积分变换第二章课件5.ppt

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1、12四、小结四、小结一、微分、积分方程的一、微分、积分方程的LaplaceLaplace变换解法变换解法三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数二、偏微分方程的二、偏微分方程的LaplaceLaplace变换解法变换解法主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3 3页页第第3 3页页一、微分、积分方程的一、微分、积分方程的LaplaceLaplace变换解法变换解法象原函数象原函数(微分方程的解微分方程的解)象函数的象函数的代数方程代数方程微分方程微分方程象函数象函数取取LaplaceLaplace逆变换逆变换取取LaplaceLaplace变换变换解代

2、数解代数方程方程 首先取首先取LaplaceLaplace变换将微分方程化为象函数的变换将微分方程化为象函数的代数方程代数方程,解代数方程求出象函数解代数方程求出象函数,再取再取LaplaceLaplace逆变换得最后的解逆变换得最后的解.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4 4页页第第4 4页页求方程求方程 满足初始条件满足初始条件的解的解.设方程的解设方程的解且设且设对方程的两边取对方程的两边取LaplaceLaplace变换变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5 5页页第第5 5页页整理得整理得变

3、形得变形得取逆变换得取逆变换得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6 6页页第第6 6页页求方程求方程 满足边值条件满足边值条件的解，的解，其中其中 为已知常数为已知常数.设方程的解设方程的解且设且设对方程的两边取对方程的两边取LaplaceLaplace变换变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第7 7页页第第7 7页页整理得整理得取逆变换得取逆变换得下面确定下面确定令令得得得得故得故得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第8 8页页第第8 8页页求方程求方程 满足初始

4、条件满足初始条件的解的解.对方程的两边取对方程的两边取设设LaplaceLaplace变换变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第9 9页页第第9 9页页整理得整理得即即变形得变形得(分离变量法分离变量法)主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1010页页第第1010页页得得下面确定下面确定令令得得积分得积分得取逆变换得取逆变换得得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1111页页第第1111页页求积分方程求积分方程的解的解.其中其中 为定义在为定义在 的已知函数的已知函

5、数.设设对方程的两边取对方程的两边取LaplaceLaplace变换变换,得得 主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1212页页第第1212页页整理得整理得如果令如果令由反演积分公式由反演积分公式主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1313页页第第1313页页 质量为质量为m的物体挂在弹性系数为的物体挂在弹性系数为k的弹簧一端的弹簧一端,作用在物体上的外力为作用在物体上的外力为 .若物体从静止平衡位置若物体从静止平衡位置 处开始运动处开始运动,求该物体的运动规律求该物体的运动规律 .（NewtonNewton定律）

6、定律）物体运动的微分方程为：物体运动的微分方程为：且且主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1414页页第第1414页页设设得得记记则则主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1515页页第第1515页页得得 主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1616页页第第1616页页 如图所示的如图所示的 串联电路串联电路,若外加电动若外加电动势为正弦交流电压势为正弦交流电压 ,求开关闭合后求开关闭合后,回路中电流回路中电流 及电容器及电容器两端电压两端电压 .根据根据irchhoffirc

7、hhoff定律，有定律，有其中其中主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1717页页第第1717页页得得对方程的两边取对方程的两边取LaplaceLaplace变换变换,得得设设且且主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1818页页第第1818页页得得的一阶极点的一阶极点即即主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第1919页页第第1919页页.,.得得化简得化简得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2020页页第第2020页页,主页主页上一页上

8、一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2121页页第第2121页页.,令令则则主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2222页页第第2222页页因为过渡电流因为过渡电流，所以，所以主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2323页页第第2323页页 在在 电路中串接直流电源电路中串接直流电源 ,求开求开关闭合后关闭合后,回路中电流回路中电流 .请同学们仿例请同学们仿例6 6解答解答!主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2424页页第第2424页页求方程组求方程

9、组的解的解.满足初始条件满足初始条件设设得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2525页页第第2525页页化简得化简得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2626页页第第2626页页解得解得由由得得有两个二级极点：有两个二级极点：由由主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2727页页第第2727页页因此因此主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第2828页页第第2828页页故故主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换

10、积分变换第第2929页页第第2929页页小结：小结：用用LaplaceLaplace变换求线性微分、积分方程及其方变换求线性微分、积分方程及其方 程组的解时，有如下的优点：程组的解时，有如下的优点：）在求解的过程中，初始条件能同时用上，）在求解的过程中，初始条件能同时用上，求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分求出的结果就是需要的特解，这样就避免了微分方程的复杂运算方程的复杂运算.）零初始条件在工程技术中是十分常见的，）零初始条件在工程技术中是十分常见的，由上一个优点可知，用由上一个优点可知，用LaplaceLaplace变换求解就显得更变换求解就显得更加简单，而在微分方程的一般解法中不会

11、因此而加简单，而在微分方程的一般解法中不会因此而有任何变化有任何变化.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3030页页第第3030页页小结：小结：3 3）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐）对于一个非齐次的线性微分方程来说，当齐次项不是连续函数，而是包含次项不是连续函数，而是包含 函数或有第一类间断函数或有第一类间断点的函数时，用点的函数时，用LaplaceLaplace变换求解没有任何困难，而变换求解没有任何困难，而用微分方程的一般解法就会困难得多用微分方程的一般解法就会困难得多.4 4）用）用LaplaceLaplace变换求解线性微分、积分方程

12、组，变换求解线性微分、积分方程组，比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独比微分方程组的一般解法要简便得多，而且可以单独求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，求出某一个未知函数，而不需要知道其余的未知函数，这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的这在微分方程组的一般解法中通常是不可能的.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3131页页第第3131页页利用利用LaplaceLaplace变换求解定解问题变换求解定解问题:二、偏微分的二、偏微分的LaplaceLaplace变换解法变换解法主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变

13、换积分变换积分变换第第3232页页第第3232页页对方程的两边关于对方程的两边关于t取取LaplaceLaplace变换变换,设设得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3333页页第第3333页页问题转化为求解常微分方程的边值问题问题转化为求解常微分方程的边值问题:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3434页页第第3434页页得方程的通解为得方程的通解为:代入边界条件得代入边界条件得得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3535页页第第3535页页对上式取对上式取Lap

14、laceLaplace逆变换逆变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3636页页第第3636页页利用利用LaplaceLaplace变换求解定解问题变换求解定解问题:其中其中 均为常数均为常数.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3737页页第第3737页页对方程的两边关于对方程的两边关于t取取LaplaceLaplace变换变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3838页页第第3838页页问题转化为求解常微分方程的边值问题问题转化为求解常微分方程的边值问题:

15、得方程的通解为得方程的通解为:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第3939页页第第3939页页由边界条件得由边界条件得得得对上式取对上式取LaplaceLaplace逆变换逆变换,得得余误差函数余误差函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4040页页第第4040页页利用利用LaplaceLaplace变换求解定解问题变换求解定解问题:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4141页页第第4141页页取取LaplaceLaplace变换变换,设二元函数设二元函数由微分性质得由微

16、分性质得对定解问题关于对定解问题关于x主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4242页页第第4242页页问题转化为求解常微分方程的初值问题问题转化为求解常微分方程的初值问题:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4343页页第第4343页页得方程满足初始条件的解为得方程满足初始条件的解为:得定解问题的解为得定解问题的解为:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4444页页第第4444页页利用利用LaplaceLaplace变换求解定解问题变换求解定解问题:主页主页上一页上一页下一页

17、下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4545页页第第4545页页对定解问题关于对定解问题关于t取取LaplaceLaplace变换变换,记记主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4646页页第第4646页页定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微定解问题转化为含参数的二阶常系数线性微分方程的边值问题分方程的边值问题:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4747页页第第4747页页得通解为得通解为:代入边界条件得代入边界条件得得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4

18、848页页第第4848页页对上式取对上式取LaplaceLaplace逆变换逆变换,得得主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第4949页页第第4949页页利用利用LaplaceLaplace变换求解定解问题变换求解定解问题:课堂练习课堂练习:请同学们仿例请同学们仿例1212解答解答!主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5050页页第第5050页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数1.1.线性系统的激励和响应线性系统的激励和响应这是一个一阶常系数线性微分方程这是一个一阶常系数线性微分方程.一个线性系统可以用一

19、个常系数线性微分方一个线性系统可以用一个常系数线性微分方程来描述程来描述.例如例例如例6 6中的中的RC串联电路串联电路,电容器两端电容器两端的电压的电压u C(t)所满足的关系式为所满足的关系式为主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5151页页第第5151页页2.2.激励和响应的概念激励和响应的概念三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数 在上述一阶常系数线性微分方程中在上述一阶常系数线性微分方程中,通常将外通常将外加电动势加电动势e(t)看成是这个系统的随时间看成是这个系统的随时间t变化的输入变化的输入函数函数,称为激励称为激励,而把电容两端的电

20、压而把电容两端的电压u C(t)看成是看成是这个系统的随时间这个系统的随时间t变化的输出函数变化的输出函数,称为称为响应响应.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5252页页第第5252页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数 这样的这样的 RC 串联的闭合串联的闭合回路就可以看成是一个回路就可以看成是一个有输入端和输出端的线性系统有输入端和输出端的线性系统,如下图所示如下图所示.而虚而虚线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接线框中的电路结构决定于系统内的元件参量和连接方式方式.这样一个线性系统这样一个线性系统,在电路理论中又称为线在电路理

21、论中又称为线性网络性网络(简称网络简称网络).).一个系统的响应是由激励函数一个系统的响应是由激励函数与系统本身的特性所决定与系统本身的特性所决定.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5353页页第第5353页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5454页页第第5454页页3.3.传递函数的概念的引入传递函数的概念的引入三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数 对于不同的线性系统对于不同的线性系统,即使在同一激励下即使在同一激励下,其响应也是不同的其响应也是不同的.

22、在分析线性系统时在分析线性系统时,我们我们并不关心系统内部的各种不同的结构情况并不关心系统内部的各种不同的结构情况,而而是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联是要研究激励和响应同系统本身特性之间的联系系,可绘出如下图所示的情况表明它们之间的可绘出如下图所示的情况表明它们之间的联系联系,为了描述这种联系需要引进传递函数的为了描述这种联系需要引进传递函数的概念概念.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5555页页第第5555页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5656页

23、页第第5656页页4.4.传递函数的概念传递函数的概念其中其中 均为常数均为常数,m,n为正整数为正整数,n m.假设有一个线性系统假设有一个线性系统,在一般情况下在一般情况下,它的激它的激励励x(t)与响应与响应y(t)可用下列微分方程表示可用下列微分方程表示:三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5757页页第第5757页页L L a k y(k)=akskY(s)-aksk-1y(0)+.+y(k-1)(0)设设L L y(t)=Y(s),L L x(t)=X(s),则则三、线性系统的传递函数三、线性系统的

24、传递函数L L b k x(k)=bkskX(s)-bksk-1x(0)+.+x(k-1)(0)(k=0,1,.,n)(k=0,1,.,m)主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第5858页页第第5858页页两边取两边取LaplaceLaplace变换并通过整理变换并通过整理,可得可得D(s)Y(s)Mh y(s)=M(s)X(s)M h x(s)三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数其中其中 D(s)=ansn+an-1sn-1+.+a1s+a0M(s)=bmsm+bm-1sm-1+.+b1s+b0主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分

25、变换积分变换积分变换第第5959页页第第5959页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数M h y(s)=any(0)sn-1+any(0)+an-1y(0)sn-2+.+any(n-1)(0)+.+a2y(0)+a1y(0)M h x(s)=bmx(0)sm-1+bmx(0)+bm-1x(0)sm-2+.+bmx(m-1)(0)+.+b2x(0)+b1x(0).则则主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6060页页第第6060页页三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数称称G(s)为为系统的传递函数系统的传递函数.如如Gh(s)=0,则则其中

26、其中主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6161页页第第6161页页 在零初始条件下在零初始条件下,系统的传递函数等于其系统的传递函数等于其响应的响应的LaplaceLaplace变换与其激励的变换与其激励的LaplaceLaplace变换之变换之比比.当我们知道了系统的传递函数以后当我们知道了系统的传递函数以后,就可就可以由系统的激励求出其响应的以由系统的激励求出其响应的LaplaceLaplace变换变换,再再求逆变换可得其响应求逆变换可得其响应y(t).三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分

27、变换积分变换积分变换第第6262页页第第6262页页 传递函数不表明系统的物理性质传递函数不表明系统的物理性质,许多性许多性质不同的物理系统质不同的物理系统,可以有相同的传递函数可以有相同的传递函数.三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6363页页第第6363页页假设某个线性系统的传递函数为假设某个线性系统的传递函数为或或Y(s)=G(s)X(s)5.5.脉冲响应函数脉冲响应函数设设g(t)=L L-1G(s)，则由卷积定理可得则由卷积定理可得三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数 主页主页上一页上一页下

28、一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6464页页第第6464页页 即系统的响应等于其激励与即系统的响应等于其激励与 的卷积的卷积.一个线性系统除用传递函数来表征外一个线性系统除用传递函数来表征外,也也可以用传递函数的逆变换可以用传递函数的逆变换 来表来表征征.称称 为为系统的脉冲响应函数系统的脉冲响应函数.即即三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数 时时,则在零初始则在零初始条件下条件下,有有 所以所以 即即主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6565页页第第6565页页在系统的传递函数中在系统的传递函数中,令令 ,则得则得6.6

29、.频率响应频率响应三、线性系统的传递函数三、线性系统的传递函数称它为系统的频率特性函数称它为系统的频率特性函数,简称频率响应简称频率响应,可以可以证明证明,当激励是角频率为当激励是角频率为w w的虚指数函数的虚指数函数x(t)=ejw w t时时,系统的稳态响应是系统的稳态响应是y(t)=G(j w w)e j w w t.因此频率响应因此频率响应在工程技术中又称为正弦传递函数在工程技术中又称为正弦传递函数.主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6666页页第第6666页页如图所示如图所示 电路电路,当把电源电势当把电源电势e(t)看成看成激励激励,则响应

30、则响应uC(t)与与e(t)满足的微分方程为满足的微分方程为主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6767页页第第6767页页两边取两边取LaplaceLaplace变换变换,并设并设 L L uC(t)=UC(s),L L e(t)=E(s),有有 RCsUC(s)-uc(0)+UC(s)=E(s)电路的传递函数为电路的传递函数为:主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6868页页第第6868页页而电路的脉冲响应函数为而电路的脉冲响应函数为令令得频率响应为得频率响应为主页主页上一页上一页下一页下一页退出退出积分变换积分变换积分变换积分变换第第6969页页第第6969页页四、四、小结小结总结总结LaplaceLaplace变换解数理方程的优缺点变换解数理方程的优缺点总结总结LaplaceLaplace变换求解定解问题时变换求解定解问题时,定解条件定解条件取变换的原则是什么取变换的原则是什么深入阅读深入阅读:数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数 (第三版第三版)，东南大东南大学，学，高等教育出版社高等教育出版社