结果由对称性直接求得结果。也可通过叠加法叠加法求解:mA与均布力偶m两个转角叠加等于0。又又69非圆截面等直杆的自由扭转简介非圆截面等直杆的自由扭转简介非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学弹性力学方法求解。70 请课后总结：请课后总结：比较比较拉压拉压与与扭转扭转：几何模型、物理模型、几何模型、物理模型、应力应力与与应变应变的的公式公式等！等！7172