高数同济六版bai-D1_3函数的极限.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节本节内容内容:函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1.时时函数极限的定义函数极限的定义引例引例.测量正方形面积.面积为A)边长为(真值:边长面积直接观测值间接观测值任给精度 ,要求确定直接观测值精度 :目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1.设函数在点的某去心邻域内有定义,当时,有则称常数 A 为函数当时的极限,或即当时,有

2、若记作极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明:几何解释几何解释:目录 上页 下页 返回 结束 例例1.证明证证:故对任意的当时,因此总有目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明证证:欲使取则当时,必有因此只要目录 上页 下页 返回 结束 例例3.证明证证:故取当时,必有因此目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明:当证证:欲使且而可用因此只要时故取则当时,保证.必有目录 上页 下页 返回 结束 2.保号性定理保号性定理定理定理1.若且 A 0,证证:已知即当时,有当 A 0 时,取正数则在对应的邻域上(0)则存在(A 0)(P37定理3)目录 上页 下页 返回 结束 若取则在对应的邻域

3、上 若则存在使当时,有推论推论:(P37定理3)分析分析:目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.若在的某去心邻域内,且 则证证:用反证法.则由定理 1,的某去心邻域,使在该邻域内与已知所以假设不真,(同样可证的情形)思考:若定理 2 中的条件改为是否必有不能不能!存在如 假设 A 0,条件矛盾,故目录 上页 下页 返回 结束 3.左极限与右极限左极限与右极限左极限:当时,有右极限:当时,有定理定理 3.(P39 题*11)目录 上页 下页 返回 结束 例例5.给定函数讨论 时的极限是否存在.解解:利用定理 3.因为显然所以不存在.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义2.设函数大于某一正

4、数时有定义,若则称常数时的极限,几何解释几何解释:记作直线 y=A 为曲线的水平渐近线.A 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明证证:取因此注注:就有故欲使只要目录 上页 下页 返回 结束 直线 y=A 仍是曲线 y=f(x)的渐近线.两种特殊情况两种特殊情况:当时,有当时,有几何意义几何意义:例如，都有水平渐近线都有水平渐近线又如，目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.函数极限的或定义及应用2.函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1.若极限存在,2.设函数且存在,则例3Th1Th3Th2是否一定有第四节？目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P37 1,2,6,7