积分变换第二章课件3.ppt

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1、四、小结四、小结一、问题的提出二、Laplace反演积分公式三、Laplace反演积分的计算方法第第3 3页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3 3页页一、问题的提出一、问题的提出 在前面主要讨论了由已知函数在前面主要讨论了由已知函数 f(t)求它的求它的象函数象函数 F(s),但在实际应用中常会碰到与此相但在实际应用中常会碰到与此相反的问题反的问题,即已知象函数即已知象函数F(s)求它的象原函数求它的象原函数 f(t).本节来解决这个问题本节来解决这个问题.第第4 4页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4

2、 4页页 由由LaplaceLaplace变换的概念可知变换的概念可知,函数函数 f(t)的的LaplaceLaplace变换实际上就是变换实际上就是 f(t)u(t)e-b b t t的的FourierFourier变换变换.当当f(t)u(t)e-b b t t满足满足FourierFourier积分定理的条积分定理的条件时件时,按按FourierFourier积分公式积分公式,在在 f(t)的连续点处的连续点处有有二、二、LaplaceLaplace反演积分公式反演积分公式第第5 5页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5 5页页等式两边同乘以等

3、式两边同乘以 e b b t,并考虑它与积分无关并考虑它与积分无关,则则二、二、LaplaceLaplace反演积分公式反演积分公式第第6 6页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页Laplace Laplace 反演积分公式反演积分公式二、二、LaplaceLaplace反演积分公式反演积分公式第第7 7页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页 右端的积分称为右端的积分称为LaplaceLaplace反演积分反演积分,它的积分它的积分路线是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚路线是沿着虚轴的方

4、向从虚部的负无穷积分到虚部的正无穷部的正无穷.而积分路线中的实部而积分路线中的实部b b则有一些随意则有一些随意,但必须满足的条件就是但必须满足的条件就是e e-b-bt tf(t)u(t)的零到正无的零到正无穷的积分必须收敛穷的积分必须收敛.计算复变函数的积分通常比计算复变函数的积分通常比较困难较困难,但是可以用留数方法计算但是可以用留数方法计算.二、二、LaplaceLaplace反演积分公式反演积分公式第第8 8页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页三、三、LaplaceLaplace反演积分的计算方法反演积分的计算方法定理定理:若若s

5、1,s2,.,s n 是函数是函数F(s)的所有的所有奇点奇点(适当选取适当选取 b b 使这些奇点全在使这些奇点全在Re(s)b b的范围内的范围内),),且当且当s s时时,F(s)0,则有则有第第9 9页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页 如图如图,闭曲线闭曲线C=L+CR,C CR R在在Re(s)0时时,有有得得三、三、LaplaceLaplace反演积分的计算方法反演积分的计算方法第第1313页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313页页 如果函数如果函数F(s)是有理函数是有理函数

6、,即即其中其中A A(s s)和和B B(s s)是不可约的多项式是不可约的多项式,B B(s s)的次的次数是数是n,A A(s s)的次数小于的次数小于B B(s s)的次数的次数,这时这时F F(s s)满满足定理所要求的条件足定理所要求的条件.三、三、LaplaceLaplace反演积分的计算方法反演积分的计算方法第第1414页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页情形情形A:A:若若 有有n个单零点个单零点 即这些都是即这些都是 的单极点的单极点,根据留数的计算方法根据留数的计算方法,有有得得三、三、LaplaceLaplace反演

7、积分的计算方法反演积分的计算方法第第1515页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页情形情形B:B:若若 是是 的一个的一个m阶零点阶零点,是是 的单极点的单极点,即即 是是 的的m阶极点阶极点,是它的单极点是它的单极点.根据留数的计根据留数的计算方法算方法,有有三、三、LaplaceLaplace反演积分的计算方法反演积分的计算方法第第1616页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页三、三、LaplaceLaplace反演积分的计算方法反演积分的计算方法第第1717页页主页主页上一页上一页

8、下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1717页页利用留数方法求利用留数方法求的逆变换的逆变换.有两个单零点有两个单零点得得第第1818页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页利用留数方法求利用留数方法求 的逆变换的逆变换.为单零点，为单零点，为二阶零点为二阶零点.得得第第1919页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页第第2020页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页利用部分分式方法求利用部分分式方法求的逆变换的逆变换

9、.因此因此第第2121页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2121页页利用查表方法求利用查表方法求的逆变换的逆变换.根据附录二中的公式根据附录二中的公式,在在 时时,有有第第2222页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2222页页利用查表方法求利用查表方法求的逆变换的逆变换.在附录二中找不到现成的公式在附录二中找不到现成的公式,怎么办怎么办?根据附录二中的公式根据附录二中的公式,有有第第2323页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2323页页第第2424页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2424页页求求 的逆变换的逆变换.根据附录二中的公式根据附录二中的公式,有有第第2525页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页第第2626页页主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页四、四、小结小结总结求总结求LaplaceLaplace逆变换有哪些方法与途径逆变换有哪些方法与途径.